Некоммутативный тор - Noncommutative torus

В математика, а точнее в теории C * -алгебры, то некоммутативные торы Аθ, также известный как иррациональные алгебры вращения за иррациональный значения θ образуют семейство некоммутативных C * -алгебр, которые обобщают алгебра непрерывных функций на 2-тор. Многие топологические и геометрические свойства классического 2-тора имеют алгебраические аналоги для некоммутативных торов, и как таковые они являются фундаментальными примерами некоммутативное пространство в смысле Ален Конн.

Определение

Для любого реального числа θ, некоммутативный тор Аθ является С * -подалгеброй B(L2(S1)) алгебра ограниченные линейные операторы из квадратично интегрируемые функции на единичный круг S1 из C, порожденный унитарный элементы U и V, куда U(ж)(z)=zf(z) и V(ж)(z)=ж(е−2π яθz). Быстрый расчет показывает, что VU = е−2πяθУФ.[1]

Альтернативные характеристики

  • Универсальное свойство: Аθ можно определить (с точностью до изоморфизма) как универсальная C * -алгебра порожденный двумя унитарными элементами U и V удовлетворяющий соотношению VU = e2πяθУФ.[1] Это определение распространяется на случай, когда θ рационально. В частности, когда θ = 0, Аθ изоморфна непрерывным функциям на 2-тор посредством Преобразование Гельфанда.
  • Алгебра иррационального вращения: Пусть бесконечная циклическая группа Z действовать по кругу S1 посредством действие вращения по углу 2πiθ. Это вызывает действие Z автоморфизмами на алгебре непрерывных функций C(S1). Полученный C * -скрещенный продукт C(S1) ⋊ Z изоморфен Аθ. Генерирующие унитары являются генератором группы Z и функция тождества на окружности z : S1 → C.[1]
  • Алгебра скрученных групп: Функция σ: Z2 × Z2 → C; σ ((м,п), (п,q)) = е2πinpθ это группа 2-коцикл на Z2, а соответствующая скрученная групповая алгебра C *(Z2; σ) изоморфна Аθ.

Характеристики

  • Всякая иррациональная алгебра вращения Аθ прост, то есть не содержит никаких собственных замкнутых двусторонних идеалов, кроме и сам.[1]
  • Каждая иррациональная алгебра вращений имеет уникальный состояние следа.[1]
  • Алгебры иррационального вращения: ядерный.

Классификация и К-теория

В K-теория из Аθ является Z2 как в четной, так и в нечетной размерности, и поэтому не различает иррациональные алгебры вращения. Но как упорядоченная группа, K0 ≃ Z + θZ. Следовательно, два некоммутативных тора Аθ и Аη изоморфны тогда и только тогда, когда либо θ + η или же θ − η целое число.[1][2]

Две иррациональные алгебры вращения Аθ и Аη находятся строго эквивалент Мориты если и только если θ и η находятся на одной орбите действия SL (2,Z) на р к дробно-линейные преобразования. В частности, некоммутативные торы с рациональным θ эквивалентны классическому тору по Морите. С другой стороны, некоммутативные торы с θ иррациональными являются простыми C * -алгебрами.[2]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Дэвидсон, Кеннет (1997). C * -Алгебры на примере. Институт Филдса. С. 166, 218–219, 234. ISBN  0-8218-0599-1.
  2. ^ а б Риффель, Марк А. (1981). «C * -алгебры, связанные с иррациональными вращениями» (PDF). Тихоокеанский математический журнал. 93 (2): 415–429 [416]. Дои:10.2140 / pjm.1981.93.415. Получено 28 февраля 2013.