Представительство Гельфанда - Gelfand representation

В математика, то Представительство Гельфанда в функциональный анализ (названный в честь И. М. Гельфанд ) имеет два связанных значения:

• способ представления коммутативный Банаховы алгебры как алгебры непрерывных функций;
• тот факт, что для коммутативных C * -алгебры, это представление является изометрическим изоморфизмом.

В первом случае представление Гельфанда можно рассматривать как далеко идущее обобщение преобразование Фурье интегрируемой функции. В последнем случае теорема о представлении Гельфанда – Наймарка является одним из путей развития спектральная теория для нормальные операторы, и обобщает понятие диагонализации нормальная матрица.

Исторические заметки

Одно из оригинальных приложений Гельфанда (и одно, которое исторически мотивировало большую часть изучения банаховых алгебр^{[нужна цитата ]}) должен был дать гораздо более короткое и концептуальное доказательство знаменитой леммы Норберт Винер (см. цитату ниже), характеризующие элементы групповые алгебры L¹(р) и ${\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}$ который переводит плотные подпространства в соответствующих алгебрах.

Модельная алгебра

Для любого локально компактный Хаусдорф топологическое пространство Икс, космос C₀(Икс) непрерывных комплекснозначных функций на Икс который исчезнуть в бесконечности естественным образом является коммутативной C * -алгеброй:

• Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
• Инволюция - это поточечное комплексное сопряжение.
• Норма - это единая норма по функциям.

Важность Икс локально компактно, и Хаусдорф в том, что это превращает Икс в полностью регулярное пространство. В таком пространстве каждое замкнутое подмножество Икс можно представить как нулевое множество непрерывной функции, позволяющее восстановить топологию Икс от C₀(Икс).

Обратите внимание, что C₀(Икс) является единый если и только если Икс является компактный, в таком случае C₀(Икс) равно C(Икс) алгебра всех непрерывных комплекснозначных функций на Икс.

Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры

Позволять ${\displaystyle A}$ быть коммутативным Банахова алгебра, определенный над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел. Ненулевой гомоморфизм алгебр (мультипликативный линейный функционал) ${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$ называется характер из ${\displaystyle A}$; набор всех персонажей ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle \Phi _{A}}$.

Можно показать, что каждый персонаж на ${\displaystyle A}$ автоматически непрерывно, и, следовательно, ${\displaystyle \Phi _{A}}$ является подмножеством пространства ${\displaystyle A^{*}}$ линейных непрерывных функционалов на ${\displaystyle A}$; кроме того, при оснащении родственником слабая * топология, ${\displaystyle \Phi _{A}}$ оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из Теорема Банаха – Алаоглу.) Космос ${\displaystyle \Phi _{A}}$ компактно (в только что определенной топологии), если^{[нужна цитата ]} и только если алгебра ${\displaystyle A}$ имеет элемент идентичности.

Данный ${\displaystyle a\in A}$, определяется функция ${\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}$ от ${\displaystyle {\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)}$. Определение ${\displaystyle \Phi _{A}}$и топология на нем гарантируют, что ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ непрерывно и исчезает в бесконечности^{[нужна цитата ]}, и что карта ${\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}$ определяет понижающий норму гомоморфизм алгебр, сохраняющий единицу, из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}$. Этот гомоморфизм является Гельфандовское представительство ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle {\widehat {a}}}$ это Преобразование Гельфанда элемента. В общем, представление не является ни инъективным, ни сюръективным.

В случае, когда ${\displaystyle A}$ имеет элемент идентичности, существует взаимное соответствие между ${\displaystyle \Phi _{A}}$ и множество максимальных идеалов в ${\displaystyle A}$ (это зависит от Теорема Гельфанда – Мазура. ). Как следствие, ядро ​​представления Гельфанда ${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$ может быть отождествлен с Радикал Якобсона из ${\displaystyle A}$. Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ является (Якобсон) полупростой.

Примеры

В случае, когда ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$, групповая алгебра ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тогда ${\displaystyle \Phi _{A}}$ гомеоморфен ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и преобразование Гельфанда ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ это преобразование Фурье ${\displaystyle {\tilde {f}}}$.

В случае, когда ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$, то ${\displaystyle L^{1}}$-сверточная алгебра вещественной полупрямой, то ${\displaystyle \Phi _{A}}$ гомеоморфен ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ~\colon ~\operatorname {Re} (z)\geq 0\}}$, а преобразование Гельфанда элемента ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$ это Преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}f}$.

Случай C * -алгебры

В качестве мотивации рассмотрим частный случай А = C₀(Икс). Данный Икс в Икс, позволять ${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$ поточечная оценка на Икс, т.е. ${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$. потом ${\displaystyle \varphi _{x}}$ персонаж на А, и можно показать, что все символы А имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем идентифицировать Φ_А с участием Иксне просто как множества, а как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

Спектр коммутативной C * -алгебры

Смотрите также: Спектр C * -алгебры

В спектр или Пространство Гельфанда коммутативной C * -алгебры А, обозначенный Â, состоит из набора ненулевой * -гомоморфизмы из А к комплексным числам. Элементы спектра называются символы на А. (Можно показать, что всякий гомоморфизм алгебр из А к комплексным числам автоматически * -гомоморфизм, так что это определение термина `` персонаж '' согласуется с приведенным выше.)

В частности, спектр коммутативной C * -алгебры является локально компактным хаусдорфовым пространством: в унитальном случае, т.е. когда C * -алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все характеры ж должно быть единым, т.е. ж(1) - комплексное число один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Так Â замкнуто относительно слабой * сходимости и спектр действительно компактный. В неунитарном случае слабое - * замыкание Â является Â ∪ {0}, где 0 - нулевой гомоморфизм, а удаление единственной точки из компактного хаусдорфова пространства дает локально компактное хаусдорфово пространство.

Обратите внимание, что спектр это перегруженное слово. Это также относится к спектру σ (Икс) элемента Икс алгебры с единицей 1, то есть множества комплексных чисел р для которого Икс - р 1 не обратима в А. Для унитальных C * -алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ (Икс) - множество комплексных чисел ж(Икс) где ж пробегает пространство Гельфанда А. Вместе с формула спектрального радиуса, это показывает, что Â является подмножеством единичного шара А * и как таковой может быть дана относительная слабая * топология. Это топология поточечной сходимости. А сеть {ж_k}_k элементов спектра А сходится к ж если и только если для каждого Икс в А, сеть комплексных чисел {ж_k(Икс)}_k сходится к ж(Икс).

Если А это отделяемый C * -алгебра, слабая * топология метризуемый на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной C * -алгебры А можно рассматривать как метрическое пространство. Таким образом, топологию можно охарактеризовать с помощью сходимости последовательностей.

Эквивалентно σ (Икс) это ассортимент из γ (Икс), где γ - представление Гельфанда.

Формулировка коммутативной теоремы Гельфанда – Наймарка.

Позволять А - коммутативная C * -алгебра и пусть Икс быть спектром А. Позволять

${\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}$

- представление Гельфанда, определенное выше.

Теорема. Отображение Гельфанда γ является изометрическим * -изоморфизмом из А на C₀(Икс).

См. Ссылку на Arveson ниже.

Спектр коммутативной C * -алгебры также можно рассматривать как множество всех максимальные идеалы м из А, с топология корпус-ядро. (См. Предыдущие замечания для общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого м фактор-алгебра А / м одномерна (по теореме Гельфанда-Мазура), поэтому любой а в А порождает комплексную функцию на Y.

В случае C * -алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариант функтор из категории C * -алгебр с непрерывными * -гомоморфизмами, сохраняющими единицу, в категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений. Этот функтор является половиной контравариантная эквивалентность между этими двумя категориями (его прилегающий функтор, который сопоставляет каждому компактному хаусдорфовому пространству Икс C * -алгебра C₀(Икс)). В частности, для компактных хаусдорфовых пространств Икс и Y, тогда C(Икс) изоморфна C(Y) (как C * -алгебра) тогда и только тогда, когда Икс является гомеоморфный к Y.

Полный' Теорема Гельфанда – Наймарка. результат для произвольного (абстрактного) некоммутативный C * -алгебры А, которое хотя и не совсем аналогично представлению Гельфанда, но дает конкретное представление о А как алгебра операторов.

Приложения

Одним из наиболее важных приложений является наличие непрерывного функциональное исчисление для нормальных элементов в C * -алгебре А: Элемент Икс нормально тогда и только тогда, когда Икс ездит с прилегающим Икс*, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда она порождает коммутативную C * -алгебру C * (Икс). По изоморфизму Гельфанда, примененному к C * (Икс) она * -изоморфна алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти сразу приводит к:

Теорема. Позволять А - C * -алгебра с единицей и Икс элемент А. Тогда существует * -морфизм ж → ж(Икс) из алгебры непрерывных функций на спектре σ (Икс) в А такой, что

• Он отображает 1 в мультипликативную единицу А;
• Он отображает тождественную функцию на спектре в Икс.

Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.

использованная литература

• Арвесон, В. (1981). Приглашение в C * -алгебры. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90176-0.
• Bonsall, F. F .; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-06386-2.
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96. Springer Verlag. ISBN  0-387-97245-5.
• Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Анна. математики. II. Анналы математики. 33 (1): 1–100. Дои:10.2307/1968102. JSTOR  1968102.