Пол Коэн - Paul Cohen

О других людях по имени Пол Коэн см. Пол Коэн (значения). Не путать с Пол Кон.

Пол Дж. Коэн
Родившийся	(1934-04-02)2 апреля 1934 г. Лонг-Бранч, Нью-Джерси, НАС.
Умер	23 марта 2007 г.(2007-03-23) (72 года) Стэнфорд, Калифорния, НАС.
Альма-матер	Чикагский университет (РС, кандидат наук )
Известен	Коэн форсинг Гипотеза континуума
Награды	Премия Бохера (1964) Медаль Филдса (1966) Национальная медаль науки (1967)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Стэндфордский Университет
Докторант	Антони Зигмунд
Докторанты	Питер Сарнак
Влияния	Георг Кантор, Курт Гёдель

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 г. - 23 марта 2007 г.)^[1] был Американец математик. Он наиболее известен своими доказательствами того, что гипотеза континуума и аксиома выбора находятся независимый из Теория множеств Цермело – Френкеля, за что был награжден Медаль Филдса.^[2]

ранняя жизнь и образование

Коэн родился в Лонг-Бранч, Нью-Джерси, в Еврейский семья, которая иммигрировала в Соединенные Штаты из того, что сейчас Польша; он вырос в Бруклин.^[3][4] Окончил в 1950 г. в возрасте 16 лет Stuyvesant High School, дневная в Нью-Йорк.^[1][4]

Коэн затем учился в Бруклинский колледж с 1950 по 1953 год, но он ушел, не заработав степень бакалавра когда он узнал, что может поступить в аспирантуру в Чикагский университет всего за два года в колледже. В Чикаго, Коэн получил степень магистра математики в 1954 г. Доктор Философии степень в 1958 г., под руководством Антони Зигмунд. Название его докторской диссертации было Вопросы теории единственности тригонометрических рядов.^[5]

В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год преподавателем математики в Университете Рочестера. Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических открытий. В Факторизация в групповых алгебрах (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решая задачу, поставленную Вальтер Рудин. В О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах (1960) Коэн совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда.^[6]

2 июня 1995 г. Коэн получил почетный доктор от факультета науки и технологий Уппсальский университет, Швеция.^[7]

Карьера

Коэн известен разработкой математической техники под названием принуждение, который он использовал, чтобы доказать, что ни гипотеза континуума (CH) ни аксиома выбора можно доказать из стандартного Аксиомы Цермело – Френкеля (ZF) из теория множеств. В сочетании с более ранними работами Гёдель, это показало, что оба эти утверждения логически независимый аксиом ZF: эти утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима, и это наиболее широко известный пример естественного утверждения, которое не зависит от стандартных аксиом ZF теории множеств.

За свой результат по гипотезе континуума Коэн выиграл Медаль Филдса по математике в 1966 г., а также Национальная медаль науки в 1967 г.^[8] Медаль Филдса, которую выиграл Коэн, по-прежнему остается единственной медалью Филдса, которая присуждается за работу в области математической логики с 2018 года.

Помимо работы в области теории множеств, Коэн также внес ценный вклад в анализ. Он был награжден Приз памяти Бохера в математический анализ в 1964 г. за статью «Об одной гипотезе Littlewood и идемпотентные меры ",^[9] и одалживает свое имя Теорема факторизации Коэна – Хьюитта.

Коэн был профессором математики в Стэндфордский Университет. Он был приглашенным спикером на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.

Ангус Макинтайр из Лондонский университет королевы Марии заявил о Коэне: «Он был устрашающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою« самую сложную проблему »перед Полом, которого я знал в 60-е». Он продолжил сравнивать Коэна с Курт Гёдель, говоря: «Ничего более драматичного, чем их работа, не произошло в истории этого предмета».^[10] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, черновик которого гласил: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство [независимости] конт [инуумного] гип [гипотезы]. Я думаю, что во всех существенных отношениях вы предоставили наилучшее возможное доказательство, и это случается нечасто. Чтение вашего доказательства оказало на меня такое же приятное впечатление, как и просмотр действительно хорошей пьесы ».^[11]

Гипотеза континуума

При изучении гипотезы континуума Коэн, как цитируют, сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди думали, что проблема безнадежна, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. Более того, они думали, что вы должны быть немного сумасшедший даже думать о проблеме ».^[12]

"Точка зрения, которую, по мнению автора [Коэна], в конечном итоге может принять, состоит в том, что CH явно ложен. Основная причина, по которой кто-то принимает аксиома бесконечности Возможно, нам кажется абсурдным думать, что процесс добавления только одного набора за раз может исчерпать всю вселенную. То же самое и с высшими аксиомами бесконечности. Сейчас же ${displaystyle aleph _{1}}$ - мощность множества счетных ординалов, и это просто особый и простейший способ генерации более высокого кардинала. Набор ${displaystyle C}$ [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно: аксиома набора мощности. Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить это кардинал на основе идей, происходящих из аксиома замены может когда-либо достичь ${displaystyle C}$.

Таким образом ${displaystyle C}$ больше, чем ${displaystyle aleph _{n},aleph _{omega },aleph _{a}}$, куда ${displaystyle a=aleph _{omega }}$и др. Эта точка зрения касается ${displaystyle C}$ как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой невозможно приблизиться ни в каком фрагментарном процессе построения. Возможно, последующие поколения яснее увидят проблему и выразят себя более красноречиво ».^[13]

«Прочный и мощный продукт» работы Коэна над гипотезой континуума, который использовался «бесчисленным количеством математиков»^[12] известен как "принуждение", и он используется для построения математических моделей для проверки данной гипотезы на истинность или ложность.

Незадолго до своей смерти Коэн прочитал лекцию с описанием своего решения проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетию Гёделя в 2006 г. Вена.^[14]

Смерть

У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 г. Стэнфорд, Калифорния после страданий от заболевание легких.^[15]

Избранные публикации

• Коэн, Пол Дж. (Декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963ПНАС ... 50.1143С. Дои:10.1073 / пнас.50.6.1143. ЧВК  221287. PMID  16578557.
• Коэн, Пол Дж. (Январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964ПНАС ... 51..105С. Дои:10.1073 / пнас.51.1.105. ЧВК  300611. PMID  16591132.

Смотрите также

• Коэновская алгебра

Рекомендации

1. Леви, Рассвет (2007-03-28). "Пол Коэн, лауреат главной премии мира по математике, умер в 72 года". Стэнфордский отчет. Получено 2007-10-31.
2. Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). "Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет". Нью-Йорк Таймс.
3. Макинтайр, А.Дж. "Пол Джозеф Коэн" В архиве 2010-12-25 на Wayback Machine, Лондонское математическое общество. По состоянию на 3 марта 2011 г. «Коэн был скромным по происхождению. Он родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси, 2 апреля 1934 года в семье польских иммигрантов».
4. Альберс, Дональд Дж .; Александерсон, Джеральд Л.; Рид, Констанс, ред. (1990), «Пол Коэн», Больше математиков, Харкорт Брейс Йованович, стр. 42–58..
5. Пол Дж. Коэн (1958), Разделы теории единственности тригонометрических рядов.
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Пол Джозеф Коэн", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
7. «Почетные докторские степени - Уппсальский университет, Швеция». www.uu.se. Получено 21 марта 2018.
8. «Национальная медаль президента за науку: сведения о получателе - NSF - Национальный научный фонд». www.nsf.gov. Получено 21 марта 2018.
9. Коэн, Пол Дж. (1960). «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах». Амер. J. Math. 82 (2): 191–212. Дои:10.2307/2372731. JSTOR  2372731. МИСТЕР  0133397.
10. Дэвидсон, Ки (30 марта 2007 г.). «Пол Коэн - профессор Стэнфорда, признанный математик». Хроники Сан-Франциско. Получено 2007-10-31.
11. Соломон Феферман, Редакционный проект Гёделя: синопсис [1] п. 11.
12. Пирс, Джереми (2007-04-02). "Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет". Нью-Йорк Таймс. Получено 2007-10-31.
13. Коэн, П. Теория множеств и гипотеза континуума. п. 151.
14. Видео лекции Пола Коэна, шесть частей, Gödel Centennial, Вена 2006 на YouTube
15. Пирс, Джереми (2007-04-02). "Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет". Нью-Йорк Таймс. ISSN  0362-4331. Получено 2020-06-13.

дальнейшее чтение

• Акихиро Канамори, "Коэн и теория множеств ", Вестник символической логики, Том 14, номер 3, сентябрь 2008 г.
• Сарнак, Петр (Декабрь 2007 г.). "Вспоминая Пола Коэна" (PDF). MAA FOCUS. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 27 (9): 21–22. ISSN  0731-2040. Получено 2009-05-31.

внешняя ссылка

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Пол Джозеф Коэн", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Пол Джозеф Коэн на Проект "Математическая генеалогия"
• paulcohen.org - мемориальный сайт, посвященный жизни Пола Коэна
• Стэнфордский некролог