Теория множеств Цермело - Zermelo set theory

Теория множеств Цермело (иногда обозначается как Z^-), как изложено в важной статье 1908 г. Эрнст Цермело, является предком современных теория множеств. Он имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понимаются и часто цитируются неправильно. В этой статье изложены исходные аксиомы с оригинальным текстом (переведенным на английский язык) и оригинальной нумерацией.

Аксиомы теории множеств Цермело

Аксиомы теории множеств Цермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) называются множествами, а остальные объекты являются урэлементы и не содержат никаких элементов. Язык Цермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, говорящий, является ли объект множеством. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому нет никаких элементов и нет необходимости в унарном предикате.

АКСИОМА I. Аксиома протяженности (Axiom der Bestimmtheit) "Если каждый элемент множества M также является элементом N и наоборот ... тогда M ${\displaystyle \equiv }$ N. Вкратце, каждый набор определяется своими элементами ».

АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств (Axiom der Elementarmengen) "Существует множество, нулевое множество, ∅, которое вообще не содержит элементов. Если а есть любой объект домена, существует множество {а} содержащий а и только а как элемент. Если а и б - любые два объекта области, всегда существует набор {а, б} содержащий как элементы а и б но нет объекта Икс отличны от них обоих ". Аксиома пар.

АКСИОМА III. Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung) "Когда бы пропозициональная функция –(Икс) определен для всех элементов множества M, M обладает подмножеством M ' содержащие в качестве элементов именно те элементы Икс из M для которого -(Икс) правда."

АКСИОМА IV. Аксиома силового набора (Axiom der Potenzmenge) "К каждому комплекту Т соответствует набор Т ', то набор мощности из Т, содержащий в качестве элементов в точности все подмножества Т ."

АКСИОМА V. Аксиома союза (Axiom der Vereinigung) "К каждому комплекту Т соответствует набор ∪T, союз Т, который содержит в качестве элементов в точности все элементы элементов Т ."

АКСИОМА VI. Аксиома выбора (Axiom der Auswahl) "Если Т есть множество, все элементы которого являются множествами, отличными от и взаимно не пересекающимися, его объединение ∪T включает как минимум одно подмножество S₁ имеющий один и только один элемент, общий с каждым элементом Т ."

АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности (Axiom des Unendlichen) "В домене существует хотя бы один набор Z который содержит нулевой набор в качестве элемента и устроен таким образом, что для каждого из его элементов а соответствует еще один элемент вида {а}, другими словами, что с каждым из его элементов а он также содержит соответствующее множество {а} как элемент ".

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемая и принятая теория множеств известна как ZFC, которая состоит из Теория множеств Цермело – Френкеля с добавлением аксиома выбора. Ссылки показывают, где соответствуют аксиомы теории Цермело. Для «элементарных множеств» нет точного соответствия. (Позже было показано, что одноэлементный набор может быть получен из того, что сейчас называется «Аксиомой пар». Если а существуют, а и а существуют, таким образом {а,а} существует, и поэтому в силу протяженности {а,а} = {а}.) Аксиома пустого множества уже принята аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.

Теория множеств Цермело не включает аксиомы замена и регулярность. Аксиома замены была впервые опубликована в 1922 г. Авраам Френкель и Торальф Сколем, которые независимо обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества {Z₀, Z₁, Z₂, ...} куда Z₀ это набор натуральные числа и Z_п+1 это набор мощности из Z_п. Оба они осознали, что для доказательства этого необходима аксиома замены. В следующем году, Джон фон Нейман указал, что эта аксиома необходима для построения его теория ординалов. Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году.^[1]

В современной системе ZFC «пропозициональная функция», упоминаемая в аксиоме разделения, интерпретируется как «любое свойство, определяемое с помощью формула с параметрами ", поэтому аксиома разделения заменяется на схема аксиомы. Понятие «формулы первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теория множеств Цермело обычно рассматривается как теория первого порядка, в которой аксиома разделения заменена схемой аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Это также можно рассматривать как теорию в логика второго порядка, где теперь аксиома отделимости - это всего лишь одна аксиома. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к его собственной концепции Цермело и сильнее, чем интерпретация первого порядка.

В обычном совокупная иерархия V_α теории множеств ZFC (для ординалов α) любое из множествV_α для α - предельный ординал, больший, чем первый бесконечный ординал ω (например, V_{ω · 2}) образует модель теории множеств Цермело. Таким образом, непротиворечивость теории множеств Цермело - это теорема теории множеств ZFC. Аксиомы Цермело не предполагают существования ℵ_ω или большие бесконечные кардиналы, как модель V_{ω · 2} не содержит таких кардиналов. (Кардиналы должны определяться по-другому в теории множеств Цермело, поскольку обычное определение кардиналов и ординалов работает не очень хорошо: с обычным определением невозможно даже доказать существование ординала ω2.)

В аксиома бесконечности обычно модифицируется, чтобы утверждать существование первого бесконечного фон Неймана порядковый ${\displaystyle \omega }$; исходные аксиомы Цермело не могут доказать существование этого множества, а модифицированные аксиомы Цермело не могут доказать аксиомы Цермело бесконечности. Аксиомы Цермело (исходные или модифицированные) не могут доказать существование ${\displaystyle V_{\omega }}$ как множество, ни какого-либо ранга кумулятивной иерархии множеств с бесконечным индексом.

Цермело допускал существование урэлементы которые не являются наборами и не содержат элементов; теперь они обычно не включаются в теории множеств.

Теория множеств Мак Лейна

Теория множеств Мак Лейна, введенная Mac Lane  (1986 ), является теорией множеств Цермело с аксиомой разделения, ограниченной формулами первого порядка, в которых каждый квантор ограничен, теория множеств Мак-Лейна по силе аналогична теория топоса с объект натурального числа, или в систему в Principia mathematica. Он достаточно силен, чтобы выполнять почти всю обычную математику, не связанную напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Цермело

Во введении говорится, что самому существованию дисциплины теории множеств «кажется, угрожают определенные противоречия или« антиномии », которые могут быть выведены из ее принципов - принципов, обязательно управляющих нашим мышлением, кажется, - и для которых нет полностью удовлетворительного решения пока не найден ". Цермело, конечно, имеет в виду "Рассел антиномия ".

Он говорит, что хочет показать, как оригинальная теория Георг Кантор и Ричард Дедекинд можно свести к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что у него есть нет удалось доказать, что аксиомы непротиворечивы.

Неконструктивистский аргумент в пользу их последовательности состоит в следующем. Определять V_α для α один из порядковые 0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2 следующим образом:

• V₀ это пустое множество.
• Для α преемника формы β + 1, V_α определяется как совокупность всех подмножеств V_β.
• Если α предел (например, ω, ω · 2), то V_α определяется как объединение V_β при β <α.

Тогда аксиомы теории множеств Цермело непротиворечивы, потому что они верны в модели V_{ω · 2}. В то время как неконструктивист мог бы рассматривать это как веский аргумент, конструктивист, вероятно, не стал бы: хотя нет никаких проблем с построением наборов для V_ω, построение V_{ω + 1} менее ясен, потому что нельзя конструктивно определить каждое подмножество V_ω. Этот аргумент можно превратить в действительное доказательство в теории множеств Цермело – Френкеля, но это на самом деле не помогает, потому что непротиворечивость теории множеств Цермело-Френкеля менее очевидна, чем непротиворечивость теории множеств Цермело.

Аксиома разделения

Цермело комментирует, что Аксиома III его системы отвечает за устранение антиномий. Оно отличается от первоначального определения Кантора следующим образом.

Множества не могут быть независимо определены каким-либо произвольным логически определимым понятием. Их нужно каким-то образом сконструировать из ранее построенных множеств. Например, их можно построить, взяв наборы мощности, или они могут быть отделенный как подмножества уже "данных". Это, по его словам, устраняет противоречивые идеи, такие как «множество всех множеств» или «множество всех порядковых чисел».

Он избавляется от Парадокс Рассела с помощью этой теоремы: «Каждый набор ${\displaystyle M}$ имеет хотя бы одно подмножество ${\displaystyle M_{0}}$ это не элемент ${\displaystyle M}$ ". Позволять ${\displaystyle M_{0}}$ быть подмножеством ${\displaystyle M}$ для которого АКСИОМА III выделяет понятие "${\displaystyle x\notin x}$". Потом ${\displaystyle M_{0}}$ не может быть в ${\displaystyle M}$. За

1. Если ${\displaystyle M_{0}}$ в ${\displaystyle M_{0}}$, тогда ${\displaystyle M_{0}}$ содержит элемент Икс для которого Икс в Икс (т.е. ${\displaystyle M_{0}}$ само), что противоречило бы определению ${\displaystyle M_{0}}$.
2. Если ${\displaystyle M_{0}}$ не в ${\displaystyle M_{0}}$, и предполагая ${\displaystyle M_{0}}$ является элементом M, тогда ${\displaystyle M_{0}}$ является элементом M что удовлетворяет определению "${\displaystyle x\notin x}$", и так в ${\displaystyle M_{0}}$ что является противоречием.

Следовательно, предположение, что ${\displaystyle M_{0}}$ в ${\displaystyle M}$ неверно, доказывая теорему. Следовательно, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. "Это избавляет от Рассела антиномия что касается нас ".

Это оставило проблему "домена B"который, кажется, относится к чему-то. Это привело к идее правильный класс.

Теорема кантора

Статья Цермело может быть первой, в которой упоминается имя "Теорема кантора Теорема Кантора: «Если M - произвольное множество, то всегда M

M) [набор мощности M]. Каждый набор имеет меньшую мощность, чем набор его подмножеств ».

Цермело доказывает это, рассматривая функцию φ: M → P (M). По аксиоме III это определяет следующее множество M ':

M ' = {м: м ∉ φ (м)}.

Но нет элемента м ' из M может соответствовать M ', т.е. такая, что φ (м ') = M '. В противном случае мы можем построить противоречие:

1) Если м ' в M ' тогда по определению м ' ∉ φ (м ') = M ', что является первой частью противоречия

2) Если м ' не в M ' но в M тогда по определению м ' ∉ M ' = φ (м '), что по определению означает, что м ' в M ', что является второй частью противоречия.

так что от противного м ' не существует. Обратите внимание на близкое сходство этого доказательства с тем, как Цермело устраняет парадокс Рассела.

Смотрите также

• S (теория множеств)

Рекомендации

1. Феррейрос 2007, стр. 369, 371.

• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли, Биркхойзер, ISBN  3-7643-8349-6.
• Мак-Лейн, Сондерс (1986), Математика, форма и функции, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN  0-387-96217-4, МИСТЕР  0816347.
• Цермело, Эрнст (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281, Дои:10.1007 / bf01449999. Английский перевод: Хейеноорт, Жан ван (1967), «Исследования по основам теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., Источники книги по истории наук, Harvard Univ. Press, стр. 199–215, ISBN  978-0-674-32449-7.