Слабая формулировка - Weak formulation

Слабые составы являются важными инструментами для анализа математических уравнения которые разрешают передачу концепции из линейная алгебра для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных. В слабой формулировке уравнение больше не требуется для абсолютного выполнения (и это даже не определено четко), а вместо этого слабые решения только в отношении определенных "тестовых векторов" или "тестовые функции ". Это равносильно постановке проблемы, требующей решения в смысле распространение.^{[нужна цитата ]}

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения: Теорема Лакса – Милграма. Теорема названа в честь Питер Лакс и Артур Милгрэм, который доказал это в 1954 году.

Общая концепция

Позволять ${\displaystyle V}$ быть Банахово пространство. Мы хотим найти решение ${\displaystyle u\in V}$ уравнения

${\displaystyle Au=f}$,

куда ${\displaystyle A\colon V\to V'}$ и ${\displaystyle f\in V'}$, с ${\displaystyle V'}$ будучи двойной из ${\displaystyle V}$.

Это эквивалентно нахождению ${\displaystyle u\in V}$ такой, что для всех ${\displaystyle v\in V}$ держит:

${\displaystyle [Au](v)=f(v)}$.

Здесь мы называем ${\displaystyle v}$ тестовый вектор или тестовая функция.

Мы приводим это в общую форму слабой формулировки, а именно находим ${\displaystyle u\in V}$ такой, что

${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$

путем определения билинейная форма

${\displaystyle a(u,v):=[Au](v).}$

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь позвольте ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle A:V\to V}$ - линейное отображение. Тогда слабая формулировка уравнения

${\displaystyle Au=f}$

включает поиск ${\displaystyle u\in V}$ такой, что для всех ${\displaystyle v\in V}$ имеет место следующее уравнение:

${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает внутренний продукт.

С ${\displaystyle A}$ является линейным отображением, достаточно проверить с базисными векторами, и мы получаем

${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n.}$

Собственно, расширение ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$, получаем матричную форму уравнения

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$

куда ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ и ${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$.

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить Уравнение Пуассона

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$

на домене ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ с ${\displaystyle u=0}$ на его границе, и мы хотим указать пространство решений ${\displaystyle V}$ потом. Мы будем использовать ${\displaystyle L^{2}}$-скалярный продукт

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями ${\displaystyle v}$, мы получили

${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интеграция по частям с помощью Личность Грина и предполагая, что ${\displaystyle v=0}$ на ${\displaystyle \partial \Omega }$:

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой Уравнение Пуассона. Нам еще предстоит указать пробел ${\displaystyle V}$ в котором нужно найти решение, но, как минимум, он должен позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции в ${\displaystyle V}$ равны нулю на границе и имеют интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является Соболевское пространство ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ функций с слабые производные в ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ и с нулевыми граничными условиями, поэтому положим ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

Мы получаем общий вид, полагая

${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$

и

${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$

Теорема Лакса – Милграма

Это формулировка Теорема Лакса – Милграма которое опирается на свойства симметричной части билинейная форма. Это не самая общая форма.

Позволять ${\displaystyle V}$ быть Гильбертово пространство и ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ а билинейная форма на ${\displaystyle V}$, который

1. ограниченный: ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|}$ и
2. принудительный: ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.}$

Тогда для любого ${\displaystyle f\in V'}$, есть уникальное решение ${\displaystyle u\in V}$ к уравнению

${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$

и он держит

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}$

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой проблеме ту же структуру, что и другие.

• Ограниченность: все билинейные формы на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ограничены. В частности, у нас есть

  ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$

• Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений ${\displaystyle A}$ не меньше чем ${\displaystyle c}$. Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Дополнительно получаем оценку

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$

куда ${\displaystyle c}$ - минимальная действительная часть собственного значения ${\displaystyle A}$.

Применение к примеру 2

Здесь, как мы упоминали выше, мы выбираем ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$ с нормой

${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$

где норма справа - это ${\displaystyle L^{2}}$-норма на ${\displaystyle \Omega }$ (это дает истинную норму ${\displaystyle V}$ посредством Неравенство Пуанкаре Но мы видим, что ${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$ и по Неравенство Коши – Шварца, ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$.

Поэтому для любого ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$, есть уникальное решение ${\displaystyle u\in V}$ из Уравнение Пуассона и имеем оценку

${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$

Смотрите также

• Теорема Бабушки – Лакса – Милграма
• Теорема Лайонса – Лакса – Милграма

Рекомендации

• Лакс, Питер Д.; Милгрэм, Артур Н. (1954), "Параболические уравнения", Вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных, Анналы математических исследований, 33, Принстон, Н. Дж.: Princeton University Press, стр. 167–190, Дои:10.1515/9781400882182-010, Г-Н  0067317, Zbl  0058.08703

внешняя ссылка

• Страница MathWorld по теореме Лакса – Милграма