Псевдоскалярный - Pseudoscalar

В линейная алгебра, а псевдоскалярный величина, которая ведет себя как скаляр, за исключением того, что он меняет знак под инверсия четности^[1][2] такие как неправильные вращения а истинный скаляр - нет.

Любое скалярное произведение между псевдовектор и обычный вектор это псевдоскаляр. Типичным примером псевдоскаляра является скалярное тройное произведение, который может быть записан как скалярное произведение между одним из векторов в тройном произведении и перекрестным произведением между двумя другими векторами, где последний является псевдовектором. Псевдоскаляр, умноженный на обыкновенный вектор, становится псевдовектор (осевой вектор); подобная конструкция создает псевдотензор.

Математически псевдоскаляр - это элемент верхнего внешняя сила из векторное пространство, или высшая степень Алгебра Клиффорда; видеть псевдоскаляр (алгебра Клиффорда). В более общем плане это элемент канонический пакет из дифференцируемое многообразие.

Псевдоскаляры в физике

В физика, псевдоскаляр обозначает физическое количество аналогично скаляр. Оба физические величины которые принимают одно значение, инвариантное относительно правильные вращения. Однако под преобразование четности псевдоскаляры меняют свои знаки, а скаляры - нет. В качестве размышления через плоскость - это комбинация поворота с преобразованием четности, псевдоскаляры также меняют знак при отражениях.

Одна из самых сильных идей в физике состоит в том, что физические законы не меняются при изменении системы координат, используемой для описания этих законов. То, что псевдоскаляр меняет свой знак при инвертировании координатных осей, предполагает, что это не лучший объект для описания физической величины. В трехмерном пространстве величины, описываемые псевдовектором, являются антисимметричными тензорами 2-го порядка, которые инвариантны относительно обращения. Псевдовектор может быть более простым представлением этой величины, но страдает от изменения знака при инверсии. Точно так же в 3-м пространстве Ходж Дуал скаляра равна константе, умноженной на 3-мерную Псевдотензор Леви-Чивиты (или псевдотензор «перестановки»); тогда как двойственный по Ходжу псевдоскаляра является антисимметричным (чистым) тензором третьего порядка. Псевдотензор Леви-Чивиты является полностью антисимметричный псевдотензор порядка 3. Поскольку двойственное к псевдоскаляру является произведением двух «псевдовеличин», результирующий тензор является истинным тензором и не меняет знака при инверсии осей. Ситуация аналогична ситуации для псевдовекторов и антисимметричных тензоров 2-го порядка. Двойственный к псевдовектору - антисимметричный тензор 2-го порядка (и наоборот). Тензор является инвариантной физической величиной относительно инверсии координат, а псевдовектор не инвариантен.

Ситуация может быть расширена до любого измерения. Обычно в п-мерное пространство, двойственное по Ходжу, порядка р тензор будет антисимметричным псевдотензором порядка (п − р) и наоборот. В частности, в четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности псевдоскаляр является двойником тензора четвертого порядка и пропорционален четырехмерному пространству-времени. Псевдотензор Леви-Чивиты.

Пример псевдоскаляров

• В функция потока ${\displaystyle \psi (x,y)}$ для двумерного течения несжимаемой жидкости ${\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle }$.
• Магнитный заряд является псевдоскалярным в математическом определении, независимо от того, существует ли он физически.
• Магнитный поток это результат скалярное произведение между вектором ( нормальная поверхность ) и псевдовектор ( магнитное поле ).
• Спиральность является проекцией (скалярным произведением) вращение псевдовектор на направление импульс (истинный вектор).
• Псевдоскалярные частицы, т.е. частицы со спином 0 и нечетной четностью, то есть частица без собственного спина с волновая функция что меняет знак под инверсия четности. Примеры псевдоскалярные мезоны.

Псевдоскаляры в геометрической алгебре

Смотрите также: Псевдоскаляр (алгебра Клиффорда)

Псевдоскаляр в геометрическая алгебра является высшимоценка элемент алгебры. Например, в двух измерениях есть два ортогональных базисных вектора, ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ и связанный с ним базовый элемент высшего ранга

${\displaystyle e_{1}e_{2}=e_{12}.}$

Итак, псевдоскаляр - это кратное е₁₂. Элемент е₁₂ возводится в квадрат до -1 и коммутирует со всеми четными элементами, поэтому ведет себя как мнимый скаляр я в сложные числа. Именно эти скалярные свойства дали начало его названию.

В этой настройке псевдоскаляр меняет знак при инверсии четности, так как если

(е₁, е₂) → (ты₁, ты₂)

это изменение основы представляющий ортогональное преобразование, то

е₁е₂ → ты₁ты₂ = ±е₁е₂,

где знак зависит от определителя преобразования. Таким образом, псевдоскаляры в геометрической алгебре соответствуют псевдоскалярам в физике.

Рекомендации

1. Зи, Энтони (2010). Кратко о квантовой теории поля (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п.98.
2. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей. Vol. 1: Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 228.