Антисимметричный тензор - Antisymmetric tensor

В математика и теоретическая физика, а тензор является антисимметричный на (или относительно) подмножество индексов если он чередуется знак (+/−), когда любые два индекса подмножества меняются местами.^[1][2] Подмножество индексов обычно должно включать все ковариантный или все контравариантный.

Например,

${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$

выполняется, когда тензор антисимметричен по своим первым трем индексам.

Если тензор меняет знак при замене каждый пары его индексов, то тензор полностью (или полностью) антисимметричный. Полностью антисимметричный ковариантный тензор порядок п можно назвать п-форма, а полностью антисимметричный контравариантный тензор можно назвать п-вектор.

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор А антисимметричный по индексам я и j обладает тем свойством, что сокращение с тензором B симметричный по индексам я и j тождественно 0.

Для общего тензора U с компонентами ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ и пара индексов я и j, U имеет симметричные и антисимметричные части, определяемые как:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$		(симметричная часть)
${\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$		(антисимметричная часть).

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор - это сумма его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в

${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$

Обозначение

Сокращенное обозначение антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора порядка 2 M,

${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$

а для ковариантного тензора порядка 3 Т,

${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как

${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},}$

${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.}$

где ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$ является обобщенным Дельта Кронекера, и мы используем Обозначения Эйнштейна к суммированию по одинаковым индексам.

В более общем смысле, независимо от количества измерений, антисимметризация п индексы могут быть выражены как

${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом:

${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji})}$

Это разложение в общем случае неверно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложные симметрии.

Примеры

К полностью антисимметричным тензорам относятся:

• Тривиально все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны)
• В электромагнитный тензор, ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ в электромагнетизм
• В Риманова форма объема на псевдориманово многообразие

Смотрите также

• Символ Леви-Чивита
• Симметричный тензор
• Антисимметричная матрица
• Антисимметричное отношение
• Внешняя алгебра
• Исчисление Риччи

Заметки

1. К.Ф. Райли; М.П. Хобсон; С.Дж. Бенс (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3.
2. Хуан Рамон Руис-Толоса; Энрике Кастильо (2005). От векторов к тензорам. Springer. п. 225. ISBN  978-3-540-22887-5. раздел §7.

использованная литература

• J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  0-679-77631-1.

внешние ссылки

• Антисимметричный тензор - mathworld.wolfram.com