Структура вторичного векторного расслоения - Secondary vector bundle structure - Wikipedia

В математика, особенно дифференциальная топология, то структура вторичного векторного расслоенияотносится к естественным векторный набор структура (TE, п_∗, TM) на общей площади TE из касательный пучок гладкого векторного расслоения (E, п, M), индуцированные продвигать п_∗ : TE → TM исходной карты проекции п : E → M. Это приводит к двойное векторное расслоение структура (TE,E,TM,M).

В частном случае (E, п, M) = (TM, π_TM, M), куда TE = ТТМ это пучок двойных касательных вторичное векторное расслоение (ТТМ, (π_TM)_∗, TM) изоморфен касательный пучок(ТТМ, π_ТТМ, TM) из TM сквозь канонический флип.

Построение структуры вторичного векторного расслоения

Позволять (E, п, M) - гладкое векторное расслоение ранга N. Тогда прообраз (п_∗)⁻¹(Икс) ⊂ TE любого касательного вектора Икс в TM в продвижении вперед п_∗ : TE → TM канонической проекции п : E → M является гладким подмногообразием размерности 2N, и оно становится векторным пространством с продвижением вперед

${\displaystyle +_{*}:T(E\times E)\to TE,\qquad \lambda _{*}:TE\to TE}$

исходного сложения и скалярного умножения

${\displaystyle +:E\times E\to E,\qquad \lambda :E\to E}$

как операции с векторным пространством. Тройка (TE, п_∗, TM) становится гладким векторным расслоением с этими операциями векторного пространства на его слоях.

Доказательство

Позволять (U, φ) - локальная система координат на базовом многообразии M с φ(Икс) = (Икс¹, ..., Икс^п) и разреши

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbf {R} ^{N}\\\psi \left(v^{k}e_{k}|_{x}\right):=\left(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N}\right)\end{cases}}}$

быть системой координат на ${\displaystyle W:=p^{-1}(U)\subset E}$ адаптировался к нему. потом

${\displaystyle p_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},}$

поэтому слой структуры вторичного векторного расслоения на Икс в Т_ИксM имеет форму

${\displaystyle p_{*}^{-1}(X)=\left\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\ :\ v\in E_{x};Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbf {R} \right\}.}$

Теперь оказывается, что

${\displaystyle \chi \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)}$

дает локальную тривиализацию χ : TW → TU × р^2N за (TE, п_∗, TM), и продвижение вперед исходных операций векторного пространства читается в адаптированных координатах как

${\displaystyle \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v+w}}$

и

${\displaystyle \lambda _{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{\lambda v},}$

так что каждое волокно (п_∗)⁻¹(Икс) ⊂ TE - векторное пространство и тройка (TE, п_∗, TM) является гладким векторным расслоением.

Линейность связностей на векторных расслоениях

Генерал Связь Ehresmann TE = ОН ⊕ VE на векторном расслоении (E, п, M) можно охарактеризовать с точки зрения карта соединителей

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X)\end{cases}}}$

куда vl_v : E → V_vE это вертикальный подъемник, и впр_v : Т_vE → V_vE это вертикальная проекция. Отображение

${\displaystyle {\begin{cases}\nabla :\Gamma (TM)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\\\nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)\end{cases}}}$

индуцированная связностью Эресмана, является ковариантная производная на Γ (E) в том смысле, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\nabla _{X}v\end{aligned}}}$

тогда и только тогда, когда карта коннекторов линейна относительно структуры вторичного векторного расслоения (TE, п_∗, TM) на TE. Тогда соединение называется линейный. Обратите внимание, что карта соединителей автоматически линейна по отношению к структуре касательного пучка. (TE, π_TE, E).

Смотрите также

• Подключение (векторный набор)
• Двойной касательный пучок
• Связь Ehresmann
• Векторный набор

Рекомендации

• P.Michor. Темы по дифференциальной геометрии, Американское математическое общество (2008).