Двойственность Серра - Serre duality

В алгебраическая геометрия, филиал математика, Двойственность Серра это двойственность для когерентные когомологии пучков алгебраических многообразий, доказанных Жан-Пьер Серр. Базовая версия относится к векторные пакеты на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашел широкие обобщения, например, на особые многообразия. На п-мерное многообразие, теорема утверждает, что группа когомологий ${\displaystyle H^{i}}$ это двойное пространство другого, ${\displaystyle H^{n-i}}$. Двойственность Серра является аналогом когерентных пучковых когомологий Двойственность Пуанкаре в топологии, с канонический набор строк замена ориентационный пучок.

Теорема двойственности Серра верна и в сложная геометрия в более общем смысле для компактных комплексные многообразия это не обязательно проективный комплексные алгебраические многообразия. В этом контексте теорема двойственности Серра представляет собой приложение Теория Ходжа для Когомологии Дольбо, и может рассматриваться как результат в теории эллиптические операторы.

Эти две различные интерпретации двойственности Серра совпадают для неособых проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению Теорема Дольбо связывая когомологии пучков с когомологиями Дольбо.

Двойственность Серра для векторных расслоений

Алгебраическая теорема

Позволять Икс быть гладкий сорт измерения п над полем k. Определить канонический набор строк ${\displaystyle K_{X}}$ быть связкой п-формы на Икс, максимальная внешняя мощность котангенсный пучок:

${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}$

Предположим дополнительно, что Икс является правильный (Например, проективный ) над k. Затем дуальность Серра говорит: для алгебраическое векторное расслоение E на Икс и целое число я, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}$

конечномерных k-векторные пространства. Вот ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение векторных расслоений. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны:

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра происходит из чашка продукта в когомологиях пучков. А именно состав чашечного изделия с натуральным карта трассировки на ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}$ это идеальное сочетание:

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

Отображение следа является аналогом когерентных пучковых когомологий интегрирования в когомологии де Рама.^[1]

Дифференциально-геометрическая теорема

Серр также доказал то же утверждение двойственности для Икс компактный комплексное многообразие и E а голоморфное векторное расслоение.^[2]Здесь теорема двойственности Серра является следствием Теория Ходжа. А именно, на компактном комплексном многообразии ${\displaystyle X}$ оснащен Риманова метрика, Существует Звездный оператор Ходжа

${\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),}$

где ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$. Кроме того, поскольку ${\displaystyle X}$ является сложным, происходит расщепление сложные дифференциальные формы в формы типа ${\displaystyle (p,q)}$. Звездный оператор Ходжа (расширенный комплексно-линейно до комплекснозначных дифференциальных форм) взаимодействует с этой градуировкой как

${\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).}$

Обратите внимание, что голоморфные и антиголоморфные индексы поменялись местами. Существует спряжение сложных дифференциальных форм, которое меняет местами формы типа. ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle (q,p)}$, и если определить сопряженно-линейный звездный оператор Ходжа от ${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$ тогда у нас есть

${\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).}$

Используя сопряженно-линейную звезду Ходжа, можно определить Эрмитский ${\displaystyle L^{2}}$-внутренний продукт на сложных дифференциальных формах, по

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}$

где сейчас ${\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }$ является ${\displaystyle (n,n)}$-форма, и в частности комплекснозначная ${\displaystyle 2n}$-форма, и поэтому может быть интегрирована в ${\displaystyle X}$ относительно его канонического ориентация. Кроме того, предположим ${\displaystyle (E,h)}$ - эрмитово голоморфное векторное расслоение. Тогда эрмитова метрика ${\displaystyle h}$ дает сопряженно-линейный изоморфизм ${\displaystyle E\cong E^{*}}$ между ${\displaystyle E}$ и это двойное векторное расслоение, сказать ${\displaystyle \tau :E\to E^{*}}$. Определение ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}$, получаем изоморфизм

${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}$

где ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$ состоит из гладких ${\displaystyle E}$-значные сложные дифференциальные формы. Использование пары между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ данный ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle h}$, поэтому можно определить эрмитово ${\displaystyle L^{2}}$-внутренний продукт на таких ${\displaystyle E}$-оцененные формы

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,}$

где здесь ${\displaystyle \wedge _{h}}$ означает произведение клина дифференциальных форм и использование пары между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ данный ${\displaystyle h}$.

В Теорема Ходжа для когомологий Дольбо утверждает, что если мы определим

${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

где ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ это Оператор Dolbeault из ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}$ является его формальным сопряженным по отношению к внутреннему произведению, то

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).}$

Слева - когомологии Дольбо, а справа - векторное пространство гармонический ${\displaystyle E}$-значные дифференциальные формы определяется

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

Используя это описание, теорему двойственности Серра можно сформулировать следующим образом: Изоморфизм ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}$ индуцирует комплексный линейный изоморфизм

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}$

Это легко доказать, используя приведенную выше теорию Ходжа. А именно, если ${\displaystyle [\alpha ]}$ является классом когомологий в ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ с уникальным гармоническим представителем ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$, тогда

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha =0}$. В частности, комплексное линейное спаривание

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

между ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$ является невырожденный, и индуцирует изоморфизм в теореме двойственности Серра.

Утверждение двойственности Серра в алгебраической ситуации может быть восстановлено, взяв ${\displaystyle p=0}$, и применяя Теорема Дольбо, в котором говорится, что

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}$

где слева когомологии Дольбо, а справа когомологии пучков, где ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}$ обозначает пучок голоморфных ${\displaystyle (p,0)}$-форм. В частности, получаем

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}$

где мы использовали, что пучок голоморфных ${\displaystyle (n,0)}$-forms - это просто канонический пакет из ${\displaystyle X}$.

Алгебраические кривые

Фундаментальное приложение двойственности Серра - это алгебраические кривые. (Над комплексными числами это эквивалентно считать компактные римановы поверхности.) Для линейного пучка L на гладкой проективной кривой Икс над полем k, единственными, возможно, ненулевыми группами когомологий являются ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ и ${\displaystyle H^{1}(X,L)}$. Двойственность Серра описывает ${\displaystyle H^{1}}$ группа с точки зрения ${\displaystyle H^{0}}$ группа (для другого линейного пакета).^[3] Это более конкретно, поскольку ${\displaystyle H^{0}}$ линейного пучка - это просто пространство его секций.

Двойственность Серра особенно актуальна для Теорема Римана – Роха для кривых. Для линейного пакета L степени d на кривой Икс из род г, теорема Римана – Роха говорит, что

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

Используя двойственность Серра, это можно переформулировать в более элементарных терминах:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

Последнее утверждение (выраженное в терминах делители ) фактически является первоначальной версией теоремы XIX века. Это основной инструмент, используемый для анализа того, как данная кривая может быть встроена в проективное пространство и, следовательно, для классификации алгебраических кривых.

Пример: каждый глобальный участок линейного пучка отрицательной степени равен нулю. Кроме того, степень канонического расслоения равна ${\displaystyle 2g-2}$. Следовательно, из Римана – Роха следует, что для линейного расслоения L степени ${\displaystyle d>2g-2}$, ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ равно ${\displaystyle d-g+1}$. Когда род г не меньше 2, из двойственности Серра следует, что ${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$. Вот ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$ является первым деформационное пространство из Икс. Это основной расчет, необходимый, чтобы показать, что пространство модулей кривых рода г имеет размер ${\displaystyle 3g-3}$.

Двойственность Серра для когерентных пучков

Другая формулировка двойственности Серра верна для всех. когерентные пучки, а не только векторные пакеты. В качестве первого шага к обобщению двойственности Серра Гротендик показал, что эта версия работает для схемы с небольшими особенностями, Схемы Коэна – Маколея, а не просто плавные схемы.

А именно, для схемы Коэна – Маколея Икс чистого измерения п над полем k, Гротендик определил когерентный пучок ${\displaystyle \omega _{X}}$ на Икс называется дуализирующий пучок. (Некоторые авторы называют эту связку ${\displaystyle K_{X}}$.) Предположим дополнительно, что Икс правильно над k. Для связной связки E на Икс и целое число я, Двойственность Серра говорит, что существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}$

конечномерных k-векторные пространства.^[4] Здесь Внешняя группа берется в абелевой категории ${\displaystyle O_{X}}$-модули. Сюда входит предыдущее утверждение, поскольку ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ изоморфен ${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$ когда E является векторным расслоением.

Чтобы использовать этот результат, нужно явно определить дуализирующий пучок, по крайней мере, в частных случаях. Когда Икс сглаживается k, ${\displaystyle \omega _{X}}$ каноническое линейное расслоение ${\displaystyle K_{X}}$ определено выше. В более общем смысле, если Икс является подсхемой Коэна – Маколея схемы коразмерность р в гладкой схеме Y над k, то дуализирующий пучок можно описать как Внешняя связка:^[5]

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

Когда Икс это локальное полное пересечение коразмерности р в гладкой схеме Y, есть более элементарное описание: нормальный пучок Икс в Y векторное расслоение ранга р, а дуализирующий пучок Икс дан кем-то^[6]

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}$

В таком случае, Икс схема Коэна – Маколея с ${\displaystyle \omega _{X}}$ линейный пакет, в котором говорится, что Икс является Горенштейн.

Пример: пусть Икс быть полное пересечение в проективном пространстве ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ над полем k, определяемые однородными многочленами ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ степеней ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$. (Сказать, что это полное пересечение, значит, что Икс имеет размер ${\displaystyle n-r}$.) Есть линейные связки О(d) на ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ для целых чисел d, обладающее тем свойством, что однородные многочлены степени d можно рассматривать как разделы О(d). Тогда дуализирующий пучок Икс это линейный пучок

${\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}$

посредством формула присоединения. Например, дуализирующий пучок плоской кривой Икс степени d является ${\displaystyle O(d-3)|_{X}}$.

Комплексные модули трехмерных многообразий Калаби – Яу.

В частности, мы можем вычислить количество сложных деформаций, равное ${\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}$ для пятой тройки в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$, многообразие Калаби – Яу, используя двойственность Серра. Поскольку свойство Калаби-Яу обеспечивает ${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ Двойственность Серра показывает нам, что ${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$ показывая, что количество комплексных модулей равно ${\displaystyle h^{2,1}}$ в алмазе Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева – Тиана – Тодорова, которая утверждает, что любая деформация Калаби – Яу беспрепятственна.

Двойственность Гротендика

Основная статья: Когерентная двойственность

Теория Гротендика когерентная двойственность является широким обобщением двойственности Серра, используя язык производные категории. Для любой схемы Икс конечного типа над полем k, есть объект ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ограниченной производной категории когерентных пучков на Икс, ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$, называется дуализирующий комплекс из Икс над k. Формально, ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ это исключительный инверсный образ ${\displaystyle f^{!}O_{Y}}$, где ж данный морфизм ${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$. Когда Икс Коэн – Маколей чистой размерности п, ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ является ${\displaystyle \omega _{X}[n]}$; то есть, это дуализирующий пучок, обсужденный выше, рассматриваемый как комплекс в (когомологической) степени -п. В частности, когда Икс сглаживается k, ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ это канонический линейный пучок, помещенный в градус -п.

Используя дуализирующий комплекс, двойственность Серра обобщается на любую правильную схему Икс над k. А именно, существует естественный изоморфизм конечномерных k-векторные пространства

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}$

для любого объекта E в ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$.^[7]

В общем, для правильной схемы Икс над k, объект E в ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$, и F а идеальный комплекс в ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$, есть элегантное утверждение:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}$

Здесь тензорное произведение означает производное тензорное произведение, что естественно в производных категориях. (Для сравнения с предыдущими формулировками обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ можно рассматривать как ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$.) Когда Икс также сглаживается k, каждый объект в ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ совершенный комплекс, и поэтому эта двойственность применима ко всем E и F в ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$. Затем приведенное выше утверждение резюмируется следующим образом: ${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$ это Функтор Серра на ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ для Икс гладко и правильно k.^[8]

Двойственность Серра в более общем смысле алгебраические пространства над полем.^[9]

Заметки

1. Huybrechts (2005), упражнение 3.2.3.
2. Серр (1955); Huybrechts (2005), Предложение 4.1.15.
3. Для кривой двойственность Серра проще, но все же нетривиальна. Одно доказательство дано у Тейта (1968).
4. Хартсхорн (1977), теорема III.7.6.
5. Хартсхорн (1977), доказательство предложения III.7.5; Stacks Project, тег 0A9X.
6. Хартсхорн (1977), теорема III.7.11; Stacks Project, тег 0BQZ.
7. Хартсхорн (1966), следствие VII.3.4 (c); Stacks Project, тег 0B6I; Stacks Project, тег 0B6S.
8. Хайбрехтс (2006), определение 1.28, теорема 3.12.
9. Stacks Project, тег 0E58.

использованная литература

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, Г-Н  0463157, OCLC  13348052
• Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность, Конспект лекций по математике, 20, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03603-6, Г-Н  0222093
• «Двойственность», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-21290-6, Г-Н  2093043
• Хайбрехтс, Даниэль (2006), Преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии, Oxford University Press, ISBN  978-0199296866, Г-Н  2244106
• Серр, Жан-Пьер (1955), "Теорема дуалита", Комментарии Mathematici Helvetici, 29: 9–26, Дои:10.1007 / BF02564268, Г-Н  0067489
• Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых» (PDF), Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 1: 149–159, Дои:10.24033 / asens.1162, ISSN  0012-9593, Г-Н  0227171

внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project