Эквивалентность категорий - Equivalence of categories

В теория категорий, абстрактная ветвь математика, эквивалентность категорий это отношения между двумя категории что устанавливает, что эти категории «по сути одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности включает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут показаться несвязанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными видами математических структур, зная, что сущностный смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположный (или двойной) другой категории, то говорят о двойственность категорий, и говорит, что две категории двойной эквивалент.

Эквивалентность категорий состоит из функтор между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако в отличие от обычной для изоморфизмы в алгебраическом контексте композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфный к своему изображению под этой композицией. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно существует концепция изоморфизм категорий где требуется строгая форма обратного функтора, но это гораздо менее практично, чем эквивалентность концепция.

Определение

Формально учитывая две категории C и D, эквивалентность категорий состоит из функтора F : C → D, функтор грамм : D → C, и два естественных изоморфизма ε: FG→я_D и η: я_C→GF. Здесь FG: D→D и GF: C→C, обозначим соответствующие составы F и грамм, и я_C: C→C и я_D: D→D обозначить функторы идентичности на C и D, приписывая каждый объект и морфизм самому себе. Если F и грамм являются контравариантными функторами, о которых говорят двойственность категорий вместо.

Часто не все перечисленные данные уточняют. Например, мы говорим, что категории C и D находятся эквивалент (соответственно двойной эквивалент), если между ними существует эквивалентность (соответственно двойственность). Кроме того, мы говорим, что F "является" эквивалентностью категорий, если обратный функтор грамм и естественные изоморфизмы, как указано выше, существуют. Обратите внимание, однако, что знание F обычно недостаточно для восстановления грамм и естественные изоморфизмы: может быть много вариантов (см. пример ниже).

Эквивалентные характеристики

Функтор F : C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда это одновременно:

• полный, т.е. для любых двух объектов c₁ и c₂ из C, карта Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) индуцированный F является сюръективный;
• верный, т.е. для любых двух объектов c₁ и c₂ из C, карта Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) индуцированный F является инъективный; и
• существенно сюръективный (плотный), т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту вида Fc, за c в C.^[1]

Это довольно полезный и часто применяемый критерий, потому что не нужно явно строить «обратный» грамм и естественные изоморфизмы между FG, GF и тождественные функторы. С другой стороны, хотя указанные выше свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно сильной версии аксиома выбора в основной теории множеств) недостающие данные не определены полностью, и часто есть много вариантов. По возможности рекомендуется явно указывать недостающие конструкции, из-за этого функтор с этими свойствами иногда называют слабая эквивалентность категорий. (К сожалению, это противоречит терминологии из теория гомотопического типа.)

Также существует тесная связь с концепцией присоединенные функторы. Следующие утверждения эквивалентны для функторов F : C → D и грамм : D → C:

• Существуют естественные изоморфизмы из FG к я_D и я_C к GF.
• F является левым сопряженным к грамм и оба функтора полны и верны.
• грамм является правым соплеменником F и оба функтора полны и верны.

Следовательно, можно рассматривать отношение сопряженности между двумя функторами как выражение «более слабой формы эквивалентности» категорий. Предполагая, что естественные преобразования для добавок заданы, все эти формулировки допускают явное построение необходимых данных, и никаких принципов выбора не требуется. Ключевое свойство, которое здесь нужно доказать, - это то, что графство присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный является полным и точным функтором.

Примеры

• Рассмотрим категорию ${\displaystyle C}$ имея единственный объект ${\displaystyle c}$ и единый морфизм ${\displaystyle 1_{c}}$, а категория ${\displaystyle D}$ с двумя объектами ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}}$ и четыре морфизма: два тождественных морфизма ${\displaystyle 1_{d_{1}}}$, ${\displaystyle 1_{d_{2}}}$ и два изоморфизма ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$ и ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$. Категории ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ эквивалентны; мы можем (например) иметь ${\displaystyle F}$ карта ${\displaystyle c}$ к ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle G}$ сопоставить оба объекта ${\displaystyle D}$ к ${\displaystyle c}$ и все морфизмы к ${\displaystyle 1_{c}}$.
• Напротив, категория ${\displaystyle C}$ с одним объектом и единым морфизмом нет эквивалент категории ${\displaystyle E}$ с двумя объектами и только двумя морфизмами идентичности, поскольку два объекта в них нет изоморфный.
• Рассмотрим категорию ${\displaystyle C}$ с одним объектом ${\displaystyle c}$, и два морфизма ${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$. Позволять ${\displaystyle 1_{c}}$ быть морфизмом тождества на ${\displaystyle c}$ и установить ${\displaystyle f\circ f=1}$. Конечно, ${\displaystyle C}$ эквивалентно самому себе, что можно показать, взяв ${\displaystyle 1_{c}}$ вместо требуемых естественных изоморфизмов между функтором ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ и сам. Однако верно и то, что ${\displaystyle f}$ дает естественный изоморфизм из ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ себе. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все еще можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления.
• Категория наборов и частичные функции эквивалентно, но не изоморфно категории заостренные наборы карты, сохраняющие точки.^[2]
• Рассмотрим категорию ${\displaystyle C}$ конечных-размерный настоящий векторные пространства, а категория ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$ всего реального матрицы (последняя категория объясняется в статье о аддитивные категории ). потом ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ эквивалентны: Функтор ${\displaystyle G\colon D\to C}$ который отображает объект ${\displaystyle A_{n}}$ из ${\displaystyle D}$ в векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ а матрицы в ${\displaystyle D}$ к соответствующим линейным отображениям является полным, точным и существенно сюръективным.
• Одна из центральных тем алгебраическая геометрия есть двойственность категории аффинные схемы и категория коммутативные кольца. Функтор ${\displaystyle G}$ сопоставляет каждому коммутативному кольцу его спектр, схема, определяемая главные идеалы кольца. Прилегающий ${\displaystyle F}$ связывает каждой аффинной схеме свое кольцо глобальных секций.
• В функциональный анализ категория коммутативных C * -алгебры с тождеством контравариантно эквивалентна категории компактный Хаусдорфовы пространства. При этой двойственности всякое компактное хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ связана с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на ${\displaystyle X}$, и каждой коммутативной C * -алгебре соответствует пространство своих максимальные идеалы. Это Представительство Гельфанда.
• В теория решетки, существует ряд двойственностей, основанных на теоремах представления, которые связывают определенные классы решеток с классами топологические пространства. Вероятно, самая известная теорема такого рода - это Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр, который является частным случаем в общей схеме Каменная двойственность. Каждый Булева алгебра ${\displaystyle B}$ отображается в определенную топологию на множестве ультрафильтры из ${\displaystyle B}$. И наоборот, для любой топологии открыто-замкнутые (т. Е. Замкнутые и открытые) подмножества порождают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и Каменные пространства (с непрерывными отображениями). Другой случай двойственности Стоуна: Теорема Биркгофа о представлении утверждение двойственности между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками.
• В бессмысленная топология Категория пространственных локалей, как известно, эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
• Для двух кольца р и S, то Категория продукта р-Мод×S-Мод эквивалентно (р×S)-Мод.^{[нужна цитата ]}
• Любая категория эквивалентна своей скелет.

Характеристики

Как показывает практика, эквивалентность категорий сохраняет все «категориальные» понятия и свойства. Если F : C → D эквивалентность, то верны все следующие утверждения:

• предмет c из C является исходный объект (или же конечный объект, или же нулевой объект ), если и только если Fc является исходный объект (или же конечный объект, или же нулевой объект ) из D
• морфизм α в C это мономорфизм (или же эпиморфизм, или же изоморфизм ), если и только если Fα является мономорфизмом (или эпиморфизмом, или изоморфизмом) в D.
• функтор ЧАС : я → C имеет предел (или копредел) л тогда и только тогда, когда функтор FH : я → D имеет предел (или копредел) Fl. Это может быть применено к эквалайзеры, товары и побочные продукты среди прочего. Применяя это к ядра и коядра, мы видим, что эквивалентность F является точный функтор.
• C это декартова закрытая категория (или топос ) если и только если D декартово замкнуто (или топос).

Двойственности «переворачивают все понятия»: они превращают исходные объекты в конечные, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. Д.

Если F : C → D эквивалентность категорий, а грамм₁ и грамм₂ две инверсии F, тогда грамм₁ и грамм₂ естественно изоморфны.

Если F : C → D является эквивалентностью категорий, и если C это предаддитивная категория (или же аддитивная категория, или же абелева категория ), тогда D может быть превращен в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) таким образом, что F становится аддитивный функтор. С другой стороны, любая эквивалентность аддитивных категорий обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

An автоэквивалентность категории C эквивалентность F : C → C. Автоэквивалентности C сформировать группа под композицией, если мы считаем две естественно изоморфные автоэквивалентности идентичными. Эта группа отражает основные «симметрии» C. (Одно предостережение: если C не малая категория, то автоэквивалентности C может сформировать надлежащий учебный класс а не набор.)

Смотрите также

• Эквивалентные определения математических структур

Рекомендации

1. Мак-Лейн (1998), теорема IV.4.1
2. Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатный тур». У Юргена Козловского и Остина Мелтона (ред.). Категориальные перспективы. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN  978-0-8176-4186-3.

• эквивалентность категорий в nLab
• «Эквивалентность категорий», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика. Нью-Йорк: Спрингер. С. xii + 314. ISBN  0-387-98403-8.