Суперматрица - Supermatrix

Эта статья о суперматрицах в супер линейная алгебра. В других контекстах «суперматрица» иногда используется как синоним блочная матрица.

В математика и теоретическая физика, а суперматрица это Z₂-расширенный аналог обыкновенного матрица. В частности, суперматрица - это 2 × 2 блочная матрица с записями в супералгебра (или же супер кольцо ). Самыми важными примерами являются те, у которых записи в коммутативная супералгебра (например, Алгебра грассмана ) или обычный поле (рассматривается как чисто четная коммутативная супералгебра).

Суперматрицы возникают при изучении супер линейная алгебра где они появляются как координатные представления линейные преобразования между конечномерными супер векторные пространства или бесплатно супермодули. У них есть важные приложения в области суперсимметрия.

Определения и обозначения

Позволять р быть фиксированным супералгебра (предполагается, что единый и ассоциативный ). Часто требуется р быть суперкоммутативный также (по существу по тем же причинам, что и в случае без оценки).

Позволять п, q, р, и s быть неотрицательными целыми числами. А суперматрица размерности (р|s)×(п|q) это матрица с записями в р который разбивается на 2 × 2 блочная структура

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

с р+s всего строк и п+q всего столбцов (чтобы подматрица Икс₀₀ имеет размеры р×п и Икс₁₁ имеет размеры s×q). Обычную (неградуированную) матрицу можно представить как суперматрицу, для которой q и s оба равны нулю.

А квадрат суперматрица - та, для которой (р|s) = (п|q). Это означает, что не только неразмеченная матрица Икс квадрат, но диагональные блоки Икс₀₀ и Икс₁₁ тоже.

An даже суперматрица тот, для которого диагональные блоки (Икс₀₀ и Икс₁₁) состоят исключительно из четных элементов р (т.е. однородные элементы с четностью 0) и недиагональные блоки (Икс₀₁ и Икс₁₀) состоят исключительно из нечетных элементов р.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

An нечетная суперматрица один для обратного: диагональные блоки нечетные, а недиагональные блоки четные.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

Если скаляры р являются чисто четными, нет ненулевых нечетных элементов, поэтому четные суперматрицы являются диагональ блока единицы и нечетные суперматрицы - недиагональные.

Суперматрица - это однородный если он четный или нечетный. В паритет, |Икс|, ненулевой однородной суперматрицы Икс равно 0 или 1 в зависимости от того, четное оно или нечетное. Каждую суперматрицу можно однозначно записать как сумму четной и нечетной суперматриц.

Алгебраическая структура

Суперматрицы совместимых размерностей можно складывать или умножать так же, как и обычные матрицы. Эти операции точно такие же, как и обычные, за исключением того, что они определяются только тогда, когда блоки имеют совместимые размеры. Можно также умножить суперматрицы на элементы р (слева или справа), однако эта операция отличается от случая без оценки из-за наличия нечетных элементов в р.

Позволять M_р|s×п|q(р) обозначают множество всех суперматриц над р с размером (р|s)×(п|q). Этот набор образует супермодуль над р при суперматричном сложении и скалярном умножении. В частности, если р супералгебра над полем K тогда M_р|s×п|q(р) образует супер векторное пространство над K.

Позволять M_п|q(р) обозначим множество всех квадратных суперматриц над р с размером (п|q)×(п|q). Этот набор образует супер кольцо при суперматричном сложении и умножении. Кроме того, если р это коммутативная супералгебра, то умножение суперматриц является билинейной операцией, так что M_п|q(р) образует супералгебру над р.

Добавление

Две суперматрицы размерности (р|s)×(п|q) можно добавить так же, как в неклассифицированный случай для получения суперматрицы такой же размерности. Добавление может выполняться поблочно, так как блоки имеют совместимые размеры. Легко видеть, что сумма двух четных суперматриц четна, а сумма двух нечетных суперматриц нечетна.

Умножение

Суперматрицу можно умножить на размерности (р|s)×(п|q) суперматрицей размером (п|q)×(k|л) как в неклассифицированный случай для получения матрицы размерности (р|s)×(k|л). Умножение может быть выполнено на уровне блока очевидным образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

Отметим, что блоки суперматрицы произведения Z = XY даны

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

Если Икс и Y однородны с четностями |Икс| и |Y| тогда XY однородно с четностью |Икс| + |Y|, То есть произведение двух четных или двух нечетных суперматриц является четным, в то время как произведение четной и нечетной суперматриц является нечетным.

Скалярное умножение

Скалярное умножение для суперматриц отличается от случая без оценки из-за наличия нечетных элементов в р. Позволять Икс быть суперматрицей. Левое скалярное умножение на α ∈ р определяется

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

где внутренние скалярные умножения - обычные неклассифицированные и ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ обозначает инволюцию ступеней в р. На однородных элементах это задается формулой

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

Аналогично определяется правое скалярное умножение на α:

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

Если α четно, то ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$ и обе эти операции такие же, как и в неклассифицированных версиях. Если α и Икс однородны, то α ·Икс и Икс· Α однородны с четностью | α | + |Икс|, Кроме того, если р суперкоммутативно, то

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

Как линейные преобразования

Обычные матрицы можно рассматривать как координатные представления линейные карты между векторные пространства (или же бесплатные модули ). Точно так же суперматрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между супер векторные пространства (или же бесплатные супермодули ). Однако есть важное различие в градуированном случае. Гомоморфизм из одного супервекторного пространства в другое по определению сохраняет градуировку (т.е. отображает четные элементы в четные элементы и нечетные элементы в нечетные элементы). Координатное представление такого преобразования всегда даже суперматрица. Нечетные суперматрицы соответствуют линейным преобразованиям, которые меняют градуировку. Общие суперматрицы представляют собой произвольное линейное преобразование без градации. Такие преобразования все еще важны в градуированном случае, хотя и в меньшей степени, чем градуированные (четные) преобразования.

А супермодуль M через супералгебра р является свободный если он имеет свободную однородную основу. Если такая основа состоит из п даже элементы и q нечетные элементы, тогда M считается имеющим звание п|q. Если р суперкоммутативен, ранг не зависит от выбора базиса, как и в случае без оценки.

Позволять р^п|q - пространство супервекторов столбцов - суперматриц размерности (п|q) × (1 | 0). Это естественно право р-супермодуль, называемый правое координатное пространство. Суперматрица Т размерности (р|s)×(п|q) можно рассматривать как право р-линейная карта

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

где действие Т на р^п|q просто суперматричное умножение (это действие обычно не оставляют р-линейный, поэтому мы думаем о р^п|q как верно супермодуль).

Позволять M будь свободен р-супермодуль ранга п|q и разреши N быть свободным правом р-супермодуль ранга р|s. Позволять (е_я) быть свободной основой для M и разреши (ж_k) быть свободной основой для N. Такой выбор базисов эквивалентен выбору изоморфизмов из M к р^п|q и из N к р^р|s. Любая (без оценки) линейная карта

${\displaystyle T:M\to N\,}$

можно записать как (р|s)×(п|q) суперматрица относительно выбранных баз. Компоненты ассоциированной суперматрицы определяются по формуле

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

Блочная декомпозиция суперматрицы Т соответствует разложению M и N на четные и нечетные подмодули:

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

Операции

Многие операции с обычными матрицами могут быть обобщены на суперматрицы, хотя обобщения не всегда очевидны или просты.

Супертранспозиция

В супертранспортировка суперматрицы Z₂-расширенный аналог транспонировать. Позволять

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

быть однородным (р|s)×(п|q) суперматрица. Супертранспозиция Икс это (п|q)×(р|s) суперматрица

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

куда А^т обозначает обычное транспонирование А. Это можно распространить на произвольные суперматрицы по линейности. В отличие от обычного транспонирования, супертранспонирование обычно не является инволюция, но имеет порядок 4. Двойное применение супертранспозиции к суперматрице Икс дает

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

Если р суперкоммутативно, супертранспозиция удовлетворяет тождеству

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

Транспонирование четности

В транспонирование по четности суперматрицы - новая операция без неклассифицированного аналога. Позволять

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

быть (р|s)×(п|q) суперматрица. Четность транспонирует Икс это (s|р)×(q|п) суперматрица

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

Это (я,j) блок транспонированной матрицы представляет собой (1−я,1−j) блок исходной матрицы.

Операция транспонирования четности подчиняется тождествам

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

а также

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{4}}$

куда ул обозначает операцию суперпереноса.

Supertrace

В суперслед квадратной суперматрицы - это Z₂-расширенный аналог след. Он определяется на однородных суперматрицах формулой

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

где tr обозначает обычный след.

Если р суперкоммутативен, суперслед удовлетворяет тождеству

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

для однородных суперматриц Икс и Y.

Березинский

В Березинский (или же супердетерминант ) квадратной суперматрицы является Z₂-расширенный аналог детерминант. Березиниан корректно определен только на четных обратимых суперматрицах над коммутативной супералгеброй р. В этом случае он задается формулой

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

где det означает обычный определитель (квадратных матриц с элементами коммутативной алгебры р₀).

Березиниан обладает свойствами, аналогичными обычному определителю. В частности, он мультипликативен и инвариантен относительно супертранспозиции. Он связан с суперследом формулой

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

Рекомендации

• Варадараджан, В. С. (2004). Суперсимметрия для математиков: введение. Конспект лекций Куранта по математике 11. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3574-2.
• Делинь, Пьер; Морган, Джон В. (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков. 1. Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5.