Суперсимметрия как квантовая группа - Supersymmetry as a quantum group

Концепция в теоретическая физика из суперсимметрия можно переосмыслить на языке некоммутативная геометрия и квантовые группы. В частности, речь идет о легкой форме некоммутативность, а именно сверхкоммутативность.

Унитарный (–1)^F оператор

Ниже приводится суть суперсимметрии, которая заключена в следующем минимальном квантовая группа. У нас есть двумерный Алгебра Хопфа создано (-1) Ж при условии

${displaystyle {(-1)^{F}}^{2}=1}$

с графство

${displaystyle epsilon ((-1)^{F})=1}$

и сопродукт

${displaystyle Delta (-1)^{F}=(-1)^{F}otimes (-1)^{F}}$

и антипод

${displaystyle S(-1)^{F}=(-1)^{F}}$

Пока что в этой алгебре Хопфа нет ничего суперсимметричного; это изоморфный в алгебру Хопфа двухэлементной группы ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$. Суперсимметрия возникает, когда вводится нетривиальный квазитреугольный структура

${displaystyle {mathcal {R}}={frac {1}{2}}left[1otimes 1+(-1)^{F}otimes 1+1otimes (-1)^{F}-(-1)^{F}otimes (-1)^{F}ight]}$

где +1 собственные состояния из (-1)^F называются бозонами, а -1 собственные состояния называются фермионами.

Это описывает фермионный плетение; не бери фазовый фактор при перестановке двух бозонов или бозона и фермиона, но умножается на -1 при перестановке двух фермионов. В этом заключается суть различия между бозонами и фермионами.

Фермионные операторы

Предыдущий анализ только вводил понятие фермионов, а не суперсимметрии. Алгебра Хопфа ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ градуированный и содержит четные и нечетные элементы. Четные элементы коммутируют с (-1)^F; странные антикоммутация. Подалгебра, не содержащая (-1) ^ F, суперкоммутативна.

Допустим, мы имеем дело с супералгебра Ли с четными образующими x и нечетными образующими y.

Потом,

${displaystyle Delta x=xotimes 1+1otimes x}$

${displaystyle Delta y=yotimes 1+(-1)^{F}otimes y}$

Это совместимо с ${displaystyle {mathcal {R}}}$.

Суперсимметрия - это симметрия над системами, в которых два фермиона меняются местами, и знак минус достигается.

Смотрите также

• Введение в квантовую механику
• Теория групп
• Группа симметрии