Опора (теория меры) - Support (measure theory)

В математика, то поддерживать (иногда топологическая поддержка или же спектр) из мера μ на измеримый топологическое пространство (Икс, Борель (Икс)) - точное представление о том, где в пространстве Икс мера «живет». Он определяется как самый маленький (закрыто ) подмножество из Икс для чего каждый открыто район каждой точки набор имеет положительную меру.

Мотивация

(Неотрицательная) мера ${displaystyle mu}$ на измеримом пространстве ${displaystyle (X, Sigma)}$ это действительно функция ${displaystyle mu: Sigma o [0, + infty]}$ . Следовательно, с точки зрения обычного определение из поддерживать, поддержка ${displaystyle mu}$ является подмножеством σ-алгебра ${displaystyle Sigma}$ :

{displaystyle operatorname {supp} (mu): = {overline {{Ain Sigma mid mu (A)> 0}}}}

где черта сверху означает установить закрытие. Однако это определение несколько неудовлетворительно: мы используем понятие замыкания, но у нас даже нет топологии на ${displaystyle Sigma}$ . Что мы действительно хотим знать, так это где в пространстве ${displaystyle X}$ мера ${displaystyle mu}$ не равно нулю. Рассмотрим два примера:

Мера Лебега ${displaystyle lambda}$ на реальная линия ${displaystyle mathbb {R}}$ . Кажется очевидным, что ${displaystyle lambda}$ "живет" на всей реальной линии.
А Мера Дирака ${displaystyle delta _ {p}}$ в какой-то момент ${displaystyle pin mathbb {R}}$ . Опять же, интуиция подсказывает, что мера ${displaystyle delta _ {p}}$ "живет" в точке ${displaystyle p}$ , и больше нигде.

В свете этих двух примеров мы можем отклонить следующие определения кандидатов в пользу того, что приведено в следующем разделе:

Мы могли бы удалить точки, где ${displaystyle mu}$ равна нулю, а за остаток принимаем поддержку ${displaystyle Xsetminus {xin Xmid mu ({x}) = 0}}$ . Это может работать для меры Дирака ${displaystyle delta _ {p}}$ , но это точно не сработает для ${displaystyle lambda}$ : поскольку мера Лебега любого синглтона равна нулю, это определение даст ${displaystyle lambda}$ пустая опора.
По сравнению с понятием строгая позитивность мер, мы могли бы принять за опору множество всех точек с окрестностью положительной меры:

{displaystyle {xin Xmid {ext {для некоторых открытых}} N_ {x} i x, mu (N_ {x})> 0}}

(или закрытие этого). К тому же это слишком упрощенно: взяв

{displaystyle N_ {x} = X}

по всем пунктам

{displaystyle xin X}

, это сделало бы поддержку каждой меры, кроме нулевой меры, всей

{displaystyle X}

.

Однако идея «локальной строгой позитивности» не так уж далека от рабочего определения:

Определение

Позволять (Икс, Т) быть топологическое пространство; пусть B (Т) обозначают Борелевская σ-алгебра на Икс, т.е. наименьшая сигма-алгебра на Икс который содержит все открытые множества U ∈ Т. Позволять μ быть мерой на (Икс, B (Т)). Тогда поддерживать (или же спектр) из μ определяется как множество всех точек Икс в Икс для чего каждый открыто район N_Икс из Икс имеет положительный мера:

{displaystyle operatorname {supp} (mu): = {xin Xmid xin N_ {x} in Timplies mu (N_ {x})> 0}.}

Некоторые авторы предпочитают брать замыкание из вышеперечисленного. Однако в этом нет необходимости: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение поддержки - наибольшая C ∈ B (Т) (относительно включения) такое, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с C имеет положительную меру, то есть наибольшее C такое, что:

{displaystyle (forall Uin T) (Ucap Ceq var ничего не подразумевает mu (Ucap C)> 0).}

Характеристики

${displaystyle operatorname {supp} (mu _ {1} + mu _ {2}) = operatorname {supp} (mu _ {1}) имя оператора чашки {supp} (mu _ {2})}$
Мера μ на Икс строго положительный если и только если имеет опорную поддержку (μ) = Икс. Если μ строго положительный и Икс ∈ Икс произвольно, то любая открытая окрестность Икс, поскольку это открытый набор, имеет положительную меру; следовательно, Икс ∈ supp (μ), так что supp (μ) = Икс. Наоборот, если supp (μ) = Икс, то каждое непустое открытое множество (являющееся открытой окрестностью некоторой точки внутри себя, которая также является точкой опоры) имеет положительную меру; следовательно, μ строго положительный.
Поддержка меры закрыто в Икс поскольку его дополнение есть объединение открытых множеств меры 0.
В общем случае носитель ненулевой меры может быть пустым: см. Примеры ниже. Однако если Икс топологический Пространство Хаусдорфа и μ это Радоновая мера, а измеримый набор А вне поддержки измерять ноль:

{displaystyle Asubseteq Xsetminus operatorname {supp} (mu) подразумевает mu (A) = 0.}

Обратное верно, если А открыто, но в целом неверно: он не работает, если существует точка Икс ∈ supp (μ) такие, что μ({Икс}) = 0 (например, мера Лебега).

Таким образом, не нужно «интегрироваться вне поддержки»: для любого измеримая функция ж : Икс → р или же C,

{displaystyle int _ {X} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {operatorname {supp} (mu)} f (x), mathrm {d} mu (x).}

Концепция чего-либо поддерживать меры и того спектр из самосопряженный линейный оператор на Гильбертово пространство тесно связаны. Действительно, если ${displaystyle mu}$ это регулярная мера Бореля на линии ${displaystyle mathbb {R}}$ , то оператор умножения ${displaystyle (Af) (x) = xf (x)}$ самосопряжен в своей естественной области

{displaystyle D (A) = {fin L ^ {2} (mathbb {R}, dmu) mid xf (x) in L ^ {2} (mathbb {R}, dmu)}}

и его спектр совпадает с существенный диапазон функции тождества

{displaystyle xmapsto x}

, что как раз и является поддержкой

{displaystyle mu}

.^[1]

Примеры

Мера Лебега

В случае меры Лебега λ на реальной линии р, рассмотрим произвольную точку Икс ∈ р. Тогда любая открытая окрестность N_Икс из Икс должен содержать некоторые открытые интервал (Икс − ε, Икс + ε) для некоторых ε > 0. Этот интервал имеет меру Лебега 2ε > 0, поэтому λ(N_Икс) ≥ 2ε > 0. Поскольку Икс ∈ р было произвольно, supp (λ) = р.

Мера Дирака

В случае меры Дирака δ_п, позволять Икс ∈ р и рассмотрим два случая:

если Икс = п, то каждый открытый район N_Икс из Икс содержит п, так δ_п(N_Икс) = 1 > 0;
с другой стороны, если Икс ≠ п, то существует достаточно малый открытый шар B вокруг Икс что не содержит п, так δ_п(B) = 0.

Делаем вывод, что supp (δ_п) является закрытием одиночка набор {п}, который {п} сам.

Фактически, мера μ на прямой - мера Дирака δ_п в какой-то момент п если и только если поддержка μ это одноэлементный набор {п}. Следовательно, мера Дирака на вещественной прямой является единственной мерой с нулевым отклонение [при условии, что мера вообще имеет отклонение].

Равномерное распределение

Рассмотрим меру μ на реальной линии р определяется

{displaystyle mu (A): = lambda (Acap (0,1))}

т.е. единообразная мера на открытом интервале (0, 1). Аргумент, аналогичный примеру меры Дирака, показывает, что supp (μ) = [0, 1]. Обратите внимание, что граничные точки 0 и 1 лежат в опоре: любое открытое множество, содержащее 0 (или 1), содержит открытый интервал около 0 (или 1), который должен пересекать (0, 1), и поэтому должен иметь положительный μ-мера.

Нетривиальная мера с пустым носителем

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством. Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является вероятностной борелевской мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру

На компактном хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру 0. Пример этого дается добавлением первого несчетного ординала Ω к предыдущему примеру: носитель меры - это единственная точка Ω, имеющая меру 0.

Подписанные и комплексные меры

Предположим, что μ : Σ → [−∞, + ∞] является подписанная мера. Использовать Теорема Хана о разложении написать

{displaystyle mu = mu ^ {+} - mu ^ {-},}

куда μ^± обе неотрицательные меры. Тогда поддерживать из μ определяется как

{displaystyle operatorname {supp} (mu): = operatorname {supp} (mu ^ {+}) имя оператора чашки {supp} (mu ^ {-}).}

Аналогично, если μ : Σ →C это комплексная мера, то поддерживать из μ определяется как союз опор его реальной и мнимой частей.