Тета характеристика - Theta characteristic - Wikipedia

В математика, а тета характеристика из неособый алгебраическая кривая C это класс делителя Θ такое, что 2Θ - канонический класс, С точки зрения голоморфные линейные расслоения L на подключенном компактная риманова поверхность, поэтому L такой, что L² это канонический пакет, здесь также эквивалентно голоморфное кокасательное расслоение. С точки зрения алгебраическая геометрия, эквивалентное определение - как обратимая связка, который квадратов к пучку дифференциалы первого рода. Тета-характеристики были введены Розенхайн  (1851 )

История и род 1

Важность этой концепции впервые была осознана в аналитической теории тета-функции, а геометрически в теории битангенты. В аналитической теории есть четыре фундаментальных тэта-функции в теории Эллиптические функции Якоби. Их ярлыки фактически являются тета-характеристиками эллиптическая кривая. В этом случае канонический класс тривиален (ноль в группа классов дивизоров ) и, следовательно, тета-характеристики эллиптической кривой E над комплексными числами находятся в соответствии 1-1 с четырьмя точками п на E с 2п = 0; это подсчет решений, как видно из структуры группы, продукт двух группы кругов, когда E рассматривается как комплексный тор.

Высший род

За C рода 0 существует один такой класс дивизоров, а именно класс -П, куда п любая точка на кривой. В случае высшего рода грамм, предполагая поле, над которым C определяется не имеет характеристика 2, тета-характеристики можно считать как

2^2грамм

по числу, если базовое поле алгебраически замкнуто.

Это происходит потому, что решения уравнения на уровне класса делителей образуют единый смежный решений

2D = 0.

Другими словами, с K канонический класс и Θ любое данное решение

2Θ = K,

любое другое решение будет иметь форму

Θ + D.

Это сводит подсчет тета-характеристик к нахождению 2-го ранга Якобиева многообразие J(C) из C. В сложном случае, опять же, результат следует, поскольку J(C) - комплексный тор размерности 2грамм. В общей области см. Объяснение теории на Матрица Хассе-Витта для подсчета p-ранг абелевого многообразия. Ответ тот же, при условии, что характеристика поля не равна 2.

Тета-характеристику будем называть четное или же странный в зависимости от размерности своего пространства глобальных секций ${\displaystyle H^{0}(C,\Theta )}$. Получается, что на C Существуют ${\displaystyle 2^{g-1}(2^{g}+1)}$ даже и ${\displaystyle 2^{g-1}(2^{g}-1)}$ нечетные тета-характеристики.

Классическая теория

Классически тета-характеристики делились на эти два типа, четные и нечетные, в зависимости от значения Инвариант Arf определенного квадратичная форма Q со значениями mod 2. Таким образом, в случае грамм = 3 и самолет кривая четвертой степени их было 28 одного типа, остальные 36 - другого; это является основным при подсчете битангенсов, поскольку соответствует 28 битангенс четвертичной. Геометрическое построение Q как форма пересечения с помощью современных инструментов возможно алгебраически. Фактически Спаривание Вейля применяется в своих абелева разновидность форма.Тройки (θ₁, θ₂, θ₃) тета-характеристик называются сизигетический и асизигетический в зависимости от того, является ли Arf (θ₁) + Arf (θ₂) + Arf (θ₃) + Arf (θ₁+ θ₂+ θ₃) равно 0 или 1.

Спиновые структуры

Атья (1971) показал, что для компактного комплексного многообразия выбор тэта-характеристик биективно соответствует спиновые структуры.

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1971), «Римановы поверхности и спиновые структуры», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 4: 47–62, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0286136
• Долгачев, Лекции на классические темы, гл. 5 (PDF)
• Фаркас, Гаврил (2012), Тета-характеристики и их модули, arXiv:1201.2557, Bibcode:2012arXiv1201.2557F
• Мамфорд, Дэвид (1971), «Тета-характеристики алгебраической кривой», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 4 (2): 181–192, МИСТЕР  0292836
• Розенхайн, Иоганн Георг (1851), Память о функциях двух переменных, qui sont les invses des intégrales ultra-elliptiques de la première classe, Париж