Структура спина - Spin structure

В дифференциальная геометрия, а спиновая структура на ориентируемый Риманово многообразие (M, г) позволяет определить связанные спинорные пучки, порождая понятие спинор в дифференциальной геометрии.

Спиновые структуры имеют широкое применение для математическая физика, в частности квантовая теория поля где они являются важным ингредиентом в определении любой теории с незаряженными фермионы. Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, и K теория. Они составляют основу геометрия вращения.

Обзор

В геометрия И в теория поля математики спрашивают, может ли данное ориентированное риманово многообразие (M,г) допускает спиноры. Один из способов решения этой проблемы - потребовать, чтобы M имеет спиновую структуру.^[1][2][3] Это не всегда возможно, так как потенциально существует топологическое препятствие для существования спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй Класс Штифеля – Уитни ш₂(M) ∈ H²(M, Z₂) из M исчезает. Кроме того, если ш₂(M) = 0, то множество классов изоморфизма спиновых структур на M действует свободно и транзитивно H¹(M, Z₂). Как многообразие M предполагается ориентированным, первый класс Штифеля – Уитни ш₁(M) ∈ H¹(M, Z₂) из M тоже пропадает. (Классы Штифеля – Уитни ш_я(M) ∈ H^я(M, Z₂) многообразия M определяются как классы Штифеля – Уитни его касательный пучок TM.)

Пучок спиноров π_S: S → M над M тогда комплексное векторное расслоение связанных с соответствующими основной пакет π_п: п → M из вращать кадры над M и спиновое представление его структурной группы Spin (п) на пространстве спиноров ∆_п. Пакет S называется спинорным расслоением для данной спиновой структуры на M.

Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после введения понятия пучок волокон был введен; Андре Хефлигер (1956) нашли топологическое препятствие к существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии и Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай.^[4][5]

Спиновые структуры на римановых многообразиях

Определение

Спиновая структура на ориентируемый Риманово многообразие (М, г) является эквивариантный подъем ориентированного ортонормированного пучка кадров F_ТАК(M) → M относительно двойного накрытия ρ: Spin (п) → SO (п). Другими словами, пара (п,F_п) является спиновой структурой на главном расслоении π: F_ТАК(M) → M когда

а) π_п: п → M является основным Spin (п) -связать M,

б) F_п: п → F_ТАК(M) является эквивариантный 2-кратный карта покрытия такой, что

${\displaystyle \pi \circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }}$ и F_п(п q) = F_п(п) ρ (q) для всех п ∈ п и q ∈ Spin (п).

Главное расслоение π_п: п → M также называется связкой спиновых кадров над M.

Две спиновые структуры (п₁, F_п1) и (п₂, F_п2) на тех же ориентированных Риманово многообразие (М, г) называются «эквивалентными», если существует Spin (п) -эквивариантное отображение ж: п₁ → п₂ такой, что

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$ и ж(п q) = ж(п)q для всех ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$ и q ∈ Spin (п).

Конечно, в этом случае ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$ и ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$ - два эквивалентных двойных накрытия ориентированного ортонормированного репера SO (п) -бандл F_ТАК(M) → M данного риманова многообразия (М, г).

Это определение спиновой структуры на (M,г) как спиновая структура на главном расслоении F_ТАК(M) → M связано с Андре Хефлигер (1956).

Препятствие

Андре Хефлигер ^[1] нашли необходимые и достаточные условия существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии (M,г). Препятствием к наличию спиновой структуры является определенный элемент [k] из H²(M, Z₂). Для спиновой структуры класс [k] второй Класс Штифеля – Уитни ш₂(M) ∈ H²(M, Z₂) из M. Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни ш₂(M) ∈ H²(M, Z₂) из M исчезает.

Спиновые структуры на векторных расслоениях

Позволять M быть паракомпакт топологическое многообразие и E ан ориентированный векторный набор на M измерения п оснащен метрика волокна. Это означает, что в каждой точке M, волокно E является внутреннее пространство продукта. Спинорный пучок E это рецепт последовательного связывания представление вращения в каждую точку M. Существуют топологические препятствия, мешающие это сделать, и, следовательно, данный пакет E может не допускать никаких спинорных связок. Если это так, говорят, что пакет E является вращение.

Это может быть сделано строго на языке основные связки. Сборник ориентированных ортонормированные рамки векторного расслоения образуют комплект кадров п_ТАК(E), которое является главным расслоением под действием специальная ортогональная группа ТАК(п). Спиновая структура для п_ТАК(E) это лифт из п_ТАК(E) в главный пучок п_{Вращение}(E) под действием вращательная группа Вращение(п), что означает существование отображения расслоения φ: п_{Вращение}(E) → п_ТАК(E) такие, что

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, для всех п ∈ п_{Вращение}(E) и г ∈ Spin (п),

где ρ : Вращение(п) → SO (п) есть отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное покрытие SO (п).

В частном случае, когда E это касательный пучок TM над базовым многообразием M, если спиновая структура существует, то говорят, что M это спиновый коллектор. Эквивалентно M является вращение если SO (п) основной пучок ортонормированные базы касательных волокон M это Z₂ фактор главного спинового расслоения.

Если многообразие имеет разложение клеток или триангуляция, спиновая структура может быть эквивалентно рассмотрена как гомотопический класс тривиализации касательный пучок над 1-скелет который простирается на 2-скелет. Если размерность меньше 3, сначала берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением.

Препятствие

Спиновая структура на векторном расслоении E существует тогда и только тогда, когда второй Класс Штифеля – Уитни ш₂ из E исчезает. Это результат Арман Борель и Фридрих Хирцебрух.^[6] Отметим, что мы приняли π_E: E → M является ориентируемый векторный набор.

Классификация

Когда существуют спиновые структуры, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно однозначное соответствие (не каноническое) с элементами H¹(M,Z₂), что по теорема об универсальном коэффициенте изоморфна H₁(M,Z₂). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинное пространство над H¹(M,Z₂).

Интуитивно для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует бинарному выбору того, является ли участок SO (N) bundle переключает листы при охвате петли. Если ш₂^[7] исчезает, то этот выбор может быть расширен на дваскелет, то (по теория препятствий ) они могут автоматически распространяться на все M. В физика элементарных частиц это соответствует выбору периодического или антипериодического граничные условия для фермионы обходя каждую петлю. Отметим, что на комплексном многообразии ${\displaystyle X}$ второй класс Штифеля-Уитни может быть вычислен как первый Черн класс ${\displaystyle {\text{mod }}2}$.

Примеры

1. А род г Риманова поверхность допускает 2^2г неэквивалентные спиновые структуры; увидеть тета характеристика.
2. Если ЧАС²(M,Z₂) исчезает, M является вращение. Например, S^п является вращение для всех ${\displaystyle n\neq 2}$. (Обратите внимание, что S² это также вращение, но по разным причинам; см. ниже.)
3. В комплексная проективная плоскость CP² не является вращение.
4. В более общем смысле, все четномерные комплексные проективные пространства CP^2п не вращение.
5. Все нечетное комплексные проективные пространства CP^{2n + 1} находятся вращение.
6. Все компактно, ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются вращение.
7. Все Многообразия Калаби – Яу. находятся вращение.

Свойства

• В Â род спинового многообразия является целым числом и является четным целым числом, если вдобавок размерность равна 4 по модулю 8.

  В целом Â род является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но в общем случае не является целым числом.

  Первоначально это было доказано Hirzebruch и Борель, и может быть доказано Теорема Атьи – Зингера об индексе, осознавая Â род как индекс Оператор Дирака - оператор Дирака является квадратным корнем из оператора второго порядка и существует благодаря тому, что спиновая структура является «квадратным корнем». Это был мотивирующий пример теоремы об индексе.

Вращение^C структуры

Вращение^C структура аналогична спиновой структуре на ориентированной Риманово многообразие,^[8] но использует спин^C группа, которая вместо этого определяется точная последовательность

${\displaystyle 1\to \mathbf {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Чтобы мотивировать это, предположим, что κ : Вращение(п) → U (N) является комплексным спинорным представлением. Центр U (N) состоит из диагональных элементов, идущих от включения я : U (1) → U (N), т.е. скалярные кратные тождества. Таким образом, есть гомоморфизм

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

В ядре всегда будет элемент (−1, −1). Фактор по модулю этого элемента дает группу Spin^C(п). Это скрученный продукт

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

где U (1) = SO (2) = S¹. Другими словами, группа Spin^C(п) это центральное расширение SO (п) от S¹.

С другой стороны, Spin^C(п) - фактор-группа, полученная из Вращение(п) × Вращение (2) относительно нормального Z₂ который порождается парой покрывающих преобразований для расслоений Вращение(п) → SO (п) и Спин (2) → SO (2) соответственно. Это делает спин^C группируем оба расслоения над окружностью со слоем Spin (п) и расслоение над SO (п) со слоем окружности.^[9][10]

Фундаментальная группа π₁(Вращение^C(п)) изоморфна Z если п ≠ 2, и к Z ⊕ Z если п = 2.

Если многообразие имеет разложение клеток или триангуляция, вращение^C структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс сложная структура над 2-скелет который простирается над 3-скелетом. Как и в случае спиновых структур, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.

Еще одно определение заключается в том, что вращение^C структура на многообразии N это сложный линейный пучок L над N вместе со спиновой структурой на ТN ⊕ L.

Препятствие

Вращение^C структура существует, когда пучок ориентируемый и второй Класс Штифеля – Уитни пакета E находится на изображении карты ЧАС²(M, Z) → ЧАС²(M, Z/2Z) (другими словами, исчезает третий интегральный класс Штифеля – Уитни). В этом случае говорят, что E крутится^C. Интуитивно лифт дает Черн класс квадрата части U (1) любого полученного спина^C По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают спин^C структура.

Классификация

Когда коллектор несет спин^C структура вообще, набор спина^C структуры образуют аффинное пространство. Причем набор спина^C структур имеет свободное переходное действие ЧАС²(M, Z). Таким образом, спин^C-конструкции соответствуют элементам ЧАС²(M, Z) хотя и не естественным образом.

Геометрическая картина

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, которая связана с Эдвард Виттен. Когда спин^C отлична от нуля, это расслоение квадратного корня имеет нецелой класс Черна, что означает, что оно не соответствует условие тройного перекрытия. В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как требуется для основной пакет. Вместо этого иногда -1.

Этот отказ происходит точно на тех же пересечениях, что и идентичный отказ в тройных произведениях функций перехода затрудненного спин-связка. Следовательно, тройные произведения переходных функций полной вращение^c связка, которые являются продуктами тройного произведения вращение и U (1) компонентные связки либо 1² = 1 или (−1)² = 1 и так спин^C bundle удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является допустимым набором.

Детали

Приведенную выше интуитивно понятную геометрическую картину можно конкретизировать следующим образом. Рассмотрим короткая точная последовательность 0 → Z → Z → Z₂ → 0, где второй стрелка является умножение на 2, а третий - редукция по модулю 2. Это индуцирует длинная точная последовательность на когомологиях, содержащий

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

где второй стрелка индуцируется умножением на 2, третье - ограничением по модулю 2, а четвертое - ассоциированным Гомоморфизм Бокштейна β.

Препятствие к существованию вращение bundle - это элемент ш₂ из ЧАС²(M,Z₂). Это отражает тот факт, что всегда можно локально поднять пучок SO (n) до вращение связку, но нужно выбрать Z₂ подъем каждой переходной функции, которая является выбором знака. Лифта не существует, когда произведение этих трех знаков на тройное перекрытие равно -1, что дает Когомологии Чеха картинка ш₂.

Чтобы устранить это препятствие, нужно усилить вращение пучок с пучком U (1) с таким же препятствием ш₂. Обратите внимание, что это злоупотребление словом связка, поскольку ни вращение расслоение и расслоение U (1) удовлетворяют условию тройного перекрытия, поэтому на самом деле ни одно из них не является расслоением.

Допустимый пакет U (1) классифицируется по его Черн класс, который является элементом H²(M,Z). Отождествите этот класс с первым элементом в указанной выше точной последовательности. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому допустимые связки будут соответствовать четным элементам во втором ЧАС²(M, Z), а нечетные элементы будут соответствовать связкам, которые не удовлетворяют условию тройного перекрытия. Затем препятствие классифицируется как отказ элемента во втором H²(M,Z) находиться в изображении стрелки, которая по точности классифицируется по ее изображению в H²(M,Z₂) под следующей стрелкой.

Чтобы отменить соответствующее препятствие в вращение комплект, это изображение должно быть ш₂. В частности, если ш₂ отсутствует в изображении стрелки, то не существует пучка U (1) с препятствием, равным ш₂ и поэтому препятствие не может быть отменено. По точности, ш₂ находится в изображении предыдущей стрелки, только если он находится в ядре следующей стрелки, которая, как мы помним, является Гомоморфизм Бокштейна β. То есть условием снятия препятствия является

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

где мы использовали тот факт, что третий интеграл Класс Штифеля – Уитни W₃ является Бокштейном второго класса Штифеля – Уитни ш₂ (это можно принять как определение W₃).

Интегральные лифты классов Штифеля – Уитни.

Этот аргумент также демонстрирует, что второй класс Штифеля – Уитни определяет элементы не только Z₂ когомологии, но и целых когомологий в одной высшей степени. Фактически это верно для всех четных классов Штифеля – Уитни. Традиционно использовать прописные буквы W для результирующих классов нечетной степени, которые называются интегральными классами Штифеля – Уитни и помечаются своей степенью (которая всегда нечетная).

Примеры

1. Все ориентированный гладкие многообразия размерности 4 или меньше вращаются^C.^[11]
2. Все почти комплексные многообразия крутятся^C.
3. Все вращение коллекторы спиновые^C.

Приложение к физике элементарных частиц

В физика элементарных частиц то спин-статистическая теорема означает, что волновая функция незаряженного фермион это раздел связанный векторный пучок к вращение лифт СО (N) пакет E. Следовательно, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто необходимо суммировать эти варианты в функция распределения. Во многих физических теориях E это касательный пучок, но для фермионов в мировых объемах D-браны в теория струн это нормальный комплект.

В квантовая теория поля заряженные спиноры - это участки ассоциированных вращение^c пучки, и в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, которое не вращение^c. Исключение возникает в некоторых супергравитация теории, в которых дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут аннулировать третий класс Штифеля – Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн представляет собой особенно тонкую открытую проблему, которая недавно упоминалась в справочных материалах.^[12][13] Оказывается, стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «липшицева структура».^[12][14]

Смотрите также

• Метаплектическая структура
• Пакет ортонормированных кадров
• Спинор

использованная литература

1. Хефлигер, А. (1956). "Sur l'extension du groupe Structural d'un espace fibré". C. R. Acad. Sci. Париж. 243: 558–560.
2. Дж. Милнор (1963). «Спиновые структуры на многообразиях». L'Enseignement Mathématique. 9: 198–203.
3. Лихнерович, А. (1964). "Champs spinoriels et aggateurs en rélativité générale". Бык. Soc. Математика. Пт. 92: 11–100. Дои:10.24033 / bsmf.1604.
4. Каруби, М. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". Анна. Sci. Éc. Норма. Супер. 1 (2): 161–270. Дои:10.24033 / asens.1163.
5. Alagia, H.R .; Санчес, К. У. (1985), «Спиновые структуры на псевдоримановых многообразиях» (PDF), Revista de la Unión Matemática Argentina, 32: 64–78
6. Borel, A .; Хирцебрух, Ф. (1958). «Характеристические классы и однородные пространства I». Американский журнал математики. 80 (2): 97–136. Дои:10.2307/2372795. JSTOR  2372795.
7. "Спиновое многообразие и второй класс Штифеля-Уитни". Math.Stachexchange.
8. Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Princeton University Press. п.391. ISBN  978-0-691-08542-5.
9. Р. Гомпф (1997). "Вращение^c–Структуры и гомотопические эквивалентности". Геометрия и топология. 1: 41–50. arXiv:математика / 9705218. Bibcode:1997математика ...... 5218G. Дои:10.2140 / gt.1997.1.41. S2CID  6906852.
10. Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии. Американское математическое общество. п.26. ISBN  978-0-8218-2055-1.
11. Gompf, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби. Американское математическое общество. стр.55 –58, 186–187. ISBN  0-8218-0994-6.
12. Lazaroiu, C .; Шахбази, К.С. (2019). «Реальные пиноровые связки и реальные липшицевы структуры». Азиатский математический журнал. 23 (5): 749–836. arXiv:1606.07894. Дои:10.4310 / AJM.2019.v23.n5.a3. S2CID  119598006..
13. Lazaroiu, C .; Шахбази, К.С. (2019). «О спиновой геометрии супергравитации и теории струн». Геометрические методы в физике XXXVI.. Тенденции в математике. С. 229–235. arXiv:1607.02103. Дои:10.1007/978-3-030-01156-7_25. ISBN  978-3-030-01155-0. S2CID  104292702.
14. Фридрих, Томас; Траутман, Анджей (2000). «Спиновые пространства, липшицевы группы и спинорные расслоения». Анналы глобального анализа и геометрии. 18 (3): 221–240. arXiv:математика / 9901137. Дои:10.1023 / А: 1006713405277. S2CID  118698159.

дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2055-1.
• Каруби, Макс (2008). K-теория. Springer. С. 212–214. ISBN  978-3-540-79889-7.
• Greub, Вернер; Петри, Герберт-Райнер (2006) [1978]. «О подъеме структурных групп». Дифференциальные геометрические методы в математической физике II. Конспект лекций по математике. 676. Springer-Verlag. С. 217–246. Дои:10.1007 / BFb0063673. ISBN  9783540357216.
• Скорпан, Александру (2005). «4.5 Примечания Спиновые структуры, определение структурной группы; Эквивалентность определений». Дикий мир 4-многообразий. Американское математическое общество. С. 174–189. ISBN  9780821837498.

внешние ссылки

• Кое-что о спиновых структурах пользователя Sven-S. Porst - это краткое введение в ориентация и спиновые структуры для студентов-математиков.