Оператор трансляции (квантовая механика) - Translation operator (quantum mechanics) - Wikipedia

В квантовая механика, а оператор перевода определяется как оператор который сдвигает частицы и поля на определенную сумму в определенном направлении.

Точнее, для любого вектор смещения ${\displaystyle \mathbf {x} }$, есть соответствующий оператор перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ который сдвигает частицы и поля на величину ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

Например, если ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ действует на частицу, находящуюся в положении ${\displaystyle \mathbf {r} }$, результатом будет частица в позиции ${\displaystyle \mathbf {r+x} }$.

Операторы перевода унитарный.

Операторы перевода тесно связаны с оператор импульса; например, оператор перевода, который перемещается на бесконечно малую величину в ${\displaystyle y}$ направление имеет простое отношение к ${\displaystyle y}$-компонента оператора импульса. Из-за этих отношений сохранение импульса выполняется, когда операторы трансляции коммутируют с гамильтонианом, т.е. когда законы физики трансляционно-инвариантны. Это пример Теорема Нётер.

Действия над собственными позициями и волновыми функциями

Оператор перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ перемещает частицы и поля на величину ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Следовательно, если частица находится в собственное состояние ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ из оператор позиции (т.е. точно расположен в позиции ${\displaystyle \mathbf {r} }$), затем после ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ действует на него, частица находится в положении ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$:

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .}$$

Альтернативный (и эквивалентный) способ описания того, что определяет оператор перевода, основан на позиционном пространстве волновые функции. Если частица имеет пространственно-позиционную волновую функцию ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$, и ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ действует на частицу, новая волновая функция пространственного положения ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )}$ определяется

${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}$.

Это отношение легче запомнить как ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),}$ который можно читать как: «Значение новой волновой функции в новой точке равно значению старой волновой функции в старой точке».^[1]

Вот пример, показывающий, что эти два описания эквивалентны. Штат ${\displaystyle |\mathbf {a} \rangle }$ соответствует волновой функции ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$ (куда ${\displaystyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака ), а состояние ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle }$ соответствует волновой функции ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).}$ Это действительно удовлетворяет ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$

Momentum как генератор переводов

Смотрите также: Оператор сдвига и Оператор моментума

Во вводной физике импульс обычно определяется как масса, умноженная на скорость. Однако есть более фундаментальный способ определения импульса в терминах операторов трансляции. Это более конкретно называется канонический импульс, и обычно, но не всегда, равна массе, умноженной на скорость; один контрпример - заряженная частица в магнитном поле.^[1] Это определение импульса особенно важно, потому что закон сохранение импульса применяется только к каноническому импульсу и не является универсальным, если импульс определяется вместо этого как масса, умноженная на скорость (так называемый «кинетический импульс»), по причинам, объясненным ниже.

(Канонический) оператор импульса определяется как градиент операторов перевода рядом с исходной точкой:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

куда ${\displaystyle \hbar }$ это приведенная постоянная Планка. Например, каков результат, когда ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ оператор действует на квантовое состояние? Чтобы найти ответ, переведите состояние на бесконечно малую величину в ${\displaystyle x}$-направление, вычислить скорость изменения состояния и умножить ее на ${\displaystyle i\hbar }$. Например, если состояние вообще не меняется при переводе в ${\displaystyle x}$-направление, то его ${\displaystyle x}$-компонента импульса равна 0.

Более конкретно, ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ является векторным оператором (т.е. вектором, состоящим из трех операторов ${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}$), определяется:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}$

куда ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ это оператор идентификации и ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ - единичный вектор в ${\displaystyle x}$-направление. (${\displaystyle {\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}}$ определяются аналогично.)

Приведенное выше уравнение является наиболее общим определением ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$. В частном случае одиночной частицы с волновой функцией ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ можно написать в более конкретной и полезной форме. В одном измерении:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\psi (r-a)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar \left({\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)(r)\end{aligned}}}$

или в трех измерениях,

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

как оператор, действующий на волновые функции пространственного положения. Это известное квантово-механическое выражение для ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$, но мы взяли его здесь из более простой отправной точки.

Мы определили ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ с точки зрения операторов перевода. Также можно написать оператор перевода как функцию ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$. Метод заключается в выражении данного перевода в виде огромного числа ${\displaystyle N}$ последовательных крошечных переводов, а затем использовать тот факт, что бесконечно малые переводы могут быть записаны в терминах ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}}$

что дает окончательное выражение:

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots }$

куда ${\displaystyle \exp }$ это оператор экспоненциальный а правая часть - это Серия Тейлор расширение. Для очень маленьких ${\displaystyle \mathbf {x} }$, можно использовать приближение:

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar }$

Следовательно оператор импульса называется генератор перевода.^[2]

Хороший способ еще раз проверить правильность этих соотношений - это выполнить разложение Тейлора оператора трансляции, действующего на волновую функцию пространственного положения. Расширяя экспоненту на все заказы, оператор перевода генерирует в точности полную Расширение Тейлора тестовой функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}}$

Таким образом, каждый оператор перевода генерирует в точности ожидаемый перевод тестовой функции, если функция аналитический в некоторой области комплексной плоскости.

Характеристики

Последовательные переводы

• ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$

Другими словами, если частицы и поля перемещаются на величину ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ а затем по сумме ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$, в целом они были перемещены на сумму ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$. Для математического доказательства можно посмотреть, что эти операторы делают с частицей в собственном состоянии позиции:

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle }$

Поскольку операторы ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$ одинаково влияют на каждое состояние на собственном базисе, отсюда следует, что операторы равны.

Обратный

Операторы перевода обратимы, а их обратные:

• ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

Это следует из свойства "последовательные переводы" выше и того факта, что ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}}$, то есть перевод на расстояние 0 совпадает с оператором идентичности, который оставляет все состояния неизменными.

Операторы переводов ездят друг с другом

• ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

потому что обе стороны равны ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$.^[1]

Операторы перевода унитарные

Если ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ две волновые функции в пространстве позиций, то внутренний продукт из ${\displaystyle \psi }$ с ${\displaystyle \phi }$ является:

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )}$

в то время как внутренний продукт ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\psi }$ с ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\phi }$ является:

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} )\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$

При замене переменных эти два внутренних продукта в точности совпадают. Следовательно, операторы перевода унитарный, и в частности:

• ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}.}$

Тот факт, что операторы сдвига унитарны, означает, что оператор импульса имеет вид Эрмитский.^[1]

Перевод на бюстгальтер

Оператор перевода, работающий с бюстгальтером в позиции eigenbasis, дает:

• ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$

Доказательство:

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle }$ Его прилегающий выражение: ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$ Используя результаты выше, ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$: ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$ Замена ${\displaystyle \mathbf {x} }$ к ${\displaystyle -\mathbf {x} }$, ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$

Разделение перевода на компоненты

Согласно приведенному выше свойству "последовательные переводы" перевод по вектору ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ можно записать как продукт переводов по компонентным направлениям:

• ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )}$

куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ являются единичными векторами.

Коммутатор с оператором положения

Предполагать ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ является собственный вектор оператора позиции ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ с собственное значение ${\displaystyle \mathbf {r} }$. У нас есть

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$

пока

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$

Следовательно коммутатор между оператором перевода и оператором позиции:

• ${\displaystyle [\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

Это также можно записать (используя указанные выше свойства) как:

• ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}}$

куда ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ это оператор идентификации.

Коммутатор с оператором импульса

Поскольку все операторы трансляции коммутируют друг с другом (см. Выше), и поскольку каждый компонент оператора импульса является суммой двух масштабированных операторов трансляции (например, ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {i\hbar }{\epsilon }}\left({\hat {T}}((0,\epsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)}$), то все операторы сдвига коммутируют с оператором импульса, т. е.

• ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

Эта коммутация с оператором импульса обычно выполняется, даже если система не изолирована, где энергия или импульс могут не сохраняться.

Группа переводов

Набор ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ операторов перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$, с операцией умножения, определяемой как результат последовательных переводов (т.е. функциональная композиция ), удовлетворяет всем аксиомам группа:

• Закрытие: Когда вы делаете два перевода подряд, в результате получается один другой перевод. (См. Свойство «последовательные переводы» выше.)
• Наличие идентичности: Перевод по вектору ${\displaystyle \mathbf {0} }$ это оператор идентификации, т.е. оператор, ни на что не влияющий. Он функционирует как элемент идентичности группы.
• У каждого элемента есть обратное: Как показано выше, любой оператор перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ является инверсией обратного перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$.
• Ассоциативность: Это утверждение, что ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})}$. Это верно по определению, как и в случае любой группы, основанной на функциональная композиция.

Следовательно, множество ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ операторов перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$ образует группа.^[3] Поскольку существует непрерывно бесконечное число элементов, группа переводов является непрерывной группой. Более того, операторы трансляции коммутируют между собой, т.е. результат двух трансляций. (перевод, за которым следует другой) не зависит от их порядка. Следовательно, группа переводов - это абелева группа.^[4]

Группа переводов, действующая на Гильбертово пространство собственных состояний позиции изоморфный к группе вектор дополнения в Евклидово пространство.

Ожидаемые значения позиции и импульса в переведенном состоянии

Рассмотрим одну частицу в одном измерении. В отличие от классическая механика, в квантовой механике частица не имеет четко определенного положения или четко определенного импульса. В квантовой формулировке ожидаемые значения^[5] играют роль классических переменных. Например, если частица находится в состоянии ${\displaystyle |\psi \rangle }$, то математическое ожидание позиции равно ${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle }$, куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ - оператор позиции.

Если оператор перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ действует на государство ${\displaystyle |\psi \rangle }$, создавая новое состояние ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ тогда математическое ожидание позиции для ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ равно математическому ожиданию позиции для ${\displaystyle |\psi \rangle }$ плюс вектор ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Этот результат согласуется с тем, что вы ожидаете от операции, сдвигающей частицу на эту величину.

Доказательство того, что оператор перевода изменяет математическое ожидание позиции ожидаемым образом:

Предполагать ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle }$ как указано выше. ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}}$ используя условие нормировки ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, и коммутаторный результат, доказанный в предыдущем разделе.

С другой стороны, когда оператор трансляции действует на состояние, математическое ожидание импульса равно нет измененный. Это может быть доказано аналогично предыдущему, но с использованием того факта, что операторы сдвига коммутируют с оператором импульса. Этот результат снова согласуется с ожиданиями: перемещение частицы не изменяет ее скорость или массу, поэтому ее импульс не должен изменяться.

Трансляционная инвариантность

В квантовой механике Гамильтониан представляет энергию и динамику системы. Позволять ${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle }$быть недавно переведенным состоянием (аргумент ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ здесь не имеет значения и временно опущен для краткости). Гамильтониан называется инвариантным, если

${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$

или же

${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0}$

Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно сдвига, гамильтониан коммутирует с оператором сдвига (грубо говоря, если мы переводим систему, затем измеряем ее энергию, а затем переводим обратно, это равносильно прямому измерению ее энергии) .

Непрерывная трансляционная симметрия

Смотрите также: Теорема Нётер

Сначала рассмотрим случай, когда все операторы трансляции - это симметрии системы. Как мы увидим, в этом случае сохранение импульса происходит.

Например, если ${\displaystyle {\hat {H}}}$ гамильтониан, описывающий все частицы и поля во Вселенной, и ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ является оператором трансляции, который сдвигает все частицы и поля во Вселенной одновременно на одинаковую величину, тогда это всегда симметрия: ${\displaystyle {\hat {H}}}$ описывает полные законы физики в нашей Вселенной, которые не зависят от местоположения. Как следствие, сохранение импульса универсально.

С другой стороны, возможно ${\displaystyle {\hat {H}}}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ относятся только к одной частице. Тогда операторы перевода ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ являются точными симметриями, только если частица находится одна в вакууме. Соответственно, импульс отдельной частицы обычно не сохраняется (он изменяется, когда частица сталкивается с другими объектами), но он является сохраняется, если частица находится одна в вакууме.

Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором сдвига, когда перенос инвариантен

${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,}$

он также коммутирует с оператором бесконечно малого преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}}$

Таким образом, всякий раз, когда гамильтониан системы остается инвариантным относительно непрерывного сдвига, система имеет сохранение импульса, что означает, что ожидаемое значение оператора импульса остается постоянным. Это пример Теорема Нётер.

Дискретная трансляционная симметрия

Смотрите также: Теорема Блоха

Есть еще один частный случай, когда гамильтониан может быть трансляционно-инвариантным. Этот тип трансляционной симметрии наблюдается, когда потенциал равен периодический:^[6]

${\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}$

В общем случае гамильтониан не инвариантен относительно любого сдвига, представленного ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ с ${\displaystyle x_{j}}$ произвольно, где ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ имеет свойство:

${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }$

и,

${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}$

(куда ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ это оператор идентификации; см. доказательство выше).

Но всякий раз, когда ${\displaystyle x_{j}}$ совпадает с периодом потенциального ${\displaystyle a}$,

${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}$

Поскольку кинетическая энергетическая часть гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H}}}$ уже инвариантно относительно любого произвольного перевода, будучи функцией ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$, весь гамильтониан удовлетворяет

${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}$

Теперь гамильтониан коммутирует с оператором сдвига, т.е. они могут быть одновременно диагонализованный. Следовательно, гамильтониан инвариантен относительно такого переноса (который больше не остается непрерывным). Перевод становится дискретным с периодом потенциала.

Дискретный перенос в периодическом потенциале: теорема Блоха

Основная статья: Теорема Блоха

Ионы в идеальный кристалл расположены в регулярном периодическом массиве. Итак, мы приходим к проблеме электрона в потенциале ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ с периодичностью основного Решетка Браве

${\displaystyle V(\mathbf {r+R} )=V(\mathbf {r} )}$

для всех векторов решетки Браве ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Однако идеальная периодичность - это идеализация. Настоящие твердые тела никогда не бывают абсолютно чистыми, и в окрестностях примесных атомов твердое тело не такое же, как где-либо еще в кристалле. Более того, ионы на самом деле не являются стационарными, а постоянно подвергаются тепловым колебаниям около своего положения равновесия. Они разрушают идеальное поступательная симметрия кристалла. Для решения этого типа проблем основная проблема искусственно разделена на две части: (а) идеальный фиктивный совершенный кристалл, в котором потенциал действительно периодичен, и (б) влияние на свойства гипотетического совершенного кристалла всех отклонения от идеальной периодичности, рассматриваемые как малые возмущения.

Хотя проблема электронов в твердом теле в принципе является многоэлектронной проблемой, в независимое электронное приближение каждый электрон подвергается одноэлектронному Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом и известен как Блоховский электрон^[7] (в отличие от свободные частицы, к которому блоховские электроны сводятся, когда периодический потенциал тождественно равен нулю.)

Для каждого вектора решетки Браве ${\displaystyle \mathbf {R} }$ мы определяем оператор перевода ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ который при работе с любой функцией ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ сдвигает аргумент на ${\displaystyle \mathbf {R} }$:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$

Поскольку все переводы образуют абелеву группу, результат применения двух последовательных переводов не зависит от порядка, в котором они применяются, т. Е.

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }}$

Кроме того, поскольку гамильтониан периодичен, мы имеем

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$

Следовательно ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ для всех векторов решетки Браве ${\displaystyle \mathbf {R} }$ и гамильтониан ${\displaystyle {\hat {H}}}$ сформировать набор коммутирующих операторов. Следовательно, собственные состояния ${\displaystyle {\hat {H}}}$ могут быть выбраны как одновременные собственные состояния всех ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$:

${\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi }$

Собственные значения ${\displaystyle c(\mathbf {R} )}$ операторов перевода связаны из-за условия:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }}$

У нас есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}}$

И,

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi }$

Следовательно,

${\displaystyle c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})}$

Теперь пусть ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$- это три примитивных вектора для решетки Браве. Подходящим выбором ${\displaystyle x_{i}}$, мы всегда можем написать ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})}$ в виде

${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$

Если ${\displaystyle \mathbf {R} }$ - общий вектор решетки Браве, задаваемый формулой

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

из этого следует,

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}$

Подстановка ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$ один получает,

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}}$ и ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$это обратная решетка векторы, удовлетворяющие уравнению ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}}$

Следовательно, можно выбрать одновременные собственные состояния ${\displaystyle \psi }$ гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H}}}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ так что для каждого вектора решетки Браве ${\displaystyle \mathbf {R} }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Так,

${\displaystyle \psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )}$

Этот результат известен как Теорема Блоха.

Временная эволюция и трансляционная инвариантность

Основная статья: Симметрия перевода времени

Трансляционная инвариантность: временная эволюция волновых функций.

В картине пассивного преобразования трансляционная инвариантность требует,

${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0}$

Следует, что

${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0}$

куда ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ - унитарный оператор эволюции во времени.^[8] Когда гамильтониан не зависящий от времени,

${\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)}$

Если гамильтониан зависит от времени, указанное выше коммутационное соотношение выполняется, если ${\displaystyle {\hat {p}}}$ или же ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ездит с ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ для всех т.к.

Пример

Предположим в ${\displaystyle t=0}$ два наблюдателя A и B готовят идентичные системы на ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$ (рис.1) соответственно. Если ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ - вектор состояния системы, подготовленной A, тогда вектор состояния системы, подготовленной B, будет иметь вид

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$

Обе системы выглядят одинаково для наблюдателей, которые их подготовили. По истечении времени ${\displaystyle t}$, векторы состояния эволюционируют в ${\displaystyle {\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$ и ${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$ соответственно. Используя указанное выше коммутационное соотношение, последнее можно записать как,

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$

это просто переведенная версия системы, подготовленная A в то время ${\displaystyle t}$. Следовательно, две системы, которые отличались только переводом на ${\displaystyle t=0}$, отличаются только одним и тем же переводом в любой момент времени. Временная эволюция обеих систем кажется наблюдателям, которые их подготовили, одинаковыми. Можно сделать вывод, что трансляционная инвариантность гамильтониана означает, что один и тот же эксперимент, повторенный в двух разных местах, даст один и тот же результат (как это видят местные наблюдатели).

Смотрите также

• Состояние Блоха
• Группа
• Периодическая функция
• Оператор сдвига
• Симметрии в квантовой механике
• Симметрия перевода времени
• Трансляционная симметрия

Рекомендации

1. Конспект лекций Роберта Литтлджона
2. http://www.nat.vu.nl/~mulders/AQM2015.pdf
3. Страница 816, Глава 17, Математические методы для физиков, седьмое издание, Арфкен, Вебер и Харрис
4. Стр. 47, Глава 1, Современная квантовая механика, Второе издание, J.J. Сакураи, Джим Дж. Наполитано
5. № страницы 127, раздел 4.2, Р. Шанкар, Принципы квантовой механики
6. Глава 8, Физика твердого тела, Нил У. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин
7. P-133, Глава 8, Физика твердого тела, Нил У. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин
8. Страница № 308, Глава 3, Том 1, Клод Коэн-Таннуджи, Бернар Диу, Франк Лалоэ