Оператор моментума - Momentum operator

В квантовая механика, то оператор импульса это оператор связанный с линейный импульс. Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциальный оператор. Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение таково:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

куда час является Приведенная постоянная Планка, я то мнимая единица, и частные производные (обозначаемые ${\displaystyle \partial }$) используются вместо полная производная (d/dx), поскольку волновая функция также является функцией времени. «Шляпа» обозначает оператора. «Приложение» оператора к дифференцируемой волновой функции выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

В базисе гильбертова пространства, состоящем из импульса собственные состояния выраженное в импульсном представлении, действие оператора - это просто умножение на п, т.е. это оператор умножения, так же как оператор позиции является оператором умножения в позиционном представлении. Обратите внимание, что определение выше - это канонический импульс, который не калибровочный инвариант и не измеримая физическая величина для заряженных частиц в электромагнитное поле. В этом случае канонический импульс не равно кинетический импульс.

Во время развития квантовой механики в 1920-х годах оператор импульса был найден многими физиками-теоретиками, в том числе Нильс Бор, Арнольд Зоммерфельд, Эрвин Шредингер, и Юджин Вигнер. Его существование и форма иногда воспринимаются как один из основополагающих постулатов квантовой механики.

Происхождение плоских волн Де Бройля

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом.^[1]

Одно измерение

Начиная с одного измерения, используя плоская волна решение для Уравнение Шредингера одиночной свободной частицы,

${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$

куда п интерпретируется как импульс в Икс-направление и E - энергия частицы. Частная производная первого порядка по пространству равна

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$

Это предполагает операторную эквивалентность

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

таким образом, импульс частицы и значение, которое измеряется, когда частица находится в состоянии плоской волны, является собственное значение вышеуказанного оператора.

Поскольку частная производная - это линейный оператор, оператор импульса также является линейным, и поскольку любую волновую функцию можно выразить как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой компоненты плоской волны. Затем эти новые компоненты накладываются друг на друга, образуя новое состояние, в общем не кратное старой волновой функции.

Три измерения

Вывод в трех измерениях такой же, за исключением оператора градиента дель используется вместо одной частной производной. В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны:

${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$

и градиент

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}}$

куда е_Икс, е_у и е_z являются единичные векторы для трех пространственных измерений, следовательно

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

Этот оператор импульса находится в пространстве позиций, потому что частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (пространство позиций)

Смотрите также: Положение и импульсное пространство

Для одиночной частицы без электрический заряд и нет вращение, оператор импульса можно записать в позиционном базисе как:^[2]

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

куда ∇ это градиент оператор час это приведенная постоянная Планка, и я это мнимая единица.

В одном пространственном измерении это становится:

${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$

Это выражение для канонический импульс. Для заряженной частицы q в электромагнитное поле, во время Преобразование датчика, позиционное пространство волновая функция проходит местный^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} U (1) групповое преобразование^[3], и ${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$ изменит свое значение. Следовательно, канонический импульс не равен калибровочный инвариант и, следовательно, не измеримая физическая величина.

В кинетический импульс, калибровочно-инвариантная физическая величина, может быть выражена через канонический импульс, скалярный потенциал  φ и векторный потенциал  А:^[4]

${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

Выражение выше называется минимальное сцепление. Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому.

Характеристики

Отшельничество

Оператор импульса всегда Эрмитов оператор (более технически, в математической терминологии «самосопряженный оператор»), когда он действует на физические (в частности, нормализуемый ) квантовые состояния.^[5]

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞), нет способа сделать оператор импульса эрмитовым.^[6] Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может иметь трансляционной симметрии, точнее говоря, он не имеет унитарный операторы перевода. Видеть ниже.)

Каноническое коммутационное отношение

Дальнейшая информация: Каноническое коммутационное отношение

Это легко показать, правильно используя импульсный и позиционный базис:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}$

В Гейзенберг принцип неопределенности определяет пределы того, насколько точно могут быть известны импульс и положение единственной наблюдаемой системы одновременно. В квантовой механике позиция и импульс сопряженные переменные.

преобразование Фурье

Можно показать, что преобразование Фурье импульса в квантовая механика это оператор позиции. Преобразование Фурье превращает импульсный базис в позиционный. В следующем обсуждении используется обозначение бюстгальтера:

Позволять ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ быть волновым пакетом ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle }$ = 1, ${\displaystyle \psi '}$ преобразование Фурье ${\displaystyle \psi }$:

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =h\langle \psi '|{\hat {x}}|\psi '\rangle }$

Итак, импульс = h x пространственная частота, что аналогично энергии = h x временной частоте.

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x)}$

То же самое относится к оператору позиции в основе импульса:

${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p)}$

и другие полезные отношения:

${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p')}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x')}$

куда δ означает Дельта-функция Дирака.

Вывод из бесконечно малых переводов

Смотрите также: Теорема Нётер и Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах

В оператор перевода обозначается Т(ε), куда ε представляет длину перевода. Он удовлетворяет следующему тождеству:

${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$

это становится

${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$

Предполагая, что функция ψ быть аналитический (т.е. дифференцируемый в какой-то области комплексная плоскость ), можно разложить Серия Тейлор о Икс:

${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$

Таким образом, для бесконечно малый ценности ε:

${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$

Как известно из классическая механика, то импульс является генератором перевод, поэтому связь между операторами переноса и импульса следующая:

${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{i \over \hbar }\varepsilon {\hat {p}}}$

таким образом

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}.}$

4-импульсный оператор

Вставка оператора трехмерного импульса выше и оператор энергии в 4-импульс (как 1-форма с (+ − − −) метрическая подпись ):

${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$

получает 4-импульсный оператор;

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$

куда ∂_μэто 4-градиентный, а −я  становится +я  перед оператором 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистских квантовая теория поля, такой как Уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения, поскольку энергия и импульс объединяются в четырехмерный вектор импульса, описанный выше, операторы импульса и энергии соответствуют производным по пространству и времени, и они должны быть первого порядка частные производные за Ковариация Лоренца.

В Оператор Дирака и Слэш Дирака 4-импульса дается контрактом с гамма-матрицы:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$

Если бы подпись была (− + + +), оператор будет

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$

вместо.

Смотрите также

• Математические описания электромагнитного поля
• Оператор трансляции (квантовая механика)
• Релятивистские волновые уравнения
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации

1. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
2. Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145546-9
3. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (2008-12-04). «Калибровочная инвариантность». Scholarpedia. 3 (12): 8287. Дои:10.4249 / scholarpedia.8287. ISSN  1941-6016.
4. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
5. Видеть Конспект лекции 1 Роберта Литтлджона для конкретного математического обсуждения и доказательства для случая одиночной незаряженной частицы с нулевым спином. Видеть Конспект лекции 4 Роберта Литтлджона для общего случая.
6. Бонно, Дж., Фараут, Дж., Валент, Г. (2001). «Самосопряженные расширения операторов и обучение квантовой механике». Американский журнал физики. 69 (3): 322–331. arXiv:Quant-ph / 0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. Дои:10.1119/1.1328351.