Единичный касательный пучок - Unit tangent bundle

В Риманова геометрия, то единичный касательный пучок из Риманово многообразие (M, грамм), обозначаемый T¹M, UT (M) или просто UTM, - расслоение единичных сфер касательный пучок Т (M). Это пучок волокон над M чей слой в каждой точке является единичная сфера в касательном расслоении:

${displaystyle mathrm {UT} (M):=coprod _{xin M}left{vin mathrm {T} _{x}(M)left|g_{x}(v,v)=1ight.ight},}$

где T_Икс(M) обозначает касательное пространство к M в Икс. Таким образом, элементы UT (M) пары (Икс, v), куда Икс - некоторая точка многообразия и v - некоторое касательное направление (единичной длины) к многообразию в точке Икс. Касательный пучок единиц снабжен естественным проекция

${displaystyle pi :mathrm {UT} (M) o M,}$

${displaystyle pi :(x,v)mapsto x,}$

который переводит каждую точку связки в ее базовую точку. Волокно π⁻¹(Икс) по каждой точке Икс ∈ M является (п−1)-сфера S^п−1, куда п это размер M. Таким образом, единичное касательное расслоение является связка сфер над M с волокном S^п−1.

Определение пучка единичных сфер может легко учесть Финслеровы многообразия также. В частности, если M является многообразием с финслеровой метрикой F : ТM → р, то расслоение единичных сфер является подрасслоением касательного расслоения, слой которого в точке Икс является индикатрисой F:

${displaystyle mathrm {UT} _{x}(M)=left{vin mathrm {T} _{x}(M)left|F(v)=1ight.ight}.}$

Если M является бесконечномерным многообразием (например, a Банах, Фреше или же Гильбертово многообразие ), то UT (M) по-прежнему можно рассматривать как расслоение единичных сфер для касательного расслоения T (M), но волокно π⁻¹(Икс) над Икс тогда является бесконечномерной единичной сферой в касательном пространстве.

Структуры

Единичное касательное расслоение несет в себе множество дифференциально-геометрических структур. Метрика на M вызывает структура контактов на UTM. Это дается в виде тавтологический однообразный, определенная в точке ты UTM (единичный касательный вектор к M) к

${displaystyle heta _{u}(v)=g(u,pi _{*}v),}$

куда ${displaystyle pi _{*}}$ это продвигать вдоль π вектора v ∈ T_тыUTM.

Геометрически эту контактную структуру можно рассматривать как распределение (2п−2) -плоскости, которые на единичном векторе ты, является обратным вызовом ортогонального дополнения ты в касательном пространстве M. Это контактная структура, для волокна UTM очевидно является интегральным многообразием (вертикальное расслоение находится всюду в ядре θ), а остальные касательные направления заполняются перемещением вверх по слою UTM. Таким образом, максимальное интегральное многообразие θ есть (открытое множество) M сам.

На финслеровом многообразии контактная форма определяется аналогичной формулой

${displaystyle heta _{u}(v)=g_{u}(u,pi _{*}v),}$

куда грамм_ты - фундаментальный тензор ( гессен финслеровой метрики). Геометрически соответствующее распределение гиперплоскостей в точке ты ∈ UT_ИксM является прообразом относительно π_* касательной гиперплоскости к единичной сфере в T_ИксM в ты.

В объемная форма θ∧dθ^п−1 определяет мера на M, известный как кинематическая мера, или же Мера Лиувилля, инвариантный относительно геодезический поток из M. Как Радоновая мера, кинематическая мера μ определена на непрерывных функциях с компактным носителем ƒ на UTM к

${displaystyle int _{UTM}f,dmu =int _{M}dV(p)int _{UT_{p}M}left.fight|_{UT_{p}M},dmu _{p}}$

где DV это элемент объема на M, а μ_п является стандартным вращательно-инвариантным Мера Бореля на евклидовой сфере UT_пM.

В Леви-Чивита связь из M приводит к расщеплению касательного пучка

${displaystyle T(UTM)=Hoplus V}$

в вертикальное пространство V = kerπ_* и горизонтальное пространство ЧАС на котором π_* это линейный изоморфизм в каждой точке UTM. Это расщепление индуцирует метрику на UTM объявив это расщепление ортогональной прямой суммой, и определив метрику на ЧАС по откату:

${displaystyle g_{H}(v,w)=g(v,w),quad v,win H}$

и определение метрики на V как индуцированная метрика из вложения слоя UT_ИксM в Евклидово пространство Т_ИксM. Оборудован этой метрикой и контактной формой, UTM становится Сасакиево многообразие.

Библиография

• Джеффри М. Ли: Многообразия и дифференциальная геометрия. Аспирантура по математике Vol. 107, Американское математическое общество, Провиденс (2009). ISBN  978-0-8218-4815-9
• Юрген Йост: Риманова геометрия и геометрический анализ, (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN  3-540-42627-2
• Ральф Абрахам унд Джерролд Э. Марсден: Основы механики(1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN  0-8053-0102-X