W-алгебра - W-algebra

В конформная теория поля и теория представлений, а W-алгебра ассоциативная алгебра, обобщающая Алгебра Вирасоро. W-алгебры были введены Александр Замолодчиков (Замолодчиков (1985) ), а название «W-алгебра» происходит от того, что Замолодчиков использовал букву W для одного из элементов одного из своих примеров.

Существует по крайней мере три различных, но связанных понятия, называемых W-алгебрами: классические W-алгебры, квантовые W-алгебры и конечные W-алгебры.

Классические W-алгебры

Выполнение классических Drinfeld -Соколовская редукция на алгебре Ли дает Скобка Пуассона по этой алгебре.

Квантовые W-алгебры

Bouwknegt & Schoutens (1993) определяет (квантовую) W-алгебру как мероморфный конформная теория поля (примерно алгебра вершинных операторов ) вместе с выделенным набором образующих, удовлетворяющих различным свойствам.

Их можно построить из (супер) алгебры Ли с помощью квантовой редукции Дринфельда – Соколова. Другой подход - искать другие сохраняемые токи, помимо Тензор напряжения-энергии аналогично тому, как Алгебра Вирасоро можно прочитать из разложения тензора напряжений.

Конечные W-алгебры

Ван (2011) сравнивает несколько различных определений конечных W-алгебр, которые представляют собой определенные ассоциативные алгебры, связанные с нильпотентными элементами полупростых алгебр Ли.

Первоначальное определение, данное Александром Преметом, начинается с пары ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, e)}$ состоящий из редуктивной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над комплексными числами и нильпотентным элементом e. Теорема Якобсона-Морозова, e является частью sl₂ тройной (е, з, е). Разложение ad (h) в собственное подпространство индуцирует ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -градуировка по г:

{ displaystyle { mathfrak {g}} = bigoplus { mathfrak {g}} (i).}

Определить персонаж ${ displaystyle chi}$ (т.е. гомоморфизм от g к тривиальной одномерной алгебре Ли) по правилу ${ Displaystyle чи (х) = каппа (е, х)}$ , куда ${ displaystyle kappa}$ обозначает Форма убийства. Это вызывает невырожденный антисимметричный билинейная форма на -1 балл по правилу:

{ displaystyle omega _ { chi} (x, y) = chi ([x, y]).}

После выбора любого Лагранжево подпространство ${ displaystyle l}$ , мы можем определить следующие нильпотентный подалгебры, действующей на универсальную обертывающую алгебру сопряженное действие.

{ displaystyle { mathfrak {m}} = l + bigoplus _ {i leq -2} { mathfrak {g}} (i).}

Слева идеальный ${ displaystyle I}$ из универсальная обертывающая алгебра ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ создано ${ displaystyle {x- chi (x): x in { mathfrak {m}} }}$ инвариантен относительно этого действия. Из небольшого расчета следует, что инварианты в ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}) / I}$ под объявлением ${ displaystyle ({ mathfrak {m}})}$ унаследовать ассоциативная алгебра структура из ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ . Инвариантное подпространство ${ Displaystyle (U ({ mathfrak {g}}) / I) ^ {{ text {ad}} ({ mathfrak {m}})}}$ называется конечной W-алгеброй, построенной из (g, e), и обычно обозначается ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}}, e)}$ .

Источники

де Бур, Ян; Тджин, Тьярк (1993), «Квантование и теория представлений конечных W-алгебр», Коммуникации по математической физике, 158 (3): 485–516, arXiv:hep-th / 9211109, Bibcode:1993CMaPh.158..485D, Дои:10.1007 / bf02096800, ISSN 0010-3616, МИСТЕР 1255424
Bouwknegt, P .; Schoutens, K., eds. (1995), W-симметрия, Продвинутая серия по математической физике, 22, Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Дои:10.1142/2354, ISBN 978-981021762-4, МИСТЕР 1338864
Боукнегт, Питер; Схоутенс, Карельян (1993), "W-симметрия в конформной теории поля", Отчеты по физике. Обзорный раздел писем по физике, 223 (4): 183–276, arXiv:hep-th / 9210010, Bibcode:1993ФР ... 223..183Б, Дои:10.1016 / 0370-1573 (93) 90111-П, ISSN 0370-1573, МИСТЕР 1208246
Браун, Джонатан, Конечные W-алгебры классического типа. (PDF)
Дики, Л. А. (1997), "Лекции по классическим W-алгебрам", Acta Applicandae Mathematicae, 47 (3): 243–321, Дои:10.1023 / А: 1017903416906, ISSN 0167-8019
Ган, Ви Лян; Гинзбург, Виктор (2002), "Квантование срезов Slodowy", Уведомления о международных математических исследованиях, 2002 (5): 243–255, arXiv:математика / 0105225, Дои:10.1155 / S107379280210609X, ISSN 1073-7928, МИСТЕР 1876934
Лосев, Иван (2010), "Квантованные симплектические действия и W-алгебры", Журнал Американского математического общества, 23 (1): 35–59, arXiv:0707.3108, Bibcode:2010JAMS ... 23 ... 35 л, Дои:10.1090 / S0894-0347-09-00648-1, ISSN 0894-0347, МИСТЕР 2552248
Папа, К. (1991), Лекции по W-алгебрам и W-гравитации, Лекции, прочитанные на Летней школе по физике высоких энергий в Триесте, август 1991 г., arXiv:hep-th / 9112076, Bibcode:1991hep.th ... 12076P
Ван, Вэйцян (2011). «Нильпотентные орбиты и конечные W-алгебры». В Неер, Эрхард; Сэвидж, Алистер; Ван, Вэйцян (ред.). Геометрическая теория представлений и расширенные аффинные алгебры Ли. Серия сообщений Института Филдса. Том 59. Providence, RI. С. 71–105. arXiv:0912.0689. Bibcode:2009arXiv0912.0689W. ISBN 978-0-8218-5237-8. МИСТЕР 2777648.
Уоттс, Джерард М. Т. (1997), «W-алгебры и их представления» (PDF)в Хорвате, Залан; Палла, Ласло (ред.), Конформные теории поля и интегрируемые модели (Будапешт, 1996), Конспект лекций по физике, 498, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 55–84, Дои:10.1007 / BFb0105278, ISBN 978-3-540-63618-2, МИСТЕР 1636798
Замолодчиков, А. Б. (1985), "Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля", Академия Наук СССР. Теоретическая и Математическая физика. (на русском), 65 (3): 347–359, ISSN 0564-6162, МИСТЕР 0829902