Двумерная конформная теория поля - Two-dimensional conformal field theory

А двумерная конформная теория поля это квантовая теория поля на евклидовом двумерное пространство, инвариантный относительно локальных конформные преобразования.

В отличие от других видов конформные теории поля, двумерные конформные теории поля имеют бесконечномерный алгебры симметрий. В некоторых случаях это позволяет их точно решить, используя конформный бутстрап метод.

Известные двумерные конформные теории поля включают: минимальные модели, Теория Лиувилля, безмассовые свободные бозонные теории,^[1] Модели Весса – Зумино – Виттена., и некоторые сигма модели.

Основные конструкции

Геометрия

Двумерные конформные теории поля (КТП) определены на Римановы поверхности, где местные конформные карты находятся голоморфные функции. Хотя КТП может существовать только на данной римановой поверхности, ее существование на любой поверхность кроме сфера, подразумевает его существование на всех поверхностях.^[2] Имея CFT, действительно можно склеить две римановы поверхности там, где она существует, и получить CFT на склеенной поверхности.^[2][3]С другой стороны, некоторые CFT существуют только на сфере. Если не указано иное, мы рассматриваем ЦФТ в сфере в этой статье.

Алгебра симметрии

Учитывая местный комплексная координата ${\displaystyle z}$, реальный векторное пространство инфинитезимальных конформных отображений имеет основу ${\displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$, с ${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$. (Например, ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{-1}}$ и ${\displaystyle i(\ell _{1}-\ell _{-1})}$ генерировать переводы.) Ослабляя предположение, что ${\displaystyle {\bar {z}}}$ это комплексно сопряженный из ${\displaystyle z}$, т.е. комплексифицируя пространство инфинитезимальных конформных отображений, получаем комплексное векторное пространство с базисом ${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$.

С их естественными коммутаторы, то дифференциальные операторы ${\displaystyle \ell _{n}}$ генерировать Алгебра Витта Согласно стандартным квантово-механическим аргументам, алгебра симметрий конформной теории поля должна быть центральным расширением алгебры Витта, т.е. Алгебра Вирасоро, чей генераторы находятся ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$, плюс центральный генератор. В данной CFT центральный генератор принимает постоянное значение, называемое центральным зарядом.

Таким образом, алгебра симметрий является произведением двух копий алгебры Вирасоро: левосторонней или голоморфной алгебры с образующими ${\displaystyle L_{n}}$, а также правую или антиголоморфную алгебру с образующими ${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$.^[1]

Пространство состояний

В пространство состояний, также называемый спектр, CFT, является представлением произведения двух алгебр Вирасоро. собственные значения генератора Вирасоро ${\displaystyle L_{0}+{\bar {L}}_{0}}$ интерпретируются как энергии состояний. Их действительные части обычно предполагаются ограниченными снизу.

ЦФТ называется рациональный если его пространство состояний распадается на конечное число неприводимых представлений произведения двух алгебр Вирасоро.

ЦФТ называется диагональ если его пространство состояний представляет собой прямую сумму представлений типа ${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$, куда ${\displaystyle R}$ - неразложимое представление левой алгебры Вирасоро, а ${\displaystyle {\bar {R}}}$ является тем же представлением правой алгебры Вирасоро.

ЦФТ называется унитарный если пространство состояний имеет положительно определенный Эрмитова форма такой, что ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ самосопряжены, ${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$ и ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$. Это, в частности, означает, что ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$, и что центральный заряд действителен. Тогда пространство состояний есть Гильбертово пространство. В то время как унитарность необходима для того, чтобы CFT была правильной квантовой системой с вероятностной интерпретацией, многие интересные CFT, тем не менее, не унитарны, включая минимальные модели и теорию Лиувилля для большинства допустимых значений центрального заряда.

Государственно-полевая корреспонденция

В государственная переписка линейная карта ${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$ из пространства состояний в пространство полей, которое коммутирует с действием алгебры симметрий.

В частности, изображение первичного состояния представление наименьшего веса алгебры Вирасоро является основное поле^[4] ${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$, так что

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

Поля потомков получаются из первичных полей, действуя в режимах создания ${\displaystyle L_{n<0}}$. Вырожденные поля соответствуют первичным состояниям вырожденных представлений. Например, вырожденное поле ${\displaystyle V_{1,1}(z)}$ подчиняется ${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$, из-за наличия нулевой вектор в соответствующем вырожденном представлении.

Если ${\displaystyle V_{\Delta ,{\bar {\Delta }}}(z)}$ является первичным полем как для левой, так и для правой алгебр Вирасоро, с левой и правой конформными размерностями ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$, тогда ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$ называется общая конформная размерность, и ${\displaystyle S=\Delta -{\bar {\Delta }}}$ называется конформный спин.

Корреляционные функции

An ${\displaystyle N}$-точечная корреляционная функция число, линейно зависящее от ${\displaystyle N}$ поля, обозначенные как ${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$ с ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$.В формулировка интеграла по путям В конформной теории поля корреляционные функции определяются как функциональные интегралы. в конформный бутстрап В подходе корреляционные функции определяются аксиомами. В частности, предполагается, что существует расширение продукта оператора (OPE),^[4]

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

куда ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ является основой пространства состояний, а числа ${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$ называются коэффициентами OPE. Более того, предполагается, что корреляционные функции инвариантны относительно перестановок в полях, другими словами, OPE предполагается ассоциативным и коммутативным. (Коммутативность OPE ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$ не означает, что коэффициенты OPE инвариантны относительно ${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$, потому что расширение полей ${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$ нарушает эту симметрию.)

Коммутативность OPE означает, что первичные поля имеют целочисленные конформные спины ${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$. Также существуют фермионные КТМ которые включают фермионные поля с полуцелыми конформными спинами ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$, которые антикоммутируют.^[5]Также существуют парафермионные CFT которые включают поля с более общими рациональными спинами ${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$. Не только парафермионы не коммутируют, но и их корреляционные функции многозначны.

Киральная конформная теория поля

В двумерной конформной теории поля свойства называются хиральный если они следуют из действия одной из двух алгебр Вирасоро. Если пространство состояний может быть разложено на факторизованные представления продукта двух алгебр Вирасоро, то все следствия конформной симметрии киральны. Другими словами, действия двух алгебр Вирасоро можно изучать отдельно.

Тензор энергии-импульса

Зависимость поля ${\displaystyle V(z)}$ предполагается, что его положение определяется

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

Отсюда следует, что ОПЕ

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

определяет локально голоморфное поле ${\displaystyle T(y)}$ это не зависит от ${\displaystyle z.}$ Это поле идентифицируется с (компонентом) тензор энергии-импульса.^[1] В частности, ОПЭ тензора энергии-импульса с первичным полем есть

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

ОПЕ тензора энергии-импульса с самим собой есть

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

куда ${\displaystyle c}$ это центральный заряд. (Этот ОПЕ эквивалентен коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро.)

Конформные тождества Варда

Конформные тождества Варда являются линейными уравнениями, которым корреляционные функции подчиняются вследствие конформной симметрии.^[1] Их можно получить, изучая корреляционные функции, включающие вставки тензора энергии-импульса. Их решения конформные блоки.

Например, рассмотрим конформные тождества Уорда на сфере. Позволять ${\displaystyle z}$ быть глобальной комплексной координатой на сфере, рассматриваемой как ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ Голоморфность тензора энергии-импульса при ${\displaystyle z=\infty }$ эквивалентно

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

Кроме того, вставив ${\displaystyle T(z)}$ в ${\displaystyle N}$-точечная функция первичных полей дает

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

Из последних двух уравнений можно вывести идентификаторы местного прихода что экспресс ${\displaystyle N}$-точечные функции полей-потомков в терминах ${\displaystyle N}$-точечные функции первичных полей. Более того, можно вывести три дифференциальных уравнения для любых ${\displaystyle N}$-точечная функция первичных полей, называемая глобальные конформные тождества Уорда:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Эти тождества определяют, как двух- и трехточечные функции зависят от ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

где неопределенные коэффициенты пропорциональности являются функциями ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Уравнения BPZ

Корреляционная функция, которая включает вырожденное поле, удовлетворяет линейному уравнению в частных производных, называемому Уравнение Белавина – Полякова – Замолодчикова. после Александр Белавин, Александр Поляков и Александр Замолодчиков.^[4] Порядок этого уравнения - это уровень нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.

Тривиальный пример - уравнение BPZ первого порядка

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

что следует из

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

Первый нетривиальный пример связан с вырожденным полем ${\displaystyle V_{2,1}}$ с нулевым нулевым вектором на уровне два,

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

куда ${\displaystyle b}$ связана с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

Затем ${\displaystyle N}$-точечная функция ${\displaystyle V_{2,1}}$ и ${\displaystyle N-1}$ другие первичные поля подчиняются:

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

Уравнение порядка БПЗ ${\displaystyle rs}$ для корреляционной функции, включающей вырожденное поле ${\displaystyle V_{r,s}}$ можно вывести из обращения в нуль нулевого вектора, а локальный Идентификаторы прихода. Благодаря глобальным тождествам Уорда четырехточечные функции могут быть записаны в терминах одной переменной вместо четырех, а уравнения BPZ для четырехточечных функций могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Правила фьюжн

В OPE, который включает вырожденное поле, исчезновение нулевого вектора (плюс конформная симметрия) ограничивает, какие первичные поля могут появиться. Полученные ограничения называются правила слияния.^[1] Используя импульс ${\displaystyle \alpha }$ такой, что

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

вместо конформной размерности ${\displaystyle \Delta }$ для параметризации первичных полей правила слияния

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

особенно

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, правила слияния имеют алгебраическое определение в терминах ассоциативного продукт слияния представлений алгебры Вирасоро при заданном центральном заряде. Продукт фьюжн отличается от тензорное произведение представлений. (В тензорном произведении центральные заряды складываются.) В некоторых конечных случаях это приводит к структуре категория слияния.

Конформный бутстрап

В конформный бутстрап Метод состоит в определении и решении CFT с использованием только предположений симметрии и согласованности, путем сведения всех корреляционных функций к комбинациям структурных констант и конформных блоков. В двух измерениях этот метод приводит к точным решениям определенных CFT и к классификации рациональных теорий.

Константы структуры

Позволять ${\displaystyle V_{i}}$ быть левым и правым примарным полем с левой и правой конформными размерами ${\displaystyle \Delta _{i}}$ и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$. Согласно левому и правому глобальным тождествам Уорда трехточечные функции таких полей имеют тип

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle z_{i}}$-независимый номер ${\displaystyle C_{123}}$ называется трехточечная структурная постоянная. Чтобы трехточечная функция была однозначной, лево- и правосторонние конформные измерения первичных полей должны подчиняться

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

Этому условию удовлетворяет бозонный (${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$) и фермионный (${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$) поля. Однако его нарушают парафермионные поля (${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$), корреляционные функции которого поэтому неоднозначны на сфере Римана.

Константы трехточечной структуры также появляются в OPE,

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

Вклады полей-потомков, обозначенные точками, полностью определяются конформной симметрией.^[1]

Конформные блоки

Основная статья: Конформный блок Вирасоро

Любую корреляционную функцию можно записать как линейную комбинацию конформные блоки: функции, которые определяются конформной симметрией и помечены представлениями алгебры симметрий. Коэффициенты линейной комбинации являются произведениями структурных констант.^[4]

В двумерной CFT алгебра симметрий факторизуется на две копии алгебры Вирасоро, а конформный блок, включающий примарные поля, имеет голоморфная факторизация: это произведение локально голоморфного множителя, определяемого леводвигающейся алгеброй Вирасоро, и локально антиголоморфного множителя, определяемого правосторонней алгеброй Вирасоро. Эти факторы сами по себе называются конформными блоками.

Например, использование OPE первых двух полей в четырехточечной функции первичных полей дает

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$ является s-канальный четырехточечный конформный блок. Четырехточечные конформные блоки - это сложные функции, которые можно эффективно вычислить с помощью Алексей Замолодчиков рекурсивные отношения. Если одно из четырех полей вырождено, то соответствующие конформные блоки подчиняются уравнениям BPZ. Если, в частности, одно из четырех полей ${\displaystyle V_{2,1}}$, то соответствующие конформные блоки можно записать в терминах гипергеометрическая функция.

Как впервые объяснил Виттен,^[6] пространство конформных блоков двумерной КТП можно отождествить с квантовым гильбертовым пространством 2 + 1-мерного Теория Черна-Саймонса, который является примером топологическая теория поля. Эта связь оказалась очень плодотворной в теории дробный квантовый эффект Холла.

Конформные уравнения бутстрапа

Когда корреляционная функция может быть записана в терминах конформных блоков несколькими различными способами, равенство полученных выражений обеспечивает ограничения на пространство состояний и на константы трехточечной структуры. Эти ограничения называются конформные уравнения бутстрапа. В то время как тождества Уорда являются линейными уравнениями для корреляционных функций, уравнения конформного бутстрапа зависят нелинейно от трехточечных структурных констант.

Например, четырехточечная функция ${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$ можно записать в терминах конформных блоков тремя неэквивалентными способами, соответствующими использованию OPE ${\displaystyle V_{1}V_{2}}$ (s-канал), ${\displaystyle V_{1}V_{4}}$ (т-канал) или же ${\displaystyle V_{1}V_{3}}$ (u-канал). Равенство трех результирующих выражений называется пересечение симметрии четырехточечной функции, что эквивалентно ассоциативности OPE.^[4]

Например, статистическая сумма тора (то есть функция нулевой точки) является функцией модуля тора, который зависит от пространства состояний, а не от трехточечных структурных констант. Статистическую сумму тора можно записать в терминах символы представлений, возникающих в пространстве состояний. Это зависит от выбора петли в торе, и изменение петли равносильно действию на модуль элементом модульная группа. Инвариантность статистической суммы под действием модулярной группы является ограничением на пространство состояний. Изучение модулярно инвариантных статистических сумм тора иногда называют модульный бутстрап.

Согласованность КТП на сфере эквивалентна перекрестной симметрии четырехточечной функции. Согласованность КТП на всех римановых поверхностях также требует модулярной инвариантности одноточечной функции тора.^[2] Таким образом, модулярная инвариантность статистической суммы тора не является ни необходимой, ни достаточной для существования КТП. Однако он широко изучается в рациональных CFT, потому что характеры представлений проще, чем другие виды конформных блоков, такие как сферические четырехточечные конформные блоки.

Примеры

Минимальные модели

Основная статья: Минимальные модели

Минимальная модель - это КТП, спектр которой построен из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро. Минимальные модели существуют только для определенных значений центрального заряда,^[1]

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Существует Классификация ADE минимальных моделей.^[7] В частности, Минималистичная модель серии А с центральным зарядом ${\displaystyle c=c_{p,q}}$ диагональная CFT, спектр которой построен из ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ выродиться представления с наименьшим весом алгебры Вирасоро. Эти вырожденные представления помечаются парами целых чисел, которые образуют Стол кац,

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Например, минимальная модель серии А с ${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$ описывает спиновые и энергетические корреляторы двумерная критическая модель Изинга.

Теория Лиувилля

Основная статья: Теория поля Лиувилля

Для любого ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$ Теория Лиувилля представляет собой диагональную КТП, спектр которой построен из модулей Верма с конформными размерностями

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

Теория Лиувилля решена в том смысле, что известны ее трехточечные структурные константы. Теория Лиувилля имеет приложения к теории струн и к двумерной квантовой гравитации.

Расширенные алгебры симметрий

В некоторых CFT алгебра симметрий - это не просто алгебра Вирасоро, а ассоциативная алгебра (т.е.не обязательно алгебра Ли), содержащая алгебру Вирасоро. Затем спектр разлагается на представления этой алгебры, и понятия диагональной и рациональной CFT определяются по отношению к этой алгебре.^[1]

Безмассовые свободные бозонные теории

В двух измерениях безмассовые теории свободных бозонов конформно инвариантны. Их алгебра симметрий - это аффинная алгебра Ли ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ построена из абелевой алгебры Ли ранга один. Результат слияния любых двух представлений этой алгебры симметрии дает только одно представление, и это делает корреляционные функции очень простыми.

Рассмотрение минимальных моделей и теории Лиувилля как теории возмущенных свободных бозонов приводит к следующему: Метод кулоновского газа для вычисления их корреляционных функций. Более того, для ${\displaystyle c=1,}$ существует однопараметрическое семейство свободных бозонных теорий с бесконечными дискретными спектрами, которые описывают компактифицированные свободные бозоны, параметром которого является радиус компактификации.^[1]

Модели Весса – Зумино – Виттена.

Основная статья: Модель Весса – Зумино – Виттена.

Учитывая Группа Ли ${\displaystyle G,}$ соответствующая модель Весса – Зумино – Виттена является КТП, алгеброй симметрий которой является аффинная алгебра Ли построенный из алгебры Ли ${\displaystyle G.}$ Если ${\displaystyle G}$ компактна, то эта КТП рациональна, ее центральный заряд принимает дискретные значения, а спектр известен.

Суперконформные теории поля

Алгебра симметрии суперсимметричной КТП - это супер алгебра Вирасоро, или более крупную алгебру. Суперсимметричные CFT особенно важны для теории суперструн.

Теории, основанные на W-алгебрах

W-алгебры являются естественными расширениями алгебры Вирасоро. КТП, основанные на W-алгебрах, включают обобщения минимальных моделей и теории Лиувилля, соответственно называемые W-минимальные модели и конформные теории Тоды. Конформные теории Тоды сложнее теории Лиувилля и менее понятны.

Сигма модели

В двух измерениях классический сигма модели конформно инвариантны, но только некоторые целевые многообразия приводят к квантовым сигма-моделям, которые конформно инвариантны. Примеры таких целевых многообразий включают торы и Многообразия Калаби-Яу.

Логарифмические конформные теории поля

Основная статья: Логарифмическая конформная теория поля

Логарифмические конформные теории поля - это двумерные КТП, такие что действие генератора алгебры Вирасоро ${\displaystyle L_{0}}$ на спектре не диагонализуем. В частности, спектр не может быть построен исключительно из представления с наименьшим весом. Как следствие, зависимость корреляционных функций от положения полей может быть логарифмической. Это контрастирует со степенной зависимостью двух- и трехточечных функций, которые связаны с представлениями с наименьшим весом.

Критический ${\displaystyle Q}$-государственная модель Поттса

Критический ${\displaystyle Q}$модель Поттса или критическая случайная кластерная модель конформная теория поля, которая обобщает и объединяет критические Модель Изинга, Модель Поттса, и просачивание. Модель имеет параметр ${\displaystyle Q}$, которое должно быть целым числом в модели Поттса, но может принимать любое сложное значение в модели случайного кластера.^[8] Этот параметр связан с центральным зарядом соотношением

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

Особые ценности ${\displaystyle Q}$ включают:^[9]

${\displaystyle Q}$	${\displaystyle c}$	Связанная статистическая модель
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -2}$	Равномерное остовное дерево
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Перколяция
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	Модель Изинга
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{10}}}$	Трикритическая модель Изинга
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$	Модель Поттса с тремя состояниями
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{28}}}$	Трикритическая модель Поттса с тремя состояниями
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1}$	Модель Ашкина-Теллера

Известная статистическая сумма тора^[10] предполагает, что модель нерациональна с дискретным спектром.

Рекомендации

1. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN  0-387-94785-X.
2. Мур, Грегори; Зайберг, Натан (1989). «Классическая и квантовая конформная теория поля». Коммуникации по математической физике. 123 (2): 177–254. Bibcode:1989CMaPh.123..177M. Дои:10.1007 / BF01238857. S2CID  122836843.
3. Тешнер, Йорг (2017-08-02). «Руководство по двумерной конформной теории поля». arXiv.org. Получено 2020-11-10.
4. Белавин, А.А .; Поляков, А.М .; Замолодчиков, А. (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля» (PDF). Ядерная физика B. 241 (2): 333–380. Bibcode:1984НуФБ.241..333Б. Дои:10.1016 / 0550-3213 (84) 90052-Х. ISSN  0550-3213.
5. Рункель, Инго; Уоттс, Джерард М. Т. (14 января 2020 г.). «Фермионные КТП и классифицирующие алгебры». Журнал физики высоких энергий. 2020 (6): 25. arXiv:2001.05055v1. Bibcode:2020JHEP ... 06..025R. Дои:10.1007 / JHEP06 (2020) 025. S2CID  210718696.
6. Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Comm. Математика. Phys. 121 (3): 351. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. Дои:10.1007 / BF01217730. S2CID  14951363.
7. Андреа Каппелли и Жан-Бернар Зубер (2010), "Классификация конформных теорий поля A-D-E", Scholarpedia 5 (4): 10314.
8. Fortuin, C.M .; Кастелейн, П. (1972). «О модели случайных кластеров». Physica. 57 (4): 536–564. Дои:10.1016/0031-8914(72)90045-6. ISSN  0031-8914.
9. Пикко, Марко; Рибо, Сильвен; Сантачиара, Рауль (2016). «Конформный бутстрап-подход к критической перколяции в двух измерениях». Scipost Physics. 1 (1): 009. arXiv:1607.07224. Bibcode:2016СЦПП .... 1 .... 9П. Дои:10.21468 / SciPostPhys.1.1.009. S2CID  10536203.
10. Di Francesco, P .; Saleur, H .; Зубер, Дж. Б. (1987). «Модулярная инвариантность в неминимальных двумерных конформных теориях». Ядерная физика B. 285: 454–480. Bibcode:1987НуФБ.285..454Д. Дои:10.1016 / 0550-3213 (87) 90349-х. ISSN  0550-3213.

дальнейшее чтение

• П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN  0-387-94785-X.
• Конформная теория поля страница в Вики по теории струн перечисляет книги и обзоры.
• Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv:1406.4290 [hep-th ].