Вращение фитиля - Wick rotation

В физика, Вращение фитиля, названный в честь итальянского физика Джан Карло Вик, представляет собой метод решения математической задачи в Пространство Минковского от решения связанной проблемы в Евклидово пространство с помощью преобразования, которое заменяет переменную с мнимым числом вещественным. Это преобразование также используется для решения задач квантовой механики и других областей.

Обзор

Вращение фитиля мотивировано тем наблюдением, что Метрика Минковского в натуральных единицах (с метрическая подпись (−1, +1, +1, +1) соглашение)

${\displaystyle ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

и четырехмерная евклидова метрика

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

эквивалентны, если разрешить координату т взять на себя воображаемый значения. Метрика Минковского становится евклидовой, когда т ограничивается мнимая ось, наоборот. Решение задачи, выраженной в пространстве Минковского с координатами х, у, г, т, и подставив т = −яиногда дает проблему в реальных евклидовых координатах х, у, z, τ что легче решить. Это решение может тогда, при обратной подстановке, дать решение исходной проблемы.

Статистическая и квантовая механика

Вращение фитиля соединяет статистическая механика к квантовая механика заменив обратная температура ${\displaystyle 1/(k_{\text{B}}T)}$ с мнимое время ${\displaystyle it/\hbar }$. Рассмотрим большую коллекцию гармонические осцилляторы в температура Т. Относительная вероятность найти любой заданный осциллятор с энергией E является ${\displaystyle \exp(-E/k_{\text{B}}T)}$, куда k_B является Постоянная Больцмана. Среднее значение наблюдаемого Q с точностью до нормирующей константы

${\displaystyle \sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},}$

где j проходит по всем штатам, ${\displaystyle Q_{j}}$ это ценность Q в j^th государство, и ${\displaystyle E_{j}}$ это энергия j^th государственный. Теперь рассмотрим сингл квантовый гармонический осциллятор в суперпозиция базисных состояний, эволюционирующих на время т под гамильтонианом ЧАС. Относительное изменение фазы базисного состояния с энергией E является ${\displaystyle \exp(-Eit/\hbar ),}$ куда ${\displaystyle \hbar }$ является приведенная постоянная Планка. В амплитуда вероятности что равномерная (равновзвешенная) суперпозиция состояний

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle }$

превращается в произвольную суперпозицию

${\displaystyle |Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle }$

с точностью до нормирующей константы

${\displaystyle \left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.}$

Статика и динамика

Вращение фитиля связывает задачи статики в п измерения к задачам динамики в п − 1 измерения, меняя одно измерение пространства на одно измерение времени. Простой пример, где п = 2 представляет собой подвесную пружину с закрепленными концами в гравитационном поле. Форма пружины кривая у(Икс). Пружина находится в равновесии, когда энергия, связанная с этой кривой, находится в критической точке (экстремуме); эта критическая точка обычно является минимумом, поэтому эту идею обычно называют «принципом наименьшей энергии». Чтобы вычислить энергию, мы интегрируем пространственную плотность энергии по пространству,

${\displaystyle E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(y(x))\right]dx,}$

куда k - жесткость пружины и V(у(Икс)) - гравитационный потенциал.

Соответствующая проблема динамики - это проблема брошенного вверх камня. Путь, по которому следует камень, - это тот путь, который экстремально действие; как и раньше, этот экстремум обычно является минимумом, поэтому он называется "принцип наименьшего действия ". Действие - это временной интеграл Лагранжиан,

${\displaystyle S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(y(t))\right]dt}$

Получаем решение задачи динамики (с точностью до множителя я) из задачи статики вращением Вика, заменив у(Икс) к у(Это) и пружинная постоянная k по массе скалы м:

${\displaystyle iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V(y(it))\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V(y(it))\right]d(it)}$

Как тепловые / квантовые, так и статические / динамические

Взятые вместе, предыдущие два примера показывают, как формулировка интеграла по путям квантовой механики относится к статистической механике. Согласно статистической механике, форма каждой пружины в коллекции при температуре Т будет отклоняться от формы с наименьшей энергией из-за тепловых колебаний; вероятность найти пружину заданной формы экспоненциально уменьшается с разницей в энергии от формы с наименьшей энергией. Точно так же квантовую частицу, движущуюся в потенциале, можно описать суперпозицией путей, каждый из которых имеет фазу ехр (является): тепловые вариации формы по всей коллекции превратились в квантовую неопределенность на пути квантовой частицы.

Более подробная информация

В Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности также связаны вращением Вика. Однако есть небольшая разница. Статистическая механика п-точечные функции удовлетворяют положительности, тогда как теории квантового поля с вращением Вика удовлетворяют позитивное отражение.^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

Вращение фитиля называется вращение потому что когда мы представляем комплексные числа как плоскость, умножение комплексного числа на я эквивалентно вращению вектор представляя это число угол из π/2 о источник.

Вращение Вика также связывает КТП на конечном обратная температура β к статистической механической модели по «трубке» р³ × S¹ с координатой мнимого времени τ периодичность с периодом β.

Обратите внимание, однако, что вращение Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, которое снабжено стандартной нормой и метрикой, индуцированной внутренний продукт, так как в этом случае вращение отменяется и не имеет никакого эффекта.

Смотрите также

• Сложное пространство-время
• Мнимое время
• Функция Швингера

Рекомендации

• Вик, Г. К. (1954). «Свойства волновых функций Бете-Солпитера». Физический обзор. 96 (4): 1124–1134. Bibcode:1954PhRv ... 96.1124W. Дои:10.1103 / PhysRev.96.1124.

внешняя ссылка

• Весна в воображаемом времени - рабочий лист по механике Лагранжа, иллюстрирующий, как замена длины мнимым временем превращает параболу висящей пружины в перевернутую параболу брошенной частицы
• Евклидова гравитация - короткое примечание Рэй Стритер по программе «Евклидова гравитация».