Z N модель - Z N model

В ${\displaystyle Z_{N}}$ модель это упрощенный статистический механический спиновая модель. Это обобщение Модель Изинга. Хотя его можно определить на произвольной график, это интегрируемый только на одном и двухмерном решетки, в некоторых особых случаях.

Определение

В ${\displaystyle Z_{N}}$ модель, иногда известная как модель часов, определяется путем присвоения вращение значение в каждом узле ${\displaystyle r}$ на графике, причем спины принимают значения ${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$, куда ${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$. Таким образом, спины принимают значения в виде сложных корни единства. Грубо говоря, мы можем представить себе вращения, назначенные каждому узлу ${\displaystyle Z_{N}}$ модель как указывающая в любой из ${\displaystyle N}$ равноудаленные направления. В Веса Больцмана для общего края ${\displaystyle rr'}$ находятся:

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

куда ${\displaystyle *}$ обозначает комплексное сопряжение и ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$ связаны с силой взаимодействия по краю ${\displaystyle rr'}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{N-k}^{\left(rr'\right)}}$ и ${\displaystyle x_{0}}$ часто устанавливается равным 1. (Действительные) веса Больцмана инвариантны относительно преобразований ${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$ и ${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$, аналогично универсальному вращению и отражению соответственно.

Самодвойное критическое решение

Есть класс решений по ${\displaystyle Z_{N}}$ модель, определенная на анизотропной квадратной решетке в общем случае. Если модель самодуальна в Крамерс – Ванье смысл и таким образом критический, а решетка такова, что есть два возможных `` веса '' ${\displaystyle x_{k}^{1}}$ и ${\displaystyle x_{k}^{2}}$ для двух возможных ориентаций кромок мы можем ввести следующую параметризацию в ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

Требуя отношения двойственности и связь звезда – треугольник, что обеспечивает интегрируемость, удерживая, можно найти решение:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

с ${\displaystyle x_{0}=1}$. Этот частный случай ${\displaystyle Z_{N}}$ Модель часто называют самой моделью ФЗ, в честь В.А. Фатеев, А. Замолодчиков, который первым рассчитал это решение. Модель FZ приближается к XY модель в пределе как ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$. Это также частный случай хиральная модель Поттса и Модель Кашивара-Мива.

Решаемые частные случаи

Как и в случае большинства решетчатых моделей в статистическая механика, точных решений ${\displaystyle Z_{N}}$ модель в трех измерениях. Однако в двух измерениях он точно решается на квадратной решетке для определенных значений ${\displaystyle N}$ и / или "веса" ${\displaystyle x_{k}}$. Возможно, наиболее известным примером является Модель Изинга, который допускает спины в двух противоположных направлениях (т.е. ${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$). Это как раз то ${\displaystyle Z_{N}}$ модель для ${\displaystyle N=2}$, и поэтому ${\displaystyle Z_{N}}$ модель можно рассматривать как обобщение Модель Изинга. Другие точно решаемые модели, соответствующие частным случаям ${\displaystyle Z_{N}}$ модель включает три состояния Модель Поттса, с ${\displaystyle N=3}$ и ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{N-1}=x_{c}}$, куда ${\displaystyle x_{c}}$ - некоторое критическое значение (ФЗ), а критическая модель Аскина – Теллера, где ${\displaystyle N=4}$.

Квантовая версия

А квантовая версия из ${\displaystyle Z_{N}}$ модель часов может быть построена аналогично модель Изинга с поперечным полем. В Гамильтониан данной модели:

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а сумма ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ выполняется по парам ближайших соседних сайтов ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$. Матрицы часов ${\displaystyle X_{j}}$ и ${\displaystyle Z_{j}}$ являются обобщениями матриц Паули, удовлетворяющими

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

и

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

куда ${\displaystyle \delta _{j,k}}$ равно 1, если ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$ - это тот же сайт, в противном случае - ноль. ${\displaystyle J}$ является префактором с размерностями энергии, и ${\displaystyle g}$ - еще один коэффициент связи, определяющий относительную напряженность внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.

Рекомендации

• В. А. Фатеев, А. Б. Замолодчиков (1982); "Самодуальные решения соотношений звезда-треугольник в ${\displaystyle Z_{N}}$-модели », Письма о физике A, 92, стр. 37–39
• М.А. Раджабпур и Дж. Карди (2007 г.); «Дискретно голоморфные парафермионы в решетке ${\displaystyle Z_{N}}$ модели " J. Phys. А 22 40, 14703–14714