Аффинная калибровочная теория - Affine gauge theory - Wikipedia

Аффинная калибровочная теория является классическая калибровочная теория где калибровочные поля аффинные связи на касательный пучок через гладкое многообразие ${\displaystyle X}$. Например, это калибровочная теория вывихи в непрерывные СМИ когда ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$, обобщение метрическо-аффинная теория гравитации когда ${\displaystyle X}$ это мировое многообразие и, в частности, калибровочная теория пятая сила.

Аффинный касательный пучок

Быть векторный набор, касательное расслоение ${\displaystyle TX}$ из ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle X}$ допускает естественную структуру аффинный пучок ${\displaystyle ATX}$, называется аффинно-касательное расслоение, обладающие атласами расслоений с аффинными функциями перехода. Это связано с основной пакет ${\displaystyle AFX}$ аффинных реперов в касательном пространстве над ${\displaystyle X}$, чей структурная группа это общая аффинная группа ${\displaystyle GA(n,\mathbb {R} )}$.

Касательный пучок ${\displaystyle TX}$ связан с принципалом линейный пучок кадров ${\displaystyle FX}$, структурная группа которого является общая линейная группа ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$. Это подгруппа ${\displaystyle GA(n,\mathbb {R} )}$ так что последний является полупрямым произведением ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ и группа ${\displaystyle T^{n}}$ переводов.

Есть каноническое вложение ${\displaystyle FX}$ к ${\displaystyle AFX}$ на сокращенная основная подгруппа что соответствует канонической структуре векторного расслоения ${\displaystyle TX}$ как аффинный.

Даны координаты линейного пучка

${\displaystyle (x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu }),\qquad {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu },\qquad \qquad (1)}$

на касательном расслоении ${\displaystyle TX}$, аффинному касательному расслоению могут быть заданы координаты

${\displaystyle (x^{\mu },{\widetilde {x}}^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }+a^{\mu }(x^{\alpha })),\qquad {\widetilde {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\widetilde {x}}^{\nu }+b^{\mu }(x^{\alpha }).\qquad \qquad (2)}$

и, в частности, с линейными координатами (1).

Аффинные калибровочные поля

Аффинное касательное расслоение ${\displaystyle ATX}$ признает аффинная связь ${\displaystyle A}$ который связан с основная связь на связке аффинных фреймов ${\displaystyle AFX}$. В аффинной калибровочной теории это рассматривается как аффинное калибровочное поле.

Учитывая координаты линейного расслоения (1) на ${\displaystyle ATX=TX}$, аффинная связь ${\displaystyle A}$ представлен касательная форма связи

${\displaystyle A=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+(\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\dot {x}}^{\nu }+\sigma _{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })){\dot {\partial }}_{\mu }].\qquad \qquad (3)}$

Эта аффинная связь определяет уникальное линейное соединение

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\dot {x}}^{\nu }{\dot {\partial }}_{\mu }]\qquad \qquad (4)}$

на ${\displaystyle TX}$, который связан с основным подключением на ${\displaystyle FX}$.

И наоборот, каждая линейная связь ${\displaystyle \Gamma }$ (4) на ${\displaystyle TX\to X}$ продолжается до аффинного ${\displaystyle A\Gamma }$ на ${\displaystyle ATX}$ которое дается тем же выражением (4), что и ${\displaystyle \Gamma }$ относительно координат расслоения (1) на ${\displaystyle ATX=TX}$, но он принимает форму

${\displaystyle A\Gamma =dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+(\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }(x^{\alpha }){\widetilde {x}}^{\nu }+s_{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })){\widetilde {\partial }}_{\mu }],\qquad s_{\lambda }^{\mu }=-\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }a^{\nu }+\partial _{\lambda }a^{\mu },}$

относительно аффинных координат (2).

Тогда любая аффинная связность ${\displaystyle A}$ (3) на ${\displaystyle ATX\to X}$ представлен суммой

${\displaystyle A=A\Gamma +\sigma \qquad \qquad (5)}$

протяженной линейной связи ${\displaystyle A\Gamma }$ и основная форма пайки

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\lambda }^{\mu }(x^{\alpha })dx^{\lambda }\otimes \partial _{\mu }\qquad \qquad (6)}$

на ${\displaystyle TX}$, куда ${\displaystyle {\dot {\partial }}_{\mu }=\partial _{\mu }}$ из-за канонического изоморфизма ${\displaystyle VATX=ATX\times _{X}TX}$ из вертикальный касательный пучок ${\displaystyle VATX}$ из ${\displaystyle ATX}$.

Относительно линейных координат (1) сумма (5) сводится к сумме ${\displaystyle A=\Gamma +\sigma }$линейной связи ${\displaystyle \Gamma }$ и форма пайки ${\displaystyle \sigma }$ (6). В этом случае форма пайки ${\displaystyle \sigma }$ (6) часто рассматривается как поле датчика перевода, хотя это не связь.

Отметим, что истинное трансляционное калибровочное поле (т. Е. Аффинная связность, которая дает плоскую линейную связность на ${\displaystyle TX}$) корректно определена только на параллелизируемое многообразие ${\displaystyle X}$.

Калибровочная теория дислокаций

В теории поля встречается проблема физической интерпретации трансляционных калибровочных полей, поскольку нет полей, подверженных калибровочным трансляциям. ${\displaystyle u(x)\to u(x)+a(x)}$. В то же время такое поле наблюдается в калибровочной теории дислокаций в сплошных средах, поскольку при наличии дислокаций векторы смещения ${\displaystyle u^{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,3}$, малых деформаций определяются только с точностью до калибровочных переводов ${\displaystyle u^{k}\to u^{k}+a^{k}(x)}$.

В этом случае пусть ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$, и пусть аффинная связность принимает вид

${\displaystyle A=dx^{i}\otimes (\partial _{i}+A_{i}^{j}(x^{k}){\widetilde {\partial }}_{j})}$

относительно координат аффинного расслоения (2). Это трансляционное калибровочное поле, коэффициенты которого ${\displaystyle A_{l}^{j}}$ описать пластик искажение, ковариантные производные ${\displaystyle D_{j}u^{i}=\partial _{j}u^{i}-A_{j}^{i}}$ совпадают с упругой деформацией, а сила ${\displaystyle F_{ji}^{k}=\partial _{j}A_{i}^{k}-\partial _{i}A_{j}^{k}}$ - плотность дислокаций.

Уравнения калибровочной теории дислокаций выводятся из калибровочного инварианта Плотность лагранжиана

${\displaystyle L_{(\sigma )}=\mu D_{i}u^{k}D^{i}u_{k}+{\frac {\lambda }{2}}(D_{i}u^{i})^{2}-\epsilon F^{k}{}_{ij}F_{k}{}^{ij},}$

где ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ являются Параметры Ламе изотропных сред. Однако эти уравнения не являются независимыми, поскольку поле смещения ${\displaystyle u^{k}(x)}$ может быть удален с помощью калибровочных преобразований и, следовательно, не может быть динамической переменной.

Калибровочная теория пятой силы

В калибровочная теория гравитации на мировом многообразии ${\displaystyle X}$, можно рассматривать аффинную, но не линейную связность на касательном расслоении ${\displaystyle TX}$ из ${\displaystyle X}$. Заданы координаты расслоения (1) на ${\displaystyle TX}$, она принимает вид (3) где линейная связь ${\displaystyle \Gamma }$ (4) и основная форма пайки ${\displaystyle \sigma }$ (6) рассматриваются как независимые переменные.

Как было сказано выше, форма пайки ${\displaystyle \sigma }$ (6) часто рассматривается как поле калибровки сдвига, хотя это не связь. С другой стороны, ошибочно идентифицируют ${\displaystyle \sigma }$ с тетрадное поле. Однако это разные математические объекты, потому что форма пайки - это часть тензорного пучка. ${\displaystyle TX\otimes T^{*}X}$, а тетрадное поле - это локальный участок Редуцированная подгруппа Лоренца комплекта кадров ${\displaystyle FX}$.

В духе вышеупомянутой калибровочной теории дислокаций было высказано предположение, что поле пайки ${\displaystyle \sigma }$ могу описать sui generi деформации мирового многообразия ${\displaystyle X}$ которые задаются морфизмом расслоений

${\displaystyle s:TX\ni \partial _{\lambda }\to \partial _{\lambda }\rfloor (\theta +\sigma )=(\delta _{\lambda }^{\nu }+\sigma _{\lambda }^{\nu })\partial _{\nu }\in TX,}$

где ${\displaystyle \theta =dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$ это тавтологический однообразный.

Тогда считается метрическо-аффинная теория гравитации ${\displaystyle (g,\Gamma )}$ на деформированном мировом многообразии как на деформированной псевдоримановой метрике ${\displaystyle {\widetilde {g}}^{\mu \nu }=s_{\alpha }^{\mu }s_{\beta }^{\nu }g^{\alpha \beta }}$ когда лагранжиан поля пайки ${\displaystyle \sigma }$ принимает форму

${\displaystyle L_{(\sigma )}={\frac {1}{2}}[a_{1}T^{\mu }{}_{\nu \mu }T_{\alpha }{}^{\nu \alpha }+a_{2}T_{\mu \nu \alpha }T^{\mu \nu \alpha }+a_{3}T_{\mu \nu \alpha }T^{\nu \mu \alpha }+a_{4}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }T^{\gamma }{}_{\mu \gamma }T_{\beta \nu \alpha }-\mu \sigma ^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }{}_{\mu }+\lambda \sigma ^{\mu }{}_{\mu }\sigma ^{\nu }{}_{\nu }]{\sqrt {-g}}}$,

где ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }}$ это Символ Леви-Чивита, и

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\nu \mu }=D_{\nu }\sigma ^{\alpha }{}_{\mu }-D_{\mu }\sigma ^{\alpha }{}_{\nu }}$

это кручение линейной связи ${\displaystyle \Gamma }$ относительно формы пайки ${\displaystyle \sigma }$.

В частности, рассмотрим эту калибровочную модель в случае малых гравитационных полей и полей пайки, источником вещества которых является точечная масса. Затем приходит модифицированный Ньютоновский потенциал из пятая сила тип.

Смотрите также

• Подключение (аффинный пучок)
• Вывихи
• Пятая сила
• Теория калибровочной гравитации
• Метрическо-аффинная теория гравитации
• Классические теории единого поля

использованная литература

• А. Кадич, Д. Эделен, Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Конспект лекций по физике 174 (Спрингер, Нью-Йорк, 1983), ISBN  3-540-11977-9
• Г. Сарданашвили, О. Захаров, Теория калибровочной гравитации (World Scientific, Сингапур, 1992 г.), ISBN  981-02-0799-9
• К. Малышев, Функции дислокационных напряжений из уравнений двойного ротора T (3): линейность и перспективы, Анналы физики 286 (2000) 249.

внешние ссылки

• Г. Сарданашвили, Гравитация как поле Хиггса. III. Негравитационные отклонения гравитационного поля, arXiv:gr-qc / 9411013.