Подключение (основной комплект) - Connection (principal bundle)

Эта статья о подключениях к основным пакетам. Для получения информации о других типах связей в математике см. Связь (математика).

В математика, и особенно дифференциальная геометрия и калибровочная теория, а связь это устройство, которое определяет понятие параллельный транспорт на пачке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. А главный г-связь на основной G-пучок п через гладкое многообразие M это особый тип подключения, совместимый с действие группы г.

Принципиальную связь можно рассматривать как частный случай понятия Связь Ehresmann, и иногда его называют основная связь Ehresmann. Это порождает (Ehresmann) связи на любом пучок волокон связано с п через связанный пакет строительство. В частности, на любом связанный векторный пучок основная связь индуцирует ковариантная производная, оператор, который может различать разделы этого пучка вместе касательные направления в базовом коллекторе. Основные связи обобщают на произвольные главные расслоения понятие линейное соединение на комплект кадров из гладкое многообразие.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle \pi :P\to M}$ быть гладким главный г-пучок через гладкое многообразие ${\displaystyle M}$. Потом главный ${\displaystyle G}$-связь на ${\displaystyle P}$ является дифференциальной 1-формой на ${\displaystyle P}$ со значениями в алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ из ${\displaystyle G}$ который ${\displaystyle G}$-эквивариантный и воспроизводит то Генераторы алгебры Ли из фундаментальные векторные поля на ${\displaystyle P}$.

Другими словами, это элемент ω из ${\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})}$ такой, что

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$ где ${\displaystyle R_{g}}$ обозначает правое умножение на ${\displaystyle g}$, и ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ это присоединенное представительство на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (явно ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}}$);
2. если ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle X_{\xi }}$ является векторное поле на п связано с ξ путем дифференцирования г действие на п, тогда ${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi }$ (идентично на ${\displaystyle P}$).

Иногда термин основное G-соединение относится к паре ${\displaystyle (P,\omega )}$ и ${\displaystyle \omega }$ сам называется форма подключения или соединение 1-форма основного подключения.

Вычислительные замечания

Наиболее известные нетривиальные вычисления главных G-связей выполняются с помощью однородные пространства из-за тривиальности (ко) касательного расслоения. (Например, пусть ${\displaystyle G\to H\to H/G}$, - главное G-расслоение над ${\displaystyle H/G}$) Это означает, что 1-формы на тотальном пространстве канонически изоморфны ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ является двойственной алгеброй Ли, следовательно, G-связности биективны с ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}}$.

Отношение к связям Ehresmann

Основное G-соединение ω на п определяет Связь Ehresmann на п следующим образом. Прежде всего отметим, что фундаментальные векторные поля, порождающие г действие на п обеспечивают изоморфизм расслоения (покрывающий тождество п) от связка Вице-президент к ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$, где Вице-президент = ker (dπ) является ядром касательное отображение ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$ который называется вертикальный пучок из п. Это следует из того ω однозначно определяет карту связки v:TP→V что является тождеством на V. Такая проекция v однозначно определяется своим ядром, которое представляет собой гладкое подрасслоение ЧАС из TP (называется горизонтальный пучок ) такие, что TP=V⊕ЧАС. Это связь Эресмана.

И наоборот, связь Эресмана ЧАС⊂TP (или же v:TP→V) на п определяет основной г-связь ω если и только если это г-эквивариантно в том смысле, что ${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$.

Отступите через раздел тривиализации

Тривиализирующее сечение главного расслоения п дается разделом s из п над открытым подмножеством U из M. Тогда откат s^*ω главной связности является 1-формой на U со значениями в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.Если раздел s заменяется новым разделом sg, определяется (sg)(Икс) = s(Икс)грамм(Икс), где грамм:M→г - гладкое отображение, то ${\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg}$. Основная связь однозначно определяется этим семейством ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значные 1-формы, и эти 1-формы также называются формы подключения или соединение 1-форм, особенно в более старой или более ориентированной на физику литературе.

Связка основных подключений

Группа г действует на касательный пучок TP по правильному переводу. В факторное пространство TP/г также является многообразием и наследует структуру пучок волокон над TM который будет обозначаться dπ:TP/г→TM. Пусть ρ:TP/г→M быть проекцией на M. Волокна пучка TP/г под проекцией ρ несут аддитивную структуру.

Пакет TP/г называется связка основных подключений (Кобаяши 1957 ). А раздел Γ элемента dπ:TP/г→TM такое, что Γ: TM → TP/г является линейным морфизмом векторных расслоений над M, можно отождествить с основной связью в п. И наоборот, основная связь, как определено выше, порождает такое сечение Γ TP/г.

Наконец, пусть Γ - главная связность в этом смысле. Позволять q:TP→TP/г - фактор-карта. Горизонтальное распределение соединения - жгут

${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.}$ Мы снова видим ссылку на горизонтальное расслоение и, следовательно, связь Эресмана.

Аффинное свойство

Если ω и ω ' главные связи на главном расслоении п, то разница ω ' - ω это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная 1-форма на п что не только г-эквивариантно, но горизонтальный в том смысле, что он обращается в нуль на любом участке вертикального расслоения V из п. Следовательно, это базовый и так определяется 1-форма на M со значениями в сопряженный пучок

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.}$

И наоборот, любая такая форма определяет (через откат) a г-эквивариантной горизонтальной 1-формы на п, а пространство главных г-connections - это аффинное пространство для этого пространства 1-форм.

Индуцированные ковариантные и внешние производные

Для любого линейное представление W из г существует связанный векторный пучок ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ над M, а главная связь индуцирует ковариантная производная на любом таком векторном расслоении. Эту ковариантную производную можно определить, используя тот факт, что пространство сечений ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ над M изоморфно пространству г-эквивариантный W-значные функции на п. В более общем плане пространство k-формы со значениями в ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ отождествляется с пространством г-эквивариантный и горизонтальный W-ценный k-форма на п. Если α такой k-form, то его внешняя производная dα, несмотря на то что г-эквивариантный, больше не горизонтальный. Однако комбинация dα+ωΛα является. Это определяет внешняя ковариантная производная d^ω из ${\displaystyle P\times ^{G}W}$-ценный k-форма на M к ${\displaystyle P\times ^{G}W}$-значный (k+1) -форма на M. В частности, когда k= 0, получаем ковариантную производную на ${\displaystyle P\times ^{G}W}$.

Форма кривизны

В форма кривизны директора г-связь ω это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значная 2-форма Ω, определяемая

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

это г-эквивариантный и горизонтальный, следовательно, соответствует 2-форме на M со значениями в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$. Отождествление кривизны с помощью этой величины иногда называют Второе структурное уравнение (Картана).^[1] Исторически возникновение структурных уравнений связано с развитием Картановое соединение. При переносе в контекст Группы Ли, структурные уравнения известны как Уравнения Маурера – Картана: это те же уравнения, но в другой обстановке и в другой записи.

Соединения на пучках рам и кручение

Если основной пучок п это комплект кадров, или (в более общем смысле) если у него есть форма припоя, то соединение является примером аффинная связь, и кривизна - не единственный инвариант, поскольку дополнительная структура припоя формирует θ, что является эквивариантным р^п-значная 1-форма на п, следует учитывать. В частности, форма кручения на п, является р^п-значная 2-форма Θ, определяемая

${\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .}$

Θ это г-эквивариантный и горизонтальный, поэтому он спускается к касательной 2-форме на M, называется кручение. Это уравнение иногда называют (Картана) первое структурное уравнение.

Рекомендации

1. Егучи, Тору; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия». Отчеты по физике. 66 (6): 213–393. Bibcode:1980PhR .... 66..213E. Дои:10.1016/0370-1573(80)90130-1.

• Кобаяси, Шошичи (1957), «Теория связей», Анна. Мат. Pura Appl., 43: 119–194, Дои:10.1007 / BF02411907, S2CID  120972987
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.), Wiley Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF), Springer-Verlag, архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-30, получено 2008-03-25