Подключение (аффинный пучок) - Connection (affine bundle) - Wikipedia

Позволять YИкс быть аффинный пучок моделируется над векторным расслоением YИкс. А связь Γ на YИкс называется аффинная связь если это как раздел Γ: Y → J1Y из струйный пучок J1YY из Y является морфизмом аффинного расслоения над Икс. В частности, это аффинная связь на касательный пучок ТИкс из гладкое многообразие Икс. (То есть связь на аффинном расслоении является примером аффинной связи; это, однако, не является общим определением аффинной связи. Это связанные, но различные концепции, оба, к сожалению, используют прилагательное «аффинно».)

Относительно координат аффинного расслоения (Иксλ, уя) на Y, аффинная связь Γ на YИкс дается форма касательной связи

Аффинное расслоение - это расслоение с общее аффинное структурная группа GA (м, ℝ) аффинных преобразований его типичного слоя V измерения м. Следовательно, аффинная связь ассоциируется с основная связь. Он существует всегда.

Для любой аффинной связи Γ: Y → J1Yсоответствующие линейная производная Γ : Y → J1Y аффинного морфизма Γ определяет уникальный линейное соединение на векторном расслоении YИкс. По координатам линейного пучка (Иксλ, уя) на Y, это соединение гласит

Поскольку каждое векторное расслоение является аффинным расслоением, любая линейная связность на векторном расслоении также является аффинной связностью.

Если YИкс - векторное расслоение, аффинная связность Γ и связанная линейная связь Γ являются связями на одном векторном расслоении YИкс, а их отличие заключается в базовой форме пайки на

Таким образом, всякая аффинная связность на векторном расслоении YИкс представляет собой сумму линейного соединения и основной формы пайки на YИкс.

За счет канонического вертикального разбиения VY = Y × Y, эта форма для пайки приводится в векторнозначная форма

куда ея волокнистая основа для Y.

Учитывая аффинную связь Γ на векторном расслоении YИкс, позволять р и р быть искривления связи Γ и соответствующая линейная связь Γ, соответственно. Легко заметить, что р = р + Т, куда

это кручение из Γ относительно основной формы пайки σ.

В частности, рассмотрим касательное расслоение ТИкс многообразия Икс координируется (Иксμ, Иксμ). Есть каноническая форма пайки

на ТИкс что совпадает с тавтологический однообразный

на Икс из-за канонического вертикального разбиения VTИкс = TИкс × тИкс. Для произвольной линейной связи Γ на ТИкс, соответствующая аффинная связность

на ТИкс это Картановое соединение. Кручение связи Картана А относительно формы пайки θ совпадает с кручение линейной связи Γ, а его кривизна представляет собой сумму р + Т кривизны и кручения Γ.

Смотрите также

Рекомендации

  • Кобаяши, С .; Номидзу, К. (1996). Основы дифференциальной геометрии. 1–2. Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.
  • Сарданашвили, Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория. Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. ISBN  978-3-659-37815-7.