Корреляционная функция - Correlation function

Для использования в других целях см. Корреляционная функция (значения).

Визуальное сравнение свертка, взаимная корреляция и автокорреляция.

А корреляционная функция это функция что дает статистические корреляция между случайные переменные, в зависимости от пространственного или временного расстояния между этими переменными. Если рассматривать корреляционную функцию между случайными величинами, представляющими одну и ту же величину, измеренную в двух разных точках, то это часто называют автокорреляционная функция, который состоит из автокорреляции. Корреляционные функции разных случайных величин иногда называют кросс-корреляционные функции чтобы подчеркнуть, что рассматриваются разные переменные, и потому что они состоят из взаимные корреляции.

Функции корреляции являются полезным индикатором зависимостей как функции расстояния во времени или пространстве, и их можно использовать для оценки расстояния, необходимого между точками выборки, чтобы значения были эффективно некоррелированы. Кроме того, они могут составлять основу правил интерполяции значений в точках, для которых нет наблюдений.

Корреляционные функции, используемые в астрономия, финансовый анализ, эконометрика, и статистическая механика различаются только конкретными случайными процессами, к которым они применяются. В квантовая теория поля Существуют корреляционные функции по квантовым распределениям.

Определение

Для возможных различных случайных величин Икс(s) и Y(т) в разных точках s и т некоторого пространства корреляционная функция

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

куда ${\displaystyle \operatorname {corr} }$ описано в статье о корреляция. В этом определении предполагается, что стохастические переменные имеют скалярные значения. Если это не так, можно определить более сложные корреляционные функции. Например, если Икс(s) это случайный вектор с п элементы и Y(t) - вектор с q элементы, затем п×q матрица корреляционных функций определяется как ${\displaystyle i,j}$ элемент

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

Когда п=q, иногда след этой матрицы ориентирована на. Если распределения вероятностей имеют любые симметрии целевого пространства, т.е. симметрии в пространстве значений стохастической переменной (также называемой внутренние симметрии), то корреляционная матрица будет иметь индуцированные симметрии. Аналогичным образом, если существуют симметрии пространственной (или временной) области, в которой существуют случайные величины (также называемые симметрии пространства-времени), то корреляционная функция будет иметь соответствующую пространственную или временную симметрию. Примеры важных пространственно-временных симметрий:

• поступательная симметрия дает C(s,s') = C(s − s') куда s и s'следует интерпретировать как векторы, задающие координаты точек
• вращательная симметрия в дополнение к вышесказанному дает C(s, s') = C(|s − s'|) где |Икс| обозначает норму вектора Икс (для реальных вращений это евклидова или 2-норма).

Часто определяются корреляционные функции более высокого порядка. Типичная корреляционная функция порядка п есть (угловые скобки обозначают ожидаемое значение )

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Если случайный вектор имеет только одну компонентную переменную, то индексы ${\displaystyle i,j}$ избыточны. Если есть симметрии, то корреляционную функцию можно разбить на неприводимые представления симметрий - как внутренних, так и пространственно-временных.

Свойства вероятностных распределений

С этими определениями изучение корреляционных функций похоже на изучение распределения вероятностей. Многие случайные процессы могут быть полностью охарактеризованы их корреляционными функциями; наиболее ярким примером является класс Гауссовские процессы.

Распределения вероятностей, определенные для конечного числа точек, всегда можно нормализовать, но когда они определены в непрерывных пространствах, требуется особая осторожность. Изучение таких распределений началось с изучения случайные прогулки и привели к понятию It исчисление.

Фейнман интеграл по путям в евклидовом пространстве обобщает это на другие интересующие проблемы статистическая механика. Любое распределение вероятностей, которое подчиняется условию на корреляционные функции, называемое позитивное отражение ведет к местному квантовая теория поля после Вращение фитиля к Пространство-время Минковского ( видеть Аксиомы Остервальдера-Шрадера ). Работа перенормировка - это заданный набор отображений из пространства вероятностных распределений в себя. А квантовая теория поля называется перенормируемым, если это отображение имеет неподвижную точку, которая дает квантовую теорию поля.

Смотрите также

• Автокорреляция
• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Коррелограмма
• Ковариационная функция
• Коэффициент корреляции продукт-момент Пирсона
• Корреляционная функция (астрономия)
• Корреляционная функция (статистическая механика)
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Взаимная информация
• Теория искажения скорости
• Функция радиального распределения