Критический аспект - Critical dimension

Минимальный размер элемента в фотолитографии см. Фотолитография.

в ренормгруппа анализ фазовые переходы в физика, а критическое измерение это размерность пространства, в котором меняется характер фазового перехода. Ниже нижний критический размер фазового перехода нет. Выше верхний критический размер то критические показатели теории стали такими же, как в теория среднего поля. Элегантный критерий получения критической размерности в рамках теории среднего поля обусловлен В. Гинзбург.

Поскольку ренормгруппа устанавливает связь между фазовым переходом и квантовая теория поля, это имеет значение для последнего и для нашего более широкого понимания перенормировки в целом. Выше верхнего критического измерения квантовая теория поля, которая принадлежит модели фазового перехода, является теория свободного поля. Ниже нижнего критического размера теории поля, соответствующей модели, не существует.

В контексте теория струн значение более ограничено: критическое измерение это измерение, в котором теория струн согласован при условии постоянного дилатон фон без дополнительных искажающих изменений от радиационного фона. Точное количество может быть определено путем необходимой отмены конформная аномалия на мировой лист; это 26 для бозонная теория струн и 10 для теория суперструн.

Верхняя критическая размерность в теории поля

Определение верхней критической размерности теории поля - это вопрос линейная алгебра. Целесообразно формализовать процедуру, поскольку она дает приближение самого низкого порядка для масштабирования и существенные входные данные для ренормгруппа. Он также показывает, в первую очередь, условия для наличия критической модели.

Показатели мономов критического лагранжиана определяют гиперплоскость в пространстве показателей. Верхний критический размер можно прочитать на ${\displaystyle E_{1}}$-ось..

А Лагранжиан можно записать в виде суммы слагаемых, каждое из которых представляет собой интеграл по одночлен координат ${\displaystyle x_{i}}$ и поля ${\displaystyle \phi _{i}}$. Примеры стандартные ${\displaystyle \phi ^{4}}$-модель и изотропный Трикритическая точка Лифшица с лагранжианами

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

см. также рисунок справа. Эта простая структура может быть совместима с масштабная инвариантность при изменении масштаба координат и полей с коэффициентом ${\displaystyle b}$ в соответствии с

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

Время здесь не выделяется - это просто еще одна координата: если лагранжиан содержит переменную времени, то эту переменную следует масштабировать как ${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$ с некоторым постоянным показателем ${\displaystyle z=-[t]}$. Цель состоит в том, чтобы определить набор экспонент ${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$.

Один показатель, скажем ${\displaystyle [x_{1}]}$, может быть выбран произвольно, например ${\displaystyle [x_{1}]=-1}$. На языке размерного анализа это означает, что показатели степени ${\displaystyle N}$ считать множители волнового вектора (a обратная длина ${\displaystyle k=1/L_{1}}$). Таким образом, каждый моном лагранжиана приводит к однородному линейному уравнению ${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$ для экспонентов ${\displaystyle N}$. Если есть ${\displaystyle M}$ (неэквивалентные) координаты и поля в лагранжиане, то ${\displaystyle M}$ такие уравнения составляют квадратную матрицу. Если бы эта матрица была обратимой, то было бы только тривиальное решение ${\displaystyle N=0}$.

Условие ${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$ для нетривиального решения дает уравнение между размерностями пространства, которое определяет верхнюю критическую размерность ${\displaystyle d_{u}}$ (при условии, что есть только одно переменное измерение ${\displaystyle d}$ в лагранжиане). Переопределение координат и полей теперь показывает, что определение показателей масштабирования ${\displaystyle N}$ эквивалентен анализу размеров по отношению к волновому вектору ${\displaystyle k}$, при этом все константы связи, входящие в лагранжиан, становятся безразмерными. Безразмерные константы связи являются техническим признаком верхнего критического размера.

Наивное масштабирование на уровне лагранжиана не соответствует напрямую физическому масштабированию, поскольку отрезать требуется для придания смысла теория поля и интеграл по путям. При изменении масштаба длины изменяется и количество степеней свободы. Это усложнение учитывается ренормгруппа. Главный результат в верхнем критическом измерении состоит в том, что масштабная инвариантность сохраняется для больших факторов. ${\displaystyle b}$, но с дополнительными ${\displaystyle ln(b)}$ факторы при масштабировании координат и полей.

Что происходит ниже или выше ${\displaystyle d_{u}}$ зависит от того, интересуются ли большие расстояния (статистическая теория поля ) или короткие расстояния (квантовая теория поля ). Квантовые теории поля тривиальны (сходятся) ниже. ${\displaystyle d_{u}}$ и не перенормируем выше ${\displaystyle d_{u}}$.^[1] Статистические теории поля тривиальны (сходятся) выше ${\displaystyle d_{u}}$ и перенормируемый ниже ${\displaystyle d_{u}}$. В последнем случае возникают «аномальные» вклады в наивные показатели масштабирования ${\displaystyle N}$. Эти аномальные вклады в эффективную критические показатели обращаются в нуль в верхнем критическом измерении.

Поучительно увидеть, как масштабная инвариантность в верхнем критическом измерении становится масштабной инвариантностью ниже этого измерения. Для малых внешних волновых векторов вершинные функции ${\displaystyle \Gamma }$ приобретать дополнительные показатели, например ${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$. Если эти показатели вставлены в матрицу ${\displaystyle A(d)}$ (который имеет значения только в первом столбце), условие масштабной инвариантности становится ${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$. Это уравнение может быть выполнено только в том случае, если аномальные показатели вершинных функций каким-либо образом взаимодействуют. Фактически, вершинные функции иерархически зависят друг от друга. Один из способов выразить эту взаимозависимость - это Уравнения Дайсона-Швингера.

Наивное масштабирование при ${\displaystyle d_{u}}$ таким образом, важно как приближение нулевого порядка. Наивное масштабирование в верхнем критическом измерении также классифицирует члены лагранжиана как релевантные, нерелевантные или маргинальные. Лагранжиан совместим с масштабированием, если ${\displaystyle x_{i}}$- и ${\displaystyle \phi _{i}}$ -экспоненты ${\displaystyle E_{i,j}}$ лежать на гиперплоскости, примеры см. на рисунке выше. ${\displaystyle N}$ - нормальный вектор этой гиперплоскости.

Нижний критический размер

Нижний критический размер ${\displaystyle d_{L}}$ фазового перехода заданного класс универсальности - последнее измерение, для которого этот фазовый переход не происходит, если размерность увеличивается, начиная с ${\displaystyle d=1}$.

Термодинамическая устойчивость упорядоченной фазы зависит от энтропия и энергия. Количественно это зависит от типа доменные стены и их режимы колебаний. Похоже, что не существует общего формального способа вывести нижнюю критическую размерность теории поля. Нижние оценки могут быть получены с помощью статистическая механика аргументы.

Рассмотрим сначала одномерную систему с короткодействующими взаимодействиями. Создание доменной стенки требует фиксированного количества энергии ${\displaystyle \epsilon }$. Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на ${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$. Это изменение энтропии необходимо сравнивать с энтропией самой доменной стенки.^[2] В системе длины ${\displaystyle L}$ Существуют ${\displaystyle L/a}$ позиции для доменной стенки, ведущие (по Принцип Больцмана ) к увеличению энтропии ${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$. Для ненулевой температуры ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle L}$ достаточно большой, всегда преобладает прирост энтропии, и поэтому в одномерных системах с короткодействующими взаимодействиями при ${\displaystyle T>0}$. Космическое измерение ${\displaystyle d_{1}=1}$ таким образом, это нижняя граница нижней критической размерности таких систем.

Более сильная нижняя граница ${\displaystyle d_{L}=2}$ могут быть получены с помощью аналогичных аргументов для систем с короткодействующими взаимодействиями и параметр порядка с непрерывной симметрией. В этом случае Теорема Мермина-Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка обращается в нуль в ${\displaystyle d=2}$ в ${\displaystyle T>0}$, и поэтому фазовый переход обычного типа при ${\displaystyle d_{L}=2}$ и ниже.

Для систем с подавленный беспорядок критерий, данный Имри и Ма^[3] может быть актуальным. Эти авторы использовали критерий для определения нижнего критического размера магнитов со случайным полем.

Рекомендации

1. Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-851882-X.
2. Питаевский, Л. П .; Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М .; Sykes, J. B .; Kearsley, M. W .; Лифшиц, Э. М. (1991). Статистическая физика. Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-7506-3372-7.
3. Imry, Y .; С. К. Ма (1975). «Неустойчивость случайного поля упорядоченного состояния непрерывной симметрии». Phys. Rev. Lett. 35 (21): 1399–1401. Bibcode:1975ПхРвЛ..35.1399И. Дои:10.1103 / PhysRevLett.35.1399.

внешняя ссылка

• Kanon: бесплатная программа для Windows для определения верхнего критического измерения с примерами, интерактивной справкой и математическими подробностями.