Шахматная доска Фейнмана - Feynman checkerboard

Шахматная доска Фейнмана с двумя путями, составляющими сумму для пропагатора из (${displaystyle x/epsilon c}$, ${displaystyle t/epsilon }$) = (0, 0) на (3, 7)

В Шахматная доска Фейнмана, или же релятивистская шахматная доска модель, была Ричард Фейнман С суммировать пути формулировка ядро бесплатно спин-½ частица движется в одном пространственном измерении. Он обеспечивает представление решений Уравнение Дирака в (1 + 1) -мерном пространство-время в виде дискретных сумм.

Модель можно визуализировать, рассматривая релятивистские случайные прогулки на шахматной доске двухмерного пространства-времени. На каждом дискретном временном шаге ${displaystyle epsilon }$ частица массы ${displaystyle m}$ перемещается на расстояние ${displaystyle epsilon c}$ влево или вправо (${displaystyle c}$ будучи скорость света ). Для такого дискретного движения Интеграл по путям Фейнмана сводится к сумме по возможным путям. Фейнман продемонстрировал, что если каждый «поворот» (изменение движения слева направо или наоборот) пространственно-временного пути взвешивается ${displaystyle -iepsilon mc^{2}/hbar }$ (с ${displaystyle hbar }$ обозначая сокращенный Постоянная Планка ), в пределе бесконечно малых квадратов шахматной доски сумма всех взвешенных путей дает пропагатор, удовлетворяющий одномерному Уравнение Дирака. Как результат, спиральность (одномерный эквивалент вращение ) получается из простого клеточные автоматы -тип правила.

Модель шахматной доски важна, потому что она соединяет аспекты вращения и хиральность с распространением в пространстве-времени^[1] и является единственной формулировкой с суммированием по траекториям, в которой квантовая фаза дискретна на уровне траекторий, принимая только значения, соответствующие четвертому корни единства.

История

Фейнман изобрел модель в 1940-х годах, развивая свой пространственно-временной подход к квантовой механике.^[2] Он не публиковал результат, пока он не появился в тексте об интегралах по путям, соавтором которого является Альберт Хиббс в середине 1960-х гг.^[3] Модель не была включена в исходную статью с интегралом по путям.^[2] потому что не было найдено подходящего обобщения на четырехмерное пространство-время.^[4]

Одна из первых связей между амплитудами, предписанными Фейнманом для частицы Дирака в 1 + 1 измерениях, и стандартной интерпретацией амплитуд в терминах ядра или пропагатора была установлена Джаянт Нарликар в подробном анализе.^[5] Название «модель шахматной доски Фейнмана» было придумано Гершем, когда он продемонстрировал ее связь с одномерным Модель Изинга.^[6] Gaveau et al. обнаружил связь между моделью и стохастической моделью телеграфные уравнения из-за Марк Кац через аналитическое продолжение.^[7] Якобсон и Шульман исследовали переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу по путям.^[8] Впоследствии Орд показал, что модель шахматной доски была встроена в корреляции в исходной стохастической модели Каца.^[9] и поэтому имел чисто классический контекст, свободный от формального аналитического продолжения.^[10] В том же году Кауфман и Нойес^[11] произвел полностью дискретную версию, относящуюся к физика битовых строк, который был развит в общий подход к дискретной физике.^[12]

Расширения

Хотя Фейнман не дожил до публикации расширений модели шахматной доски, из его архивных заметок очевидно, что он был заинтересован в установлении связи между четвертым корнем из единства (используемым в качестве статистических весов на шахматных путях) и своим открытием, с Дж. А. Уиллер, который античастицы эквивалентны частицам, движущимся назад во времени.^[1] Его записи содержат несколько набросков шахматных дорожек с добавленными петлями пространства-времени.^[13] Первым расширением модели, которое явно содержало такие петли, была «спиральная модель», в которой шахматные дорожки могли закручиваться в пространстве-времени. В отличие от шахматной доски, причинность необходимо было реализовать явно, чтобы избежать расхождений, однако с этим ограничением Уравнение Дирака возник как континуальный предел.^[14] Впоследствии роли zitterbewegung, античастицы и Море Дирака в модели шахматной доски были выяснены,^[15] и последствия для Уравнение Шредингера рассматривается через нерелятивистский предел.^[16]

Дальнейшие расширения исходной 2-мерной модели пространства-времени включают такие функции, как улучшенные правила суммирования.^[17] и обобщенные решетки.^[18] Не было единого мнения об оптимальном расширении модели шахматной доски до полностью четырехмерного пространства-времени. Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решеткой.^[19][20] и те, которые включают двумерный случай в более высокое измерение.^[21][22] Преимущество первого состоит в том, что суммирование путей ближе к нерелятивистскому случаю, однако простая картина единственной независимой от направления скорости света теряется. В последних расширениях свойство фиксированной скорости сохраняется за счет изменения направления на каждом шаге.

Рекомендации

1. Швебер, Сильван С. (1994). QED и люди, которые сделали это. Princeton University Press.
2. Фейнман, Р. П. (1948-04-01). "Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике". Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 20 (2): 367–387. Дои:10.1103 / revmodphys.20.367. ISSN  0034-6861.
3. Фейнман и Хиббс,Квантовая механика и интегралы по траекториям, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, проблема 2-6, стр. 34–36, 1965.
4. Р. П. Фейнман,Развитие пространственно-временного взгляда на квантовую электродинамику,Наука, 153, стр. 699–708, 1966 (Перепечатка лекции о Нобелевской премии).
5. Я. Нарликар, Амплитуды пути для дираковских частиц, Журнал Индийского математического общества, 361972. С. 9–32.
6. Герш, Х.А. (1981). «Релятивистская шахматная доска Фейнмана как модель Изинга». Международный журнал теоретической физики. Springer Nature. 20 (7): 491–501. Дои:10.1007 / bf00669436. ISSN  0020-7748.
7. Gaveau, B .; Jacobson, T .; Kac, M .; Шульман, Л. С. (1984-07-30). «Релятивистское расширение аналогии между квантовой механикой и броуновским движением». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 53 (5): 419–422. Дои:10.1103 / Physrevlett.53.419. ISSN  0031-9007.
8. Якобсон, Т; Шульман, LS (1984-02-01). «Квантовая стохастика: переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу по путям». Журнал физики A: математические и общие. IOP Publishing. 17 (2): 375–383. Дои:10.1088/0305-4470/17/2/023. ISSN  0305-4470.
9. Кац, Марк (1974). «Стохастическая модель, связанная с уравнением телеграфа». Журнал математики Роки-Маунтин. Консорциум математиков Скалистых гор. 4 (3): 497–510. Дои:10.1216 / RMJ-1974-4-3-497. ISSN  0035-7596.
10. Орд, Г. (1996). «Уравнения Шредингера и Дирака без квантовой механики». Анналы физики. Elsevier BV. 250 (1): 51–62. Дои:10.1006 / aphy.1996.0087. ISSN  0003-4916.
11. Кауфман, Луи Х .; Пьер Нойес, Х. (1996). «Дискретная физика и уравнение Дирака». Письма о физике A. Elsevier BV. 218 (3–6): 139–146. arXiv:hep-th / 9603202. Дои:10.1016/0375-9601(96)00436-7. ISSN  0375-9601.
12. Луи Х. Кауфман, Некоммутативные миры - резюме, 2005, arXiv: Quant-ph / 0503198.
13. Швебер, Сильван С. (1986-04-01). «Фейнман и визуализация пространственно-временных процессов». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 58 (2): 449–508. Дои:10.1103 / revmodphys.58.449. ISSN  0034-6861.
14. Орд, Г. Н. (1992). «Классический аналог квантовой фазы». Международный журнал теоретической физики. Springer Nature. 31 (7): 1177–1195. Дои:10.1007 / bf00673919. ISSN  0020-7748.
15. Ord, G. N .; Гуальтьери, Дж. А. (2002-12-02). "Пропагатор Фейнмана с единого пути". Письма с физическими проверками. 89 (25): 250403–250407. arXiv:Quant-ph / 0109092. Дои:10.1103 / Physrevlett.89.250403. ISSN  0031-9007. PMID  12484870.
16. Ord, G.N .; Манн, Р. Б. (2003). «Сплетенные пары и уравнение Шредингера». Анналы физики. Elsevier BV. 308 (2): 478–492. arXiv:Quant-ph / 0206095. Дои:10.1016 / с0003-4916 (03) 00148-9. ISSN  0003-4916.
17. Кулл, Андреас; Треуманн, Р. А. (1999). «Об интеграле по путям релятивистского электрона». Международный журнал теоретической физики. 38 (5): 1423–1428. arXiv:Quant-ph / 9901058. Дои:10.1023 / а: 1026637015146. ISSN  0020-7748.
18. Кулл, Андреас (2002). «Квантово-механическое движение релятивистской частицы в прерывистом пространстве-времени». Письма о физике A. 303 (2–3): 147–153. arXiv:Quant-ph / 0212053. Дои:10.1016 / s0375-9601 (02) 01238-0. ISSN  0375-9601.
19. Якобсон, Т. (1985). «Шахматная доска Фейнмана и другие игры». Нелинейные уравнения в классической и квантовой теории поля. Конспект лекций по физике. 226. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 386–395. Дои:10.1007 / 3-540-15213-x_88. ISBN  978-3-540-15213-2.
20. Фрэнк Д. Смит, Шахматная доска HyperDiamond Фейнмана в 4-мерном пространстве-времени, 1995, arXiv: Quant-ph / 9503015
21. Ord, G.N .; Mckeon, D.G.C. (1993). «Об уравнении Дирака в 3 + 1 измерениях». Анналы физики. Elsevier BV. 222 (2): 244–253. Дои:10.1006 / aphy.1993.1022. ISSN  0003-4916.
22. Розен, Джеральд (1983-08-01). «Суммирование пути Фейнмана для уравнения Дирака: лежащий в основе одномерный аспект движения релятивистских частиц». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 28 (2): 1139–1140. Дои:10.1103 / Physreva.28.1139. ISSN  0556-2791.