Плоский (геометрия) - Flat (geometry)

В геометрия, а плоский или Евклидово подпространство является подмножеством Евклидово пространство которое само является евклидовым пространством (нижнего измерение ). Квартиры в двухмерном пространстве - это точки и линии, а квартиры в трехмерное пространство точки, линии и самолеты.

В $п$ -мерное пространство, есть квартиры всех размеров от 0 до $п - 1$ .^[1] Квартиры размера $п - 1$ называются гиперплоскости.

Квартиры аффинные подпространства евклидовых пространств, что означает, что они подобны линейные подпространства, за исключением того, что они не должны проходить через происхождение. Квартиры находятся в линейная алгебра, как геометрические реализации множеств решений системы линейных уравнений.

Квартира - это многообразие и алгебраическое многообразие, и иногда его называют линейное многообразие или линейное разнообразие чтобы отличить его от других многообразий или разновидностей.

Описания

По уравнениям

Квартиру можно описать система линейных уравнений. Например, линия в двумерном пространстве может быть описана одним линейным уравнением, включающим $Икс$ и $y$ :

{displaystyle 3x + 5y = 8.}

В трехмерном пространстве одно линейное уравнение, включающее $Икс$ , $y$ , и $z$ определяет плоскость, а пара линейных уравнений может использоваться для описания линии. В общем случае линейное уравнение в $п$ переменных описывает гиперплоскость, а система линейных уравнений описывает пересечение этих гиперплоскостей. Предполагая, что уравнения согласованы и линейно независимый, система $k$ уравнения описывает квартиру размерности $п - k$ .

Параметрический

Также квартиру можно описать системой линейных параметрические уравнения. Линию можно описать уравнениями с одним параметр:

{displaystyle x = 2 + 3t, ​​;;;; y = -1 + t ;;;; z = {frac {3} {2}} - 4t}

в то время как описание самолета потребует двух параметров:

{displaystyle x = 5 + 2t_ {1} -3t_ {2}, ;;;; y = -4 + t_ {1} + 2t_ {2} ;;;; z = 5t_ {1} -3t_ {2}. ,!}

В общем, параметризация квартиры размерности $k$ потребуются параметры $т 1, \dots , т k$ .

Работа и отношения по квартирам

Пересекающиеся, параллельные и наклонные плоскости

An пересечение квартир - это либо квартира, либо пустой набор.^[2]

Если каждая линия из одной квартиры параллельна некоторой линии из другой квартиры, то эти две квартиры параллельно. Две параллельные плоскости одного размера либо совпадают, либо не пересекаются; их можно описать двумя системами линейных уравнений, различающихся только своими правыми частями.

Если квартиры не пересекаются, и никакая линия от первой квартиры не параллельна линии от второй квартиры, то это перекос. Это возможно только в том случае, если сумма их размеров меньше габаритов окружающего пространства.

Присоединиться

Для двух квартир размером $k 1$ и $k 2$ существует минимальная квартира, которая их содержит, размерности не более $k 1 + k 2 + 1$ . Если две квартиры пересекаются, то размер вмещающей квартиры равен $k 1 + k 2$ минус размер перекрестка.

Свойства операций

Эти две операции (называемые встреча и присоединиться) составим набор всех квартир в евклидовом $п$ -пространство a решетка и может построить систематические координаты для квартир в любом измерении, что приводит к Координаты Грассмана или дуальные грассмановы координаты. Например, линия в трехмерном пространстве определяется двумя разными точками или двумя разными плоскостями.

Однако решетка всех квартир не является распределительная решетка.Если две строки $ℓ 1$ и $ℓ 2$ пересечься, затем $ℓ 1 \cap ℓ 2$ это точка. Если $п$ точка не лежит в одной плоскости, то $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + п = (ℓ 1 + п) \cap (ℓ 2 + п)$ , оба представляют собой линию. Но когда $ℓ 1$ и $ℓ 2$ параллельны, это распределенность терпит неудачу, давая $п$ слева и третья параллельная линия справа.

Евклидова геометрия

Вышеупомянутые факты не зависят от структуры евклидова пространства (а именно, включая Евклидово расстояние ) и верны в любом аффинное пространство. В евклидовом пространстве:

Есть расстояние между флетом и точкой. (См. Например Расстояние от точки до плоскости и Расстояние от точки до линии.)
Расстояние между двумя квартирами равно 0, если они пересекаются. (См. Например Расстояние между двумя линиями (в одной плоскости) и Наклонные линии # Расстояние.)
Здесь угол между двумя квартирами, который принадлежит интервалу $[0, π / 2]$ между 0 и прямой угол. (См. Например Двугранный угол (между двумя самолетами). Смотрите также Углы между квартирами.)

Смотрите также

Заметки

^ Кроме того, целый $п$ -мерное пространство, будучи подмножеством самого себя, также может рассматриваться как $п$ -габаритная квартира.
^ Можно рассматривать как −1 -плоский.

использованная литература

Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия, стр. 7, Кригер, Нью-Йорк.
Столфи, Хорхе (1991), Ориентированная проективная геометрия, Академическая пресса, ISBN 978-0-12-672025-9
Из оригинала Стэнфорд Кандидат наук. диссертация, Примитивы для вычислительной геометрии, доступно как Отчет об исследовании DEC SRC 36.

внешние ссылки

[1] Кроме того, целый $п$ -мерное пространство, будучи подмножеством самого себя, также может рассматриваться как $п$ -габаритная квартира.

[2] Можно рассматривать как −1 -плоский.

[1]

[2]