Пространство фока - Fock space

В Пространство фока является алгебраический конструкция, используемая в квантовая механика построить квантовые состояния пространство переменной или неизвестное количество одинаковых частицы из одной частицы Гильбертово пространство ЧАС. Он назван в честь В. А. Фок который впервые представил его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung».^[1][2]

Неформально пространство Фока - это сумма набора гильбертовых пространств, представляющих состояния с нулевой частицей, состояния с одной частицей, состояния с двумя частицами и так далее. Если одинаковые частицы бозоны, то п-частичные состояния - это векторы в симметризованный тензорное произведение из п одночастичные гильбертовы пространства ЧАС. Если одинаковые частицы фермионы, то п-частичные состояния - это векторы в антисимметричный тензорное произведение п одночастичные гильбертовы пространства ЧАС. Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация из п-состояния частиц, по одному для каждого п.

Технически пространство Фока - это Гильбертово пространство завершение из прямая сумма симметричных или антисимметричных тензоров в тензорные степени одночастичного гильбертова пространства ЧАС,

${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$

Здесь ${\displaystyle S_{\nu }}$ это оператор который симметризует или антисимметризует тензор, в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частицы, подчиняющиеся бозонный ${\displaystyle (\nu =+)}$ или же фермионный ${\displaystyle (\nu =-)}$ статистика, а верхняя черта представляет заполнение пространства. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока можно также построить как (пополнение гильбертова пространства) симметричные тензоры ${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$ (соотв. переменные тензоры ${\displaystyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$). Для каждой основы для ЧАС есть естественная основа пространства Фока, Фока заявляет.

Определение

Пространство Фока - это (гильбертово) прямая сумма из тензорные произведения копий одночастичного гильбертова пространства ${\displaystyle H}$

${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \ldots }$

Здесь ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то комплексные скаляры, состоит из состояний, не соответствующих никаким частицам, ${\displaystyle H}$ состояния одной частицы, ${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$ состояния двух одинаковых частиц и т. д.

Типичное состояние в ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ дан кем-то

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =a_{0}|0\rangle \oplus a_{1}|\psi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{2i},\psi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

куда

${\displaystyle |0\rangle }$ - вектор длины 1, называемый вакуумным состоянием и ${\displaystyle \,a_{0}\in \mathbb {C} }$ - комплексный коэффициент,

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle \in H}$ является состоянием в одночастичном гильбертовом пространстве, а${\displaystyle \,a_{1}\in \mathbb {C} }$ - комплексный коэффициент,

${\displaystyle |\psi _{2i}\,,\psi _{2j}\rangle _{\nu }={\frac {1}{2}}(|\psi _{2i}\rangle \otimes |\psi _{2j}\rangle +\nu \,|\psi _{2j}\rangle \otimes |\psi _{2i}\rangle )\in S_{\nu }(H\otimes H)}$, и ${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$ комплексный коэффициент

и Т. Д.

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ должно быть гильбертовым пространством. Технически нам требуется ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ быть гильбертовым пополнением алгебраической прямой суммы. Он состоит из всего бесконечного кортежи ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$ так что норма, определяемая внутренним продуктом, конечно

${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$

где ${\displaystyle n}$ норма частицы определяется

${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$

т.е. ограничение норма на тензорном произведении ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

Для двух государств

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =a_{0}|0\rangle \oplus a_{1}|\psi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{2i},\psi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$, и

${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \ldots =b_{0}|0\rangle \oplus b_{1}|\phi _{1}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{2i},\phi _{2j}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

в внутренний продукт на ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ тогда определяется как

${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a_{0}^{*}b_{0}+a_{1}^{*}b_{1}\langle \psi _{1}|\phi _{1}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{2i}|\phi _{2k}\rangle \langle \psi _{2j}|\phi _{2l}\rangle _{\nu }+\ldots }$

где мы используем внутренние продукты на каждом из ${\displaystyle n}$-частичные гильбертовы пространства. Обратите внимание, что, в частности, ${\displaystyle n}$ подпространства частиц ортогональны для различных ${\displaystyle n}$.

Состояния продукта, неразличимые частицы и полезная основа для пространства Фока

А состояние продукта пространства Фока является состоянием вида

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle \cdots |\phi _{n}\rangle }$

который описывает набор ${\displaystyle n}$ частицы, одна из которых имеет квантовое состояние ${\displaystyle \phi _{1}\,}$, еще один ${\displaystyle \phi _{2}\,}$ и так далее до ${\displaystyle n}$^th частица, где каждый ${\displaystyle \phi _{i}\,}$ является любой состояние из одночастичного гильбертова пространства ${\displaystyle H}$. Здесь сопоставление (запись кетов одиночных частиц рядом, без ${\displaystyle \otimes }$) является симметричным (соответственно антисимметричным) умножением в симметричном (антисимметричном) тензорная алгебра. Общее состояние в пространстве Фока - это линейная комбинация состояний продукта. Состояние, которое нельзя записать в виде выпуклой суммы состояний продукта, называется запутанное состояние.

Когда мы говорим о одна частица в состоянии ${\displaystyle \phi _{i}\,}$, необходимо иметь в виду, что в квантовой механике идентичные частицы неотличимый. В одном и том же пространстве Фока все частицы идентичны. (Чтобы описать множество разновидностей частиц, мы берем тензорное произведение столько разных пространств Фока, сколько разновидностей рассматриваемых частиц). Одна из самых мощных черт этого формализма заключается в том, что состояния неявно правильно симметризованы. Например, если указанное выше состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$ фермионный, он будет равен 0, если два (или более) ${\displaystyle \phi _{i}\,}$ равны, поскольку антисимметричные (внешний вид) товар ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$. Это математическая формулировка Принцип исключения Паули что никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда термины в формальном продукте линейно зависимы; для антисимметричных тензоров произведение будет равно нулю. Кроме того, произведение ортонормированных состояний правильно ортонормировано по построению (хотя, возможно, 0 в случае Ферми, когда два состояния равны).

Полезной и удобной основой для пространства Фока является основание количества заполняемости. Учитывая основу ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$ из ${\displaystyle H}$, мы можем обозначить состояние как${\displaystyle n_{0}}$ частицы в состоянии ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$,${\displaystyle n_{1}}$ частицы в состоянии ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, ..., ${\displaystyle n_{k}}$ частицы в состоянии ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$, и никаких частиц в остальных состояниях, определяя

${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$

где каждый ${\displaystyle n_{i}}$ принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2, ... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули могут быть отброшены без изменения состояния. Такое состояние называется Состояние Фока. Когда ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенном количестве. Наиболее общее состояние Фока - это линейная суперпозиция чистых состояний.

Два очень важных оператора: операторы создания и уничтожения, которые при воздействии на состояние Фока добавляют или соответственно удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они обозначаются ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$ для создания и ${\displaystyle a(\phi )\,}$на аннигиляцию соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние ${\displaystyle |\phi \rangle }$ симметрично или внешне - умножается на ${\displaystyle |\phi \rangle }$; и соответственно аннигилировать ("удалить") частицу (четную или нечетную) интерьерный продукт взят с ${\displaystyle \langle \phi |}$, который является сопряженным с ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$. Часто бывает удобно работать с состояниями основы ${\displaystyle H}$ так что эти операторы удаляют и добавляют ровно одну частицу в данном базисном состоянии. Эти операторы также служат генераторами более общих операторов, действующих в пространстве Фока, например оператор числа давая количество частиц в определенном состоянии ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ является ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\,}$.

Интерпретация волновой функции

Часто одночастичное пространство ${\displaystyle H}$ дается как ${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$, пространство квадратично интегрируемые функции на пространстве ${\displaystyle X}$ с мера ${\displaystyle \mu }$ (собственно говоря, классы эквивалентности квадратично интегрируемых функций, где функции эквивалентны, если они различаются на набор нулевой меры ). Типичный пример - это свободная частица с ${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$ пространство квадратично интегрируемых функций на трехмерном пространстве. Тогда пространства Фока имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные квадратично интегрируемые функции следующим образом.

Позволять ${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$ и ${\displaystyle X^{1}=X}$, ${\displaystyle X^{2}=X\times X}$, ${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$ и т.д. Рассмотрим пространство наборов точек, которое является несвязный союз

${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \ldots }$.

Имеет естественную меру ${\displaystyle \mu ^{*}}$ такой, что ${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$ и ограничение ${\displaystyle \mu ^{*}}$ к ${\displaystyle X^{n}}$ является ${\displaystyle \mu ^{n}}$. Ровное пространство Фока ${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))\,}$ можно тогда отождествить с пространством симметрических функций в ${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$ тогда как странное пространство Фока ${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))\,}$ можно отождествить с пространством антисимметричных функций. Идентификация следует непосредственно из изометрический отображение

${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$

${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$.

Заданные волновые функции ${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$, то Определитель Слейтера

${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}(x_{1})&\ldots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &&\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\dots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{matrix}}\right|}$

антисимметричная функция на ${\displaystyle X^{n}}$. Таким образом, его можно естественно интерпретировать как элемент ${\displaystyle n}$-частичный сектор нечетного пространства Фока. Нормализация выбирается такой, что ${\displaystyle \|\Psi \|=1}$ если функции ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$ ортонормированы. Существует аналогичный "перманент Слейтера" с замененным определителем на постоянный который дает элементы ${\displaystyle n}$-сектор четного фоковского пространства.

Связь с пространством Сигала – Баргмана.

Определить Пространство Сегала – Баргмана. Космос ${\displaystyle B_{N}}$^[3] сложных голоморфные функции квадратично интегрируем по Гауссова мера:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})=\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \}}$,

куда

${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} }$.

Затем определяя пространство ${\displaystyle B_{\infty }}$ как вложенное объединение пространств ${\displaystyle B_{N}}$ над целыми числами ${\displaystyle N\geq 0}$, Сегал ^[4] и Баргманн показал ^[5][6] который ${\displaystyle B_{\infty }}$ изоморфно бозонному фоковскому пространству. Моном

${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$

соответствует фоковскому состоянию

${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$

Смотрите также

• Состояние Фока
• Тензорная алгебра
• Голоморфное пространство Фока
• Операторы создания и уничтожения
• Определитель Слейтера
• Теорема Вика
• Некоммутативная геометрия
• Большой канонический ансамбль, тепловое распределение в пространстве Фока

Рекомендации

1. В. Фок, Z. Phys. 75 (1932), 622-647
2. M.C. Рид, Б. Саймон, "Методы современной математической физики, том II", Academic Press, 1975. Стр. 328.
3. Баргманн, В. (1961). «О гильбертовом пространстве аналитических функций и ассоциированном интегральном преобразовании I». Сообщения по чистой и прикладной математике. 14: 187–214. Дои:10.1002 / cpa.3160140303. HDL:10338.dmlcz / 143587.
4. Сегал, И. Э. (1963). «Математические проблемы релятивистской физики». Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, Vol. II. Глава. VI.
5. Баргманн, V (1962). «Замечания о гильбертовом пространстве аналитических функций». Proc. Natl. Акад. Наука. 48 (2): 199–204. Bibcode:1962ПНАС ... 48..199Б. Дои:10.1073 / пнас.48.2.199. ЧВК  220756. PMID  16590920.
6. Stochel, Ежи Б. (1997). «Представление обобщенных операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока» (PDF). Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica. 34: 135–148. Получено 13 декабря 2012.

внешняя ссылка

• Диаграммы Фейнмана и произведения Вика, связанные с q-фоковским пространством - некоммутативный анализ, Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, факультет математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
• Р. Героч, Математическая физика, Издательство Чикагского университета, глава 21.