Операторы создания и уничтожения - Creation and annihilation operators

Операторы создания и уничтожения находятся математические операторы которые имеют широкое применение в квантовая механика, особенно в изучении квантовые гармонические осцилляторы и многочастичные системы.^[1] Оператор аннигиляции (обычно обозначается ${\displaystyle {\hat {a}}}$) снижает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначается ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$) увеличивает количество частиц в данном состоянии на единицу, и это прилегающий оператора аннигиляции. Во многих подполях физика и химия, использование этих операторов вместо волновые функции известен как второе квантование.

Операторы создания и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовая химия и теория многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электрон состояния. Они также могут конкретно относиться к операторы лестницы для квантовый гармонический осциллятор. В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Их можно использовать для представления фононы.

Математика для операторов рождения и уничтожения для бозоны такое же, как и для операторы лестницы из квантовый гармонический осциллятор.^[2] Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равно единице, а все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионы математика другая, включая антикоммутаторы вместо коммутаторов.^[3]

Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора

Смотрите также: Квантовый гармонический осциллятор § Метод лестничного оператора

В контексте квантовый гармонический осциллятор, можно переинтерпретировать операторы лестницы как операторы создания и уничтожения, добавляя или вычитая фиксированные кванты энергии к системе осциллятора.

Операторы создания / уничтожения различны для бозоны (целочисленное вращение) и фермионы (полуцелое вращение). Это потому, что их волновые функции иметь разные свойства симметрии.

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Уравнение Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантовый гармонический осциллятор,

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$

Сделайте замену координат на обезразмерить дифференциальное уравнение

${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$

Уравнение Шредингера для осциллятора принимает вид

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$

Обратите внимание, что количество ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$ та же энергия, что и у света кванты и что скобка в Гамильтониан можно записать как

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию ${\displaystyle f(q),}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$

что означает,

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}$

совпадающее с обычным каноническим коммутационным соотношением ${\displaystyle -i[q,p]=1}$, в пространственном представлении: ${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$.

Следовательно,

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$

и уравнение Шредингера для осциллятора становится, с заменой вышеуказанного и перестановкой множителя 1/2,

${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$

Если определить

${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$

как "оператор создания" или "поднимающий оператор" и

${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}$

как "оператор аннигиляции" или «оператор опускания», уравнение Шредингера для осциллятора сводится к

${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$

Это значительно проще, чем исходная форма. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.

Сдача ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$, где ${\displaystyle p}$ безразмерный оператор импульса надо

${\displaystyle [q,p]=i\,}$

и

${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)}$

${\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).}$

Обратите внимание, что это подразумевает

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])={\frac {-i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$

Операторы ${\displaystyle a\,}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$ может быть противопоставлен нормальные операторы, которые коммутируют со своими соседями.^[4]

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона может быть выражен как

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$

Можно вычислить коммутационные соотношения между ${\displaystyle a\,}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$ операторы и гамильтониан:^[5]

${\displaystyle [{\hat {H}},a]=[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right),a]=\hbar \omega [aa^{\dagger },a]=\hbar \omega (a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger })=-\hbar \omega a.}$

${\displaystyle [{\hat {H}},a^{\dagger }]=\hbar \omega \,a^{\dagger }.}$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.

При условии, что ${\displaystyle \psi _{n}}$ является собственным состоянием гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$. Используя эти коммутационные соотношения, следует, что^[5]

${\displaystyle {\hat {H}}\,a\psi _{n}=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.}$

${\displaystyle {\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.}$

Это показывает, что ${\displaystyle a\psi _{n}}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$ также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$ и ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ соответственно. Это определяет операторов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }}$ как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна ${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$.

Основное состояние может быть найдено, если предположить, что опускающий оператор имеет нетривиальное ядро: ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$ с участием ${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$. Применяя гамильтониан к основному состоянию,

${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$

Так ${\displaystyle \psi _{0}}$ является собственной функцией гамильтониана.

Это дает энергию основного состояния ${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$, что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния ${\displaystyle \psi _{n}}$ так как^[5]

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$

Кроме того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), оператор числа ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$ играет самую важную роль в приложениях, а вторая, ${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$ можно просто заменить на ${\displaystyle N+1}$.

Вследствие этого,

${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$

В оператор эволюции во времени затем

${\displaystyle U(t)=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,}$

${\displaystyle =e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.}$

Явные собственные функции

Основное состояние ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$ из квантовый гармонический осциллятор можно найти, наложив условие, что

${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$

Записанная как дифференциальное уравнение, волновая функция удовлетворяет

${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$

с решением

${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{q^{2} \over 2}\right).}$

Константа нормализации C оказывается${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$ от ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$, с использованием Гауссов интеграл. Явные формулы для всех собственных функций теперь могут быть найдены повторным применением ${\displaystyle a^{\dagger }}$ к ${\displaystyle \psi _{0}}$.^[6]

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид

${\displaystyle a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Их можно получить с помощью соотношений ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}\mid a^{\dagger }\mid \psi _{j}\rangle }$ и ${\displaystyle a_{ij}=\langle \psi _{i}\mid a\mid \psi _{j}\rangle }$. Собственные векторы ${\displaystyle \psi _{i}}$ являются таковыми квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».

Обобщенные операторы создания и уничтожения

Основная статья: CCR и CAR алгебры

Выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения. Более абстрактная форма операторов строится следующим образом. Позволять ${\displaystyle H}$ быть одночастичным Гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы).

(бозонный ) CCR алгебра над ${\displaystyle H}$ - алгебра с оператором сопряжения (называемая *) абстрактно порождается элементами ${\displaystyle a(f)}$, где ${\displaystyle f\,}$свободно колеблется над ${\displaystyle H}$, при условии отношений

${\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0}$

${\displaystyle [a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,}$

в обозначение бюстгальтера.

Карта ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ от ${\displaystyle H}$ к бозонной CCR алгебре требуется комплексная антилинейный (это добавляет больше отношений). это прилегающий является ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$, и карта ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ является сложный линейный в ЧАС. Таким образом ${\displaystyle H}$ вкладывается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент ${\displaystyle a(f)}$ будет реализован как оператор аннигиляции, а ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ в качестве оператора создания.

В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C * алгебра. Алгебра CCR над ${\displaystyle H}$ тесно связан, но не идентичен Алгебра Вейля.

Для фермионов (фермионная) CAR алгебра над ${\displaystyle H}$ построен аналогично, но с использованием антикоммутатор отношения вместо этого, а именно

${\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0}$

${\displaystyle \{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .}$

Алгебра CAR конечномерна, только если ${\displaystyle H}$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет ${\displaystyle C^{*}}$ алгебра. Алгебра CAR тесно связана, но не идентична Алгебра Клиффорда.

Физически говоря, ${\displaystyle a(f)}$ удаляет (т. е. аннигилирует) частицу в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ в то время как ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ создает частицу в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

В свободное поле состояние вакуума это состояние | 0 ${\displaystyle \scriptstyle \rangle }$ без частиц, характеризуется

${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$

Если ${\displaystyle |f\rangle }$ нормализовано так, чтобы ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$, тогда ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ дает количество частиц в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии

Описание операторов аннигиляции и рождения также было полезно для анализа классических уравнений реакции диффузии, таких как ситуация, когда газ из молекул ${\displaystyle A}$ диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: ${\displaystyle A+A\to \emptyset }$. Чтобы увидеть, как такая реакция может быть описана формализмом операторов уничтожения и созидания, рассмотрим ${\displaystyle n_{i}}$ частицы на сайте я на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с определенной другой вероятностью.

Вероятность того, что одна частица покинет объект за короткий промежуток времени dt пропорционально ${\displaystyle n_{i}\,dt}$, скажем вероятность ${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$ прыгнуть влево и ${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$ прыгать прямо. Все ${\displaystyle n_{i}}$ частицы останутся на месте с вероятностью ${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$. (Поскольку dt настолько мал, что вероятность того, что двое или более человек уйдут во время dt очень маленький и будет проигнорирован.)

Теперь мы можем описать заполнение решеткой частицами как `` кет '' вида

${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний. ${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$, ${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$ расположены на отдельных участках решетки. Отзыв

${\displaystyle a\mid \!n\rangle ={\sqrt {n}}\ |n-1\rangle }$

${\displaystyle a^{\dagger }}$и

${\displaystyle a^{\dagger }\mid \!n\rangle ={\sqrt {n+1}}\mid \!n+1\rangle ,}$

для всех п ≥ 0, а

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}$

Это определение операторов теперь будет изменено с учетом «неквантовой» природы этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение:

${\displaystyle a\mid \!n\rangle =n\ |n-1\rangle }$

${\displaystyle a^{\dagger }\mid \!n\rangle =\ \mid n+1\rangle }$

обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются соотношению коммутации

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}$

Теперь определим ${\displaystyle a_{i}}$ так что это применимо ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$. Соответственно определим ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ как применение ${\displaystyle a^{\dagger }}$ к ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$. Так, например, чистый эффект от ${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$ это переместить частицу из ${\displaystyle (i-1)^{\text{th}}}$ к ${\displaystyle i^{\text{th}}}$сайт при умножении на соответствующий коэффициент.

Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как

${\displaystyle \partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i})\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger })(a_{i}-a_{i-1})\mid \!\psi \rangle ,}$

где сумма закончилась ${\displaystyle i}$.

Срок реакции можно вывести, отметив, что ${\displaystyle n}$ частицы могут взаимодействовать в ${\displaystyle n(n-1)}$ разными способами, так что вероятность того, что пара аннигилирует, равна ${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$, давая срок

${\displaystyle \lambda \sum (a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$

где число состояние п заменяется состоянием числа п - 2 на объекте ${\displaystyle i}$ с определенной скоростью.

Таким образом, государство развивается

${\displaystyle \partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger })(a_{i}-a_{i-1})\mid \!\psi \rangle +\lambda \sum (a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2})\mid \!\psi \rangle }$

Аналогичным образом можно включить и другие виды взаимодействия.

Такой вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля для анализа реакционно-диффузионных систем.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

Основные статьи: Второе квантование и Квантовая теория поля § Второе квантование

В квантовые теории поля и проблемы с телом один работает с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний, ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$. Эти операторы изменяют собственные значения оператора оператор числа,

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

по одному, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ${\displaystyle i}$) представлять квантовые числа которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, кортеж квантовых чисел ${\displaystyle (n,l,m,s)}$ используется для обозначения состояний в атом водорода.

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в многоуровневомбозон система,

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

где ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ это коммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера.

Для фермионы, коммутатор заменяется на антикоммутатор ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$,

${\displaystyle \{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.}$

Следовательно, замена непересекающихся (т.е. ${\displaystyle i\neq j}$) в продукте операторов рождения или уничтожения будут менять знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Если состояния, помеченные я являются ортонормированным базисом гильбертова пространства ЧАС, то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация будет более тонкой.

Нормализация

Пока Зи^[7] получает импульсное пространство нормализация ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ через симметричное соглашение для преобразований Фурье, Тонг^[8] и Пескин и Шредер^[9] используйте общее асимметричное соглашение, чтобы получить ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$. Каждый выводит ${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$.

Средницки дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру в свою асимметричную меру Фурье, ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$, уступая ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$.^[10]

Смотрите также

• Пространство Сегала – Баргмана.
• Боголюбовские преобразования - возникает в теории квантовой оптики.
• Оптическое фазовое пространство
• Пространство фока
• Канонические коммутационные соотношения

использованная литература

• Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: цикл лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-36076-9.
• Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (Vol. I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, John Wiley & Sons. Гл. XII. онлайн

Сноски

1. (Фейнман 1998, п. 151)
2. (Фейнман 1998, п. 167)
3. (Фейнман 1998, стр. 174–5).
4. Нормальный оператор имеет представление А= B + i C, где ДО Н.Э самосопряжены и ездить, т.е. ${\displaystyle BC=CB}$. Напротив, а имеет представление ${\displaystyle a=q+ip}$ где ${\displaystyle p,q}$ самосопряженные, но ${\displaystyle [p,q]=1}$. потом B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как п и q как известно, нет и не делают.
5. Брэнсон, Джим. "Квантовая физика в Калифорнийском университете". Получено 16 мая 2012.
6. Этот и дальнейший операторный формализм можно найти у Глимма и Яффе, Квантовая физикаС. 12–20.
7. Зи, А. (2003). Кратко о квантовой теории поля. Издательство Принстонского университета. п. 63. ISBN  978-0691010199.
8. Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля. п. 24,31. Получено 3 декабря 2019.
9. Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. ISBN  978-0-201-50397-5.
10. Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. С. 39, 41. ISBN  978-0521-8644-97. Получено 3 декабря 2019.