Лемма Гаусса (риманова геометрия) - Gausss lemma (Riemannian geometry) - Wikipedia

В Риманова геометрия, Лемма Гаусса утверждает, что любой достаточно малый сфера с центром в точке Риманово многообразие перпендикулярно каждому геодезический через точку. Более формально, пусть M быть Риманово многообразие, оборудованный своим Леви-Чивита связь, и п точка M. В экспоненциальная карта отображение из касательное пространство в п к M:

который является диффеоморфизм в окрестности нуля. Лемма Гаусса утверждает, что образ сфера достаточно малого радиуса в ТпM под экспоненциальным отображением перпендикулярно всем геодезические происходящий из п. Лемма позволяет понимать экспоненциальное отображение как радиальное изометрия, и имеет фундаментальное значение при изучении геодезических выпуклость и нормальные координаты.

Вступление

Определим экспоненциальное отображение при к

куда уникальный геодезический с и касательная и выбирается достаточно малым, чтобы для каждого геодезический определено в 1. Итак, если полна, то Теорема Хопфа – Ринова., определена на всем касательном пространстве.

Позволять - кривая, дифференцируемая в такой, что и . С , ясно, что мы можем выбрать . В этом случае по определению дифференциала экспоненты по применяется над , мы получаем:

Итак (с правильной идентификацией ) дифференциал это личность. По теореме о неявной функции является диффеоморфизмом в окрестности точки . Лемма Гаусса теперь говорит, что также является радиальной изометрией.

Экспоненциальное отображение - это радиальная изометрия

Позволять . Далее мы производим отождествление .

Лемма Гаусса утверждает: Позволять и . Потом,

За , эта лемма означает, что является радиальной изометрией в следующем смысле: пусть , т.е. такие, что хорошо определено. И разреши . Тогда экспоненциальная остается изометрией в , и, в более общем смысле, по всей геодезической (поскольку хорошо определено)! Затем радиально во всех направлениях, разрешенных областью определения , это остается изометрией.

Экспоненциальное отображение как радиальная изометрия

Доказательство

Напомним, что


Мы выполняем три шага:

  • : построим кривую

такой, что и . С , мы можем положить . Следовательно,

куда является параллельным транспортным оператором и . Последнее равенство верно, потому что геодезическая, поэтому параллельно.

Теперь вычислим скалярное произведение .

Мы разделяем в компонент параллельно и компонент нормально к . В частности, положим , .

Предыдущий шаг напрямую подразумевает:

Следовательно, мы должны показать, что второй член равен нулю, потому что, согласно лемме Гаусса, мы должны иметь:

  •  :
Кривая, выбранная для доказательства леммы

Определим кривую

Обратите внимание, что

Положим:

и рассчитываем:

и

Следовательно

Теперь мы можем проверить, что это скалярное произведение действительно не зависит от переменной , и поэтому, например:

потому что, согласно тому, что было сказано выше:

учитывая, что дифференциал является линейным отображением. Таким образом, это доказывает лемму.

  • Мы проверяем, что : это прямой расчет. Поскольку карты геодезические,

Поскольку карты геодезические, функция постоянно. Таким образом,

Смотрите также

Рекомендации

  • ду Карму, Манфреду (1992), Риманова геометрия, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3490-2