Голономная основа - Holonomic basis - Wikipedia

В математика и математическая физика, а координатная база или же голономный базис для дифференцируемое многообразие M это набор основа векторные поля {е₁, ..., е_п} определяется в каждой точке п из область, край многообразия как

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

куда δs - бесконечно малый вектор смещения между точкой п и ближайшая точкаQ чьи координаты отделены от п является δx^α вдоль координатной кривой Икс^α (т.е. кривая на многообразии через п для чего местная координата Икс^α меняется, а все остальные координаты постоянны).^[1]

Можно установить связь между таким базисом и операторами производной по направлению. Учитывая параметризованную кривую C на многообразии, определяемом Икс^α(λ) с касательным вектором ты = ты^αе_α, куда ты^α = dx^α/dλ, а функция ж(Икс^α) определен в окрестности C, вариация ж вдоль C можно записать как

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}$

Поскольку у нас есть это ты = ты^αе_α, идентификация часто производится между базисным вектором координат е_α и оператор частной производной ∂/∂Икс^α, при интерпретации векторов как операторов, действующих на скалярные величины.^[2]

Местное состояние за основу {е₁, ..., е_п} быть голономным - значит все взаимное Производные Ли исчезнуть:^[3]

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.}$

Базис, не являющийся голономным, называется неголономным или некоординатным.

Учитывая метрический тензор грамм на коллекторе M, в общем случае невозможно найти координатный базис, ортонормированный в любой открытой области U из M.^[4] Очевидное исключение - когда M это настоящий координатное пространство р^п рассматривается как многообразие с грамм евклидова метрика δ_ijе^я ⊗ е^j в каждой точке.

Рекомендации

1. М. П. Хобсон; Г. П. Эфстатиу; А. Н. Ласенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков, Издательство Кембриджского университета, п. 57
2. Т. Падманабхан (2010), Гравитация: основы и границы, Издательство Кембриджского университета, п. 25
3. Роджер Пенроуз; Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля, Издательство Кембриджского университета, стр. 197–199
4. Бернард Ф. Шютц (1980), Геометрические методы математической физики, Издательство Кембриджского университета, стр. 47–49, ISBN  9780521298872

Смотрите также

• Жиклерный пучок
• Тетрадный формализм
• Исчисление Риччи