Пакет струйных - Jet bundle

В дифференциальная топология, то связка струй это определенная конструкция, которая создает новый гладкий пучок волокон из заданного гладкого пучка волокон. Это позволяет писать дифференциальные уравнения на разделы расслоения в инвариантном виде. Струи также можно рассматривать как свободные от координат версии Разложения Тейлора.

Исторически связки струй относят к Чарльз Эресманн, и были продвижением по методу (продление ) из Эли Картан, сделки геометрически с высшие производные, навязывая дифференциальная форма условия на вновь введенные формальные переменные. Пучки струй иногда называют спреи, несмотря на то что спреи обычно относятся к связанным векторное поле на соответствующем расслоении (например, геодезический спрей на Финслеровы многообразия.)

С начала 1980-х годов струйные пучки появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными карт, особенно тех, которые связаны с вариационное исчисление.^[1] Следовательно, струйный пучок теперь распознается как правильный домен для геометрическая ковариантная теория поля и большая работа сделана в общерелятивистский формулировки полей с использованием этого подхода.

Струи

Основная статья: Джет (математика)

Предполагать M является м-размерный многообразие и что (E, π, M) это пучок волокон. За п ∈ M, обозначим через Γ (p) множество всех локальных сечений, область определения которых содержит п. Позволять ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$ быть мультииндекс (ан м-набор целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), затем определите:

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

Определим локальные сечения σ, η ∈ Γ (p) так, чтобы они имели одинаковые р-джет в п если

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

Отношение, что две карты имеют одинаковые р-джет - это отношение эквивалентности. An р-джет - это класс эквивалентности при этом соотношении, а р-джет с представителем σ обозначается ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$. Целое число р также называется порядок струи, п это его источник и σ (п) это его цель.

Струйные коллекторы

В р-го струйного многообразия π это набор

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

Мы можем определять прогнозы π_р и π_р,0 называется исходные и целевые прогнозы соответственно,

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

Если 1 ≤ k ≤ р, то k-реактивная проекция это функция π_{г, к} определяется

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

Из этого определения ясно, что π_р = π о π_р,0 и что если 0 ≤ м ≤ k, тогда π_{г, м} = π_{k, м} о π_{г, к}. Принято считать π_{г, г} как карта идентичности на J^р(π) и идентифицировать J ⁰(π) с E.

Функции π_{г, к}, π_р,0 и π_р находятся гладкий сюръективный погружения.

А система координат на E сгенерирует систему координат на J^р(π). Позволять (U, ты) быть адаптированным карта координат на E, куда ты = (Икс^я, ты^α). В индуцированная координатная карта (U^р, ты^р) на J^р(π) определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$ функции, известные как производные координаты:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

Учитывая атлас адаптированных карт (U, ты) на E, соответствующий набор графиков (U^р, ты^р) это конечномерный C^∞ атлас на J^р(π).

Жиклеры

Поскольку атлас на каждом J^р(π) определяет многообразие, тройки (J^р(π), π_{г, к}, Дж^k(π)), (J^р(π), π_{г, 0}, E) и (J^р(π), π_р, М) все определяют расслоенные многообразия. В частности, если (E, π, M) расслоение, тройка (J^р(π), π_р, М) определяет р-й струйный пучок π.

Если W ⊂ M - открытое подмногообразие, то

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

Если п ∈ M, то волокно ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ обозначается ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$.

Пусть σ - локальное сечение π с областью определения W ⊂ M. В р-я струя продолжения σ это карта j^рσ: W → J^р(π) определяется

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

Отметим, что π_р о j^рσ = id_W, так j^рσ действительно раздел. В местных координатах j^рσ дан кем-то

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{|I|}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

Мы идентифицируем j⁰σ с σ.

Алгебро-геометрическая перспектива

Самостоятельно мотивированное построение связки секций ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$ дано.

Рассмотрим диагональное отображение ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$, где гладкое многообразие ${\displaystyle M}$ это локально окольцованное пространство к ${\displaystyle C^{k}(U)}$ для каждого открытого ${\displaystyle U}$. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ быть идеальным пучком ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$, эквивалентно пусть ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ быть пучок гладкой микробы которые исчезают на ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ для всех ${\displaystyle 0<n\leq k}$. В откат из частный пучок ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$ из ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ к ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle \Delta _{n}}$ - пучок k-струй.^[2]

В прямой предел последовательности инъекций, даваемых каноническими включениями ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ пучков, порождает бесконечная струйная связка ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$. Заметим, что по построению прямого предела это фильтрованное кольцо.

Пример

Если π - тривиальная связка (M × р, пр₁, M), то существует каноническая диффеоморфизм между первой струйной связкой J¹(π) и Т * М × р. Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ из Γ_M(π) написать ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$.

Затем, когда п ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

Следовательно, отображение

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

четко определен и ясно инъективный. Запись в координатах показывает, что это диффеоморфизм, потому что если (Икс^я, u) координаты на M × р, куда ты = id_р - единичная координата, то производные координаты ты_я на J¹(π) соответствуют координатам ∂_я на Т * М.

Аналогично, если π - тривиальное расслоение (р × M, пр₁, р), то существует канонический диффеоморфизм между J¹(π) и р × TM.

Структура контактов

Космос J^р(π) имеет естественный распределение, то есть подгруппа касательный пучок TJ^р(π)), называемый Распределение Картана. Распределение Картана натянуто на все касательные плоскости к графам голономных сечений; то есть разделы формы j^рφ за φ сечение π.

Аннигилятор распределения Картана - это пространство дифференциальные одноформы называется контактные формы, на J^р(π). Пространство дифференциальных одноформ на J^р(π) обозначается через ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ а пространство контактных форм обозначается ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$. Единая форма - это контактная форма, если ее откат вдоль каждого продолжения равен нулю. Другими словами, ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$ является контактной формой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

для всех локальных сечений σ множества π над M.

Распределение Картана является основной геометрической структурой на пространствах струй и играет важную роль в геометрической теории уравнения в частных производных. Распределения Картана полностью не интегрируемы. В частности, они не инволютивный. Размерность распределения Картана растет с порядком пространства струи. Однако в пространстве бесконечных струй J^∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M.

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M), куда E ≃ р² и M ≃ р. Потом, (J¹(π), π, M) определяет первую связку струй и может координироваться (х, и, и₁), куда

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

для всех п ∈ M и σ в Γ_п(π). Общая 1-форма на J¹(π) принимает форму

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

Сечение σ в Γ_п(π) имеет первое продолжение

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

Следовательно, (j¹σ) * θ можно рассчитать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

Это исчезнет для всех сечений σ тогда и только тогда, когда c = 0 и а = −bσ ′ (х). Следовательно, θ = б (х, и, и₁) θ₀ обязательно должно быть кратно основной контактной форме θ₀ = ду − ты₁dx. Переход ко второму реактивному пространству J²(π) с дополнительной координатой ты₂, так что

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

общая 1-форма имеет конструкцию

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

Это контактная форма тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

откуда следует, что е = 0 и а = −bσ ′ (х) − cσ ′ ′ (х). Следовательно, θ является контактной формой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

где θ₁ = ду₁ − ты₂dx следующая основная контактная форма (обратите внимание, что здесь мы идентифицируем форму θ₀ с его откатом ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$ к J²(π)).

В целом предоставление х, ты ∈ р, контактная форма на J^{г + 1}(π) можно записать как линейная комбинация основных контактных форм

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

куда

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

Подобные аргументы приводят к полной характеристике всех контактных форм.

В локальных координатах каждый контакт имеет одну форму на J^{г + 1}(π) можно записать как линейную комбинацию

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

с гладкими коэффициентами ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$ основных контактных форм

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

| I | известен как порядок контактной формы ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$. Обратите внимание, что контактные формы на J^{г + 1}(π) иметь заказы самое большее р. Контактные формы дают характеристику этих локальных разделов π_{г + 1} которые являются продолжением сечений π.

Пусть ψ ∈ Γ_W(π_{г + 1}), тогда ψ = j^{г + 1}σ, где σ ∈ Γ_W(π) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

Векторные поля

Генерал векторное поле на общей площади E, координируется ${\displaystyle (x,u)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$, является

${\displaystyle V\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

Векторное поле называется горизонтальный, что означает, что все вертикальные коэффициенты обращаются в нуль, если ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$ = 0.

Векторное поле называется вертикальный, что означает, что все горизонтальные коэффициенты обращаются в нуль, если ρ^я = 0.

Для фиксированных (х, и), мы идентифицируем

${\displaystyle V_{(x,u)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

имея координаты (x, u, ρ^я, φ^α), с элементом в волокне Т_xuE из TE над (х, и) в E, называется а касательный вектор в TE. Секция

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

называется векторное поле на E с

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

и ψ в Γ (TE).

Пучок струи J^р(π) координируется ${\displaystyle (x,u,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha })\,}$. Для фиксированных (х, и, ш), идентифицировать

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

имея координаты

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

с элементом в волокне ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$ из TJ^р(π) над (х, и, ш) ∈ J^р(π), называется касательный вектор в TJ^р(π). Здесь,

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

являются действительными функциями на J^р(π). Секция

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

является векторное поле на J^р(π), и мы говорим ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T(J^{r}\pi )).}$

Уравнения с частными производными

Позволять (E, π, M) расслоение волокон. An р-й порядок уравнение в частных производных на π является закрыто встроенный подмногообразие S струйного коллектора J^р(π). Решение - это локальное сечение σ ∈ Γ_W(π) удовлетворяющая ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$, для всех п в M.

Рассмотрим пример дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

Пример

Пусть π - тривиальное расслоение (р² × р, пр₁, р²) с глобальными координатами (Икс¹, Икс², ты¹). Тогда карта F : J¹(π) → р определяется

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

приводит к дифференциальному уравнению

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

что можно написать

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

Особый

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

имеет первое продление, данное

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

и является решением этого дифференциального уравнения, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

и так ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$ за каждый п ∈ р².

Продление струи

Локальный диффеоморфизм ψ : J^р(π) → J^р(π) определяет контактное преобразование порядка р если он сохраняет контактный идеал, что означает, что если θ - любая контактная форма на J^р(π), тогда ψ * θ также является контактной формой.

Поток, создаваемый векторным полем V^р на реактивном пространстве J^р(π) образует однопараметрическую группу контактных преобразований тогда и только тогда, когда Производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$ любой контактной формы θ сохраняет контактный идеал.

Начнем со случая первого порядка. Рассмотрим общее векторное поле V¹ на J¹(π), заданный

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

Теперь мы применяем ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ к основным контактным формам ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$ и расширить внешняя производная функций в терминах их координат, чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

Следовательно, V¹ определяет контактное преобразование тогда и только тогда, когда коэффициенты dx^я и ${\displaystyle du_{i}^{k}}$ в формуле исчезают. Последние требования подразумевают условия контакта

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

Первые требования предусматривают явные формулы для коэффициентов при первых производных членах в V¹:

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

куда

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

означает обрезание нулевого порядка полной производной D_я.

Таким образом, условия контакта однозначно предписывают продолжение любого точечного или контактного векторного поля. То есть, если ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$ удовлетворяет этим уравнениям, V^р называется р-е продолжение V в векторное поле на J^р(π).

Эти результаты лучше всего понять на конкретном примере. Поэтому рассмотрим следующее.

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M), куда E ≅ р² и M ≃ р. Потом, (J¹(π), π, E) определяет первую связку струй и может координироваться (х, и, и₁), куда

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

для всех п ∈ M и σ в Γ_п(π). Контактная форма на J¹(π) имеет форму

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

Рассмотрим вектор V на E, имеющий вид

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Тогда первое продолжение этого векторного поля до J¹(π) является

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

Если мы теперь возьмем производную Ли контактной формы по этому продолженному векторному полю, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$ мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

Следовательно, для сохранения контактного идеала нам потребуется

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

Итак, первое продолжение V в векторное поле на J¹(π) является

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

Вычислим также второе продолжение V в векторное поле на J²(π). У нас есть ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$ как координаты на J²(π). Следовательно, удлиненный вектор имеет вид

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Контактные формы

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

Для сохранения идеального контакта нам потребуется

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})=0\end{aligned}}}$

Сейчас же, θ не имеет ты₂ зависимость. Следовательно, из этого уравнения мы возьмем формулу для ρ, что обязательно будет тем же результатом, что и для V¹. Следовательно, задача аналогична продолжению векторного поля V¹ к J²(π). То есть мы можем генерировать р-е продолжение векторного поля путем рекурсивного применения производной Ли контактных форм по продолженным векторным полям, р раз. Итак, у нас есть

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

и так

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

Следовательно, производная Ли второй контактной формы по V² является

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

Следовательно, для ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$ для сохранения идеального контакта нам требуется

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

Итак, второе продолжение V в векторное поле на J²(π) есть

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Отметим, что первое продолжение V можно восстановить, опустив вторую производную в V², или проецируя обратно на J¹(π).

Бесконечные реактивные пространства

В обратный предел последовательности проекций ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ дает начало бесконечное реактивное пространство J^∞(π). Точка ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ - класс эквивалентности сечений π, имеющих одинаковые k-джет в п как σ для всех значений k. Естественная проекция π_∞ карты ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ в п.

Просто думая о координатах, J^∞(π) кажется бесконечномерным геометрическим объектом. Фактически, простейший способ ввести дифференцируемую структуру на J^∞(π), не опираясь на дифференцируемые диаграммы, задается дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами. Двойственный к последовательности проекций ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ многообразий - это последовательность инъекций ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$ коммутативных алгебр. Обозначим ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ просто ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$. Возьмите сейчас прямой предел ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$с. Это будет коммутативная алгебра, которую можно считать алгеброй гладких функций над геометрическим объектом. J^∞(π). Заметьте, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$, рожденный как прямой предел, несет дополнительную структуру: это фильтрованная коммутативная алгебра.

Грубо говоря, конкретный элемент ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ всегда будет принадлежать некоторым ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$, так что это гладкая функция на конечномерном многообразии J^k(π) в обычном смысле.

Бесконечно пролонгированные PDE

Учитывая kсистема PDE-го порядка E ⊆ J^k(π), Коллекция I (E) исчезновения на E гладкие функции на J^∞(π) является идеальный в алгебре ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$, а значит, в прямом пределе ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ тоже.

Усиливать I (E) добавив все возможные композиции общие производные применяется ко всем его элементам. Таким образом мы получаем новый идеал я из ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ которое теперь закрывается при операции взятия полной производной. Подмногообразие E_(∞) из J^∞(π) вырезано я называется бесконечное продление из E.

Геометрически, E_(∞) это многообразие формальные решения из E. Точка ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ из E_(∞) легко увидеть, что его можно представить в виде сечения σ, kГрафик -джета касается E в момент ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$ со сколь угодно высоким порядком касания.

Аналитически, если E задается формулой φ = 0, формальное решение можно понимать как набор коэффициентов Тейлора сечения σ в точке п что заставляет исчезнуть Серия Тейлор из ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$ в момент п.

Самое главное, закрывающие свойства я подразумевают, что E_(∞) касается структура контактов бесконечного порядка ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ на J^∞(π), так что ограничивая ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ к E_(∞) каждый получает распущенность ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$, и может изучить связанные Виноградовская (C-спектральная) последовательность.

Замечание

В этой статье определены струи локальных секций пучка, но можно определить струи функций. f: M → N, куда M и N многообразия; струя ж то как раз соответствует струе сечения

гр_ж: M → M × N

гр_ж(п) = (p, f (p))

(гр_ж известен как график функции ж) тривиального расслоения (M × N, π₁, M). Однако это ограничение не упрощает теорию, поскольку глобальная тривиальность π не влечет за собой глобальную тривиальность π₁.

Смотрите также

• Джет группа
• Джет (математика)
• Лагранжева система
• Вариационный бикомплекс

Рекомендации

1. Крупка, Деметра (2015). Введение в глобальную вариационную геометрию. Атлантис Пресс. ISBN  978-94-6239-073-7.
2. Вакил, Рави (25 августа 1998 г.). «Руководство для начинающих по струйным пучкам с точки зрения алгебраической геометрии» (PDF). Получено 25 июня, 2017.

дальнейшее чтение

• Эресманн, К., "Введение в теорию бесконечных симметричных структур и псевдогруппы Ли". Geometrie Differentielle, Коллок. Интер. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Страсбург, 1953, 97–127.
• Коларж И., Михор П., Словак Й., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN  3-540-56235-4, ISBN  0-387-56235-4.
• Сондерс, Д. Дж., "Геометрия струйных пучков", Cambridge University Press, 1989, ISBN  0-521-36948-7
• Красильщик И. С., Виноградов А. М. [и др.] "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN  0-8218-0958-X.
• Олвер, П. Дж., "Эквивалентность, инварианты и симметрия", Cambridge University Press, 1995, ISBN  0-521-47811-1
• Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., "Передовая классическая теория поля", World Scientific, 2009, ISBN  978-981-283-895-7
• Сарданашвили, Г., Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория », Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN  978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886