Исчисление Риччи - Ricci calculus

«Нотация тензорного индекса» перенаправляется сюда. Общие сведения о тензорах см. Глоссарий тензорной теории.

В математика, Исчисление Риччи представляет собой правила индексной записи и манипуляции для тензоры и тензорные поля в Риманово многообразие^[а].^[1][2][3] Это также современное название того, что раньше называлось абсолютное дифференциальное исчисление (фундамент тензорное исчисление ), разработан Грегорио Риччи-Курбастро в 1887–1896 гг. и впоследствии популяризирован в статье, написанной вместе со своим учеником Туллио Леви-Чивита в 1900 г.^[4] Ян Арнольдус Схоутен разработал современные обозначения и формализм для этой математической основы и внес вклад в теорию во время ее приложений к общая теория относительности и дифференциальная геометрия в начале ХХ века.^[5]

Компонентой тензора является настоящий номер который используется как коэффициент базисного элемента для тензорного пространства. Тензор - это сумма его компонентов, умноженная на соответствующие им базисные элементы. Тензорные и тензорные поля могут быть выражены через их компоненты, а операции над тензорами и тензорными полями могут быть выражены через операции над их компонентами. Описание тензорных полей и операций над ними в терминах их компонентов является основной темой исчисления Риччи. Эта запись позволяет эффективно выражать такие тензорные поля и операции. Хотя большая часть обозначений может применяться к любым тензорам, операции, относящиеся к дифференциальная структура применимы только к тензорным полям. При необходимости обозначение распространяется на компоненты нетензоров, в частности многомерные массивы.

Тензор можно выразить как линейную сумму тензорное произведение из вектор и ковектор основные элементы. Полученные компоненты тензора помечаются индексами базиса. Каждый индекс имеет одно возможное значение на измерение лежащих в основе векторное пространство. Количество индексов равно степени (или порядку) тензора.

Для компактности и удобства соглашение об обозначениях подразумевает суммирование по индексам, повторяющимся в члене, и универсальная количественная оценка над бесплатными индексами. Выражения в обозначениях исчисления Риччи обычно можно интерпретировать как совокупность одновременных уравнений, связывающих компоненты как функции на многообразии, обычно более конкретно как функции координат на многообразии. Это позволяет интуитивно манипулировать выражениями при знакомстве только с ограниченным набором правил.

Обозначения для индексов

Смотрите также: Обозначение индекса

Базовые различия

Координаты пространства и времени

Если в четырехмерном пространстве-времени классической физики должно проводиться различие между пространственно-подобными базисными элементами и временноподобным элементом, это обычно делается с помощью следующих индексов:^[6]

• Строчные Латинский алфавит а, б, c, ... используется для обозначения ограничения трехмерным Евклидово пространство, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов; и времяподобный элемент, обозначенный 0, показан отдельно.
• Строчные Греческий алфавит α, β, γ, ... используется для 4-х мерного пространство-время, которые обычно принимают значения 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для пространственных компонентов.

В некоторых источниках в качестве значения индекса, соответствующего времени, используется 4 вместо 0; в этой статье используется 0. В противном случае в общих математических контекстах для индексов могут использоваться любые символы, обычно проходящие по всем измерениям векторного пространства.

Обозначение координат и индекса

Автор (ы) обычно поясняет, предназначен ли нижний индекс как указатель или как метка.

Например, в трехмерном евклидовом пространстве и используя Декартовы координаты; то вектор координат А = (А₁, А₂, А₃) = (А_Икс, А_у, А_z) показывает прямое соответствие между индексами 1, 2, 3 и метками х, у, г. В выражении А_я, я интерпретируется как индекс в диапазоне значений 1, 2, 3, в то время как х, у, г индексы - это не индексы переменных, а скорее «имена» компонентов. В контексте пространства-времени значение индекса 0 условно соответствует метке т.

Ссылка на базу

Сами индексы могут быть маркированный с помощью диакритический -подобные символы, такие как шляпа (ˆ), бар (¯), тильда (˜) или простое число (′), как в:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

для обозначения возможно другого основа для этого индекса. Пример есть в Преобразования Лоренца от одного точка зрения в другой, где один кадр может быть без грунтовки, а другой с грунтовкой, как в:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Это не следует путать с обозначение ван дер Вардена за спиноры, который использует шляпы и точки на индексах, чтобы отразить хиральность спинора.

Верхний и нижний индексы

Исчисление Риччи и индексное обозначение в более общем плане различает нижние индексы (нижние индексы) и верхние индексы (верхние индексы); последние нет экспоненты, даже если они могут выглядеть таковыми для читателя, знакомого только с другими частями математики.

В особых случаях (когда метрический тензор всюду равен единичной матрице) можно отказаться от различия между верхними и нижними индексами, и тогда все индексы могут быть записаны в нижней позиции - координатные формулы в линейной алгебре, такие как ${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$ ведь произведение матриц иногда можно понимать как примеры этого - но в целом обозначения требуют, чтобы различие между верхними и нижними индексами соблюдалось и поддерживалось.

Компоненты ковариантного тензора

А нижний индекс (нижний индекс) указывает ковариацию компонентов по отношению к этому индексу:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Контравариантные компоненты тензора

An верхний индекс (верхний индекс) указывает на контравариантность компонентов относительно этого индекса:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Компоненты тензора смешанной дисперсии

Тензор может иметь как верхний, так и нижний индексы:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

Порядок индексов важен, даже если они отличаются друг от друга. Однако, когда понимается, что никакие индексы не будут повышаться или понижаться при сохранении базового символа, ковариантные индексы иногда помещаются ниже контравариантных индексов для удобства записи (например, с обобщенная дельта Кронекера ).

Тип и степень тензора

Количество каждого верхнего и нижнего индексов тензора дает его тип: тензор с п верхний и q нижние индексы относятся к типу (п, q), или быть типом-(п, q) тензор.

Количество индексов тензора, независимо от дисперсии, называется степень тензора (как вариант, его валентность, порядок или же классифицировать, несмотря на то что классифицировать неоднозначно). Таким образом, тензор типа (п, q) имеет степень п + q.

Соглашение о суммировании

Один и тот же символ, встречающийся дважды (один верхний и один нижний) внутри термина, указывает пару индексов, которые суммируются:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

Операция, подразумеваемая таким суммированием, называется тензорное сжатие:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Это суммирование может происходить более одного раза в пределах терма с отдельным символом для каждой пары индексов, например:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Другие комбинации повторяющихся индексов в термине считаются плохо сформированными, например

${\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }$	(оба появления ${\displaystyle \alpha }$ ниже; ${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }}$ было бы хорошо)
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$	(${\displaystyle \gamma }$ встречается дважды как нижний индекс; ${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$ или же ${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$ было бы хорошо).

Причина исключения таких формул состоит в том, что, хотя эти величины могут быть вычислены как массивы чисел, они, как правило, не преобразуются как тензоры при изменении базиса.

Мультииндексная нотация

Если у тензора есть список всех верхних или нижних индексов, одно сокращение должно использовать заглавную букву для списка:^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}}$

куда я = я₁ я₂ ⋅⋅⋅ я_п и J = j₁ j₂ ⋅⋅⋅ j_м.

Последовательное суммирование

Пара вертикальных полос | | вокруг набора все верхних индексов или все нижних индексов, связанных с сокращением с другим набором индексов:^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

означает ограниченную сумму по значениям индексов, где каждый индекс строго меньше следующего. Вертикальные полосы располагаются вокруг верхнего или нижнего набора сокращенных индексов, но не обоих наборов. Обычно при контракте индексов сумма превышает все значения. В этих обозначениях суммирование ограничено для удобства вычислений. Это полезно, когда выражение полностью антисимметричный в каждом из двух наборов индексов, что могло бы произойти с тензорным произведением п-вектор с q-форма. Таким образом можно суммировать более одной группы, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

При использовании многоиндексной записи под блоком индексов ставится нижняя строчка:^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

куда

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Повышение и понижение показателей

Сужая индекс с неособым метрический тензор, то тип тензора можно изменить, преобразовав нижний индекс в верхний или наоборот:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

Базовый символ во многих случаях сохраняется (например, при использовании А куда B появляется здесь), а когда нет двусмысленности, изменение положения индекса может подразумевать эту операцию.

Корреляция между позициями индекса и инвариантностью

В этой таблице показано, как манипулирование ковариантными и контравариантными индексами согласуется с инвариантностью относительно пассивное преобразование между базами, причем компоненты каждого базового набора в терминах другого отражены в первом столбце. Индексы со штрихами относятся к окончательной системе координат после преобразования.^[10]

В Дельта Кронекера используется, см. также ниже.

	Базовое преобразование	Преобразование компонентов	Инвариантность
Ковектор, ковариантный вектор, 1-форма	${\displaystyle e^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}e^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\beta }e^{\beta }}$
Вектор, контравариантный вектор	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}e_{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }=a^{\beta }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e_{\gamma }=a^{\gamma }e_{\gamma }}$

Общие принципы обозначения индексов и операций

Тензоры равны если и только если все соответствующие компоненты равны; например, тензор А равно тензор B если и только если

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

для всех α, β, γ. Следовательно, есть аспекты обозначений, которые полезны для проверки того, что уравнение имеет смысл (аналогичная процедура для размерный анализ ).

Свободные и фиктивные индексы

Индексы, не участвующие в сокращениях, называются бесплатные индексы. Индексы, используемые в сокращениях, называются фиктивные индексы, или же индексы суммирования.

Тензорное уравнение представляет собой множество обыкновенных (действительных) уравнений

Компоненты тензоров (например, А^α, B_β^γ и т. д.) - это просто реальные числа. Поскольку индексы принимают различные целочисленные значения для выбора конкретных компонентов тензоров, одно тензорное уравнение представляет множество обычных уравнений. Если тензорное равенство имеет п свободных индексов, и если размерность основного векторного пространства равна м, равенство представляет м^п уравнения: каждый индекс принимает каждое значение определенного набора значений.

Например, если

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

в четыре измерения (то есть каждый индекс работает от 0 до 3 или от 1 до 4), тогда, поскольку есть три свободных индекса (α, β, δ) всего 4³ = 64 уравнения. Три из них:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Это демонстрирует компактность и эффективность использования индексной нотации: многие уравнения, которые имеют одинаковую структуру, могут быть собраны в одно простое тензорное уравнение.

Индексы - это сменные метки

Замена любого индексного символа на другой оставляет тензорное уравнение без изменений (при условии отсутствия конфликта с другими уже использованными символами). Это может быть полезно при манипулировании индексами, например при использовании нотации индексов для проверки тождества с векторным исчислением или личности Дельта Кронекера и Символ Леви-Чивита (см. также ниже). Пример правильного изменения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

тогда как ошибочное изменение:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

При первой замене λ заменены α и μ заменены γ повсюду, поэтому выражение по-прежнему имеет то же значение. В секунду, λ не полностью заменил α, и μ не полностью заменил γ (кстати, сокращение на γ index стал тензорным произведением), что совершенно несовместимо по причинам, указанным ниже.

Индексы одинаковы во все триместры

Свободные индексы в тензорном выражении всегда появляются в одном и том же (верхнем или нижнем) положении на протяжении каждого члена, а в тензорном уравнении свободные индексы одинаковы с каждой стороны. Фиктивные индексы (которые подразумевают суммирование по этому индексу) не обязательно должны быть одинаковыми, например:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

что касается ошибочного выражения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

Другими словами, неповторяющиеся индексы должны быть одного типа в каждом члене уравнения. В приведенной выше идентичности α, β, δ выстроиться в линию и γ встречается дважды в одном члене из-за сокращения (один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса), и, таким образом, это допустимое выражение. В недопустимом выражении, а β выстраивается, α и δ нет, и γ появляется дважды за один срок (сокращение) и один раз в другом термине, что несовместимо.

Скобки и знаки препинания использовались один раз там, где это подразумевается

При применении правила к ряду индексов (дифференциация, симметризация и т. Д., Показанные далее) скобки или знаки пунктуации, обозначающие правила, отображаются только в одной группе индексов, к которым они применяются.

Если скобки заключают ковариантные индексы - правило распространяется только на все ковариантные индексы, заключенные в скобки, а не к каким-либо контравариантным индексам, которые оказываются между скобками.

Аналогично, если скобки заключают контравариантные индексы - правило распространяется только на все вложенные контравариантные индексы, а не к промежуточным ковариантным индексам.

Симметричные и антисимметричные детали

Симметричный часть тензора

Скобки, ( ), вокруг кратных индексов обозначает симметризованную часть тензора. При симметризации п индексы с использованием σ пробегать перестановки чисел от 1 до п, берется сумма по перестановки этих индексов α_σ(я) за я = 1, 2, 3, …, п, а затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Например, два симметричных индекса означают, что нужно переставить и суммировать два индекса:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

в то время как для трех симметричных индексов необходимо суммировать и переставлять три индекса:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

Симметризация распределительный сверх сложения;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Индексы не являются частью симметризации, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в круглых скобках и между вертикальными полосами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь α и γ индексы симметризованы, β не является.

Антисимметричный или переменная часть тензора

Квадратных скобках, [ ], вокруг нескольких индексов обозначает антисимметризованная часть тензора. За п антисимметричные индексы - сумма по перестановкам этих индексов α_σ(я) умноженный на подпись перестановки sgn (σ) берется, затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

куда δβ1⋅⋅⋅βп
α1⋅⋅⋅αп это обобщенная дельта Кронекера степени 2пс масштабированием, как определено ниже.

Например, два антисимметричных индекса означают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

а три антисимметричных индекса означают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

Что касается более конкретного примера, если F представляет электромагнитный тензор, то уравнение

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

представляет Закон Гаусса для магнетизма и Закон индукции Фарадея.

Как и раньше, антисимметризация является распределительной по сравнению с сложением;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Как и в случае симметризации, индексы не антисимметричны, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в квадратных скобках и между вертикальными чертами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь α и γ индексы антисимметричны, β не является.

Сумма симметричной и антисимметричной частей

Любой тензор можно записать как сумму его симметричной и антисимметричной частей по двум индексам:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

как можно увидеть, добавив приведенные выше выражения для А_{(αβ)γ⋅⋅⋅} и А_{[αβ]γ⋅⋅⋅}. Это справедливо только для двух индексов.

Дифференциация

Смотрите также: Четыре градиента, д'Аламбертиан, и Внутренняя производная

Для компактности производные могут быть обозначены добавлением индексов после запятой или точки с запятой.^[11][12]

Частная производная

Хотя большинство выражений исчисления Риччи действительны для произвольных базисов, выражения, включающие частные производные компонент тензора по координатам, применимы только с координатная база: базис, определяемый дифференцированием по координатам. Координаты обычно обозначаются Икс^μ, но в общем случае не образуют компоненты вектора. В плоском пространстве-времени с линейной координатизацией набор различия в координатах, ΔИкс^μ, можно рассматривать как контравариантный вектор. При тех же ограничениях на пространство и на выбор системы координат частные производные по координатам дают результат, который является эффективно ковариантным. Помимо использования в этом частном случае, частные производные компонентов тензоров полезны при построении ковариантных выражений, хотя и с координатным базисом, если частные производные используются явно, как с ковариантными производными и производными Ли ниже.

Для обозначения частичного дифференцирования компонент тензорного поля по координатной переменной Икс^γ, а запятая помещается перед добавленным нижним индексом координатной переменной.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Это можно повторить (без добавления запятых):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial ^{q-p}}{\partial x^{\alpha _{q}}\cdots \partial x^{\alpha _{p+2}}\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Эти компоненты делают нет преобразовать ковариантно, если дифференцируемое выражение не является скаляром. Эта производная характеризуется правило продукта и производные от координат

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta ^{\alpha }{}_{\gamma },}$

куда δ это Дельта Кронекера.

Ковариантная производная

Чтобы указать ковариантное дифференцирование любого тензорного поля, a точка с запятой ( ; ) помещается перед добавленным нижним (ковариантным) индексом. Менее распространенные альтернативы точке с запятой включают косая черта ( / )^[13] или в трехмерном искривленном пространстве одну вертикальную черту ( | ).^[14]

Для контравариантного вектора его ковариантная производная равна:

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

куда Γ^α_βγ это Символ Кристоффеля второго рода.

Для ковариантного вектора его ковариантная производная:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,.}$

Для произвольного тензора:^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Компоненты этой производной тензорного поля преобразуются ковариантно и, следовательно, образуют другое тензорное поле. Эта производная характеризуется правилом произведения и применяется к метрическому тензору грамм_μν это дает ноль:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\gamma }=0\,.}$

Ковариантная формулировка производная по направлению любого тензорного поля вдоль вектора v^γ может быть выражено как его сокращение с ковариантной производной, например:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Одним из альтернативных обозначений ковариантной производной любого тензора является индексируемый символ набла ∇_β. В случае векторного поля А^α:^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }={\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }.}$

Производная Ли

Производная Ли - еще одна ковариантная производная, но ее не следует путать с ковариантная производная. Он определяется даже в отсутствие метрического тензора. Производная Ли типа (р, s) тензорное поле Т вдоль (потока) контравариантного векторного поля Икс^ρ может быть выражено как^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Эта производная характеризуется правилом произведения и тем фактом, что производная данного контравариантного векторного поля Икс^ρ равно нулю.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\rho }=[X,X]^{\rho }=0\,.}$

Производная Ли типа (р, s) относительный тензор поле Λ веса ш вдоль (потока) контравариантного векторного поля Икс^ρ может быть выражено как^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}\Lambda )^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\\&+\,wX^{\gamma }{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\,.\end{aligned}}}$

Известные тензоры

Дельта Кронекера

Дельта Кронекера похожа на единичная матрица

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }\,\end{aligned}}}$

при умножении и сокращении. Компоненты δ^α
_β одинаковы в любом базисе и образуют инвариантный тензор типа (1, 1), т.е. тождество касательный пучок над отображение идентичности из базовый коллектор, поэтому его след является инвариантом.^[19]Его след - размерность пространства; например, в четырехмерном пространство-время,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

Дельта Кронекера - одна из семейства обобщенных дельт Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера степени 2п может быть определен в терминах дельты Кронекера как (общее определение включает дополнительный множитель п! справа):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]}}$

и действует как антисимметризатор на п индексы:

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Метрический тензор

Метрический тензор грамм_αβ используется для понижения индексов и дает длину любого космический изгиб

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

куда γ есть ли гладкий строго монотонный параметризация пути. Это также дает продолжительность любого своевременный изгиб

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

куда γ - любая гладкая строго монотонная параметризация траектории. Смотрите также линейный элемент.

В обратная матрица грамм^αβ метрического тензора - еще один важный тензор, используемый для повышения индексов:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

Тензор кривизны Римана

Если этот тензор определяется как

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

тогда это коммутатор ковариантной производной с самой собой:^[20][21]

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

так как связь Γ^α_βμ без кручения, что означает, что тензор кручения

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \mu }\,}$

исчезает.

Это можно обобщить, чтобы получить коммутатор для двух ковариантных производных произвольного тензора следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\=-&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\{}+{}&R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

которые часто называют Личности Риччи.^[22]

Смотрите также

• Обозначение абстрактного индекса
• Связь
• Внешняя алгебра
• Дифференциальная форма
• Звездный оператор Ходжа
• Голономная основа
• Метрический тензор
• Графические обозначения Пенроуза
• Исчисление Редже
• Разложение Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Тензорное исчисление
• Тензорное поле

Примечания

1. А повышение и понижение индексов зависит от метрический тензор, то ковариантная производная зависит только от аффинная связь получено из него.

Рекомендации

1. Synge J.L .; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. первое издание Dover Publications 1978 года. С. 6–108.
2. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.
3. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  0-679-77631-1.
4. Риччи, Грегорио; Леви-Чивита, Туллио (Март 1900 г.). "Абсолютные методы расчета и других приложений" [Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения]. Mathematische Annalen (На французском). Springer. 54 (1–2): 125–201. Дои:10.1007 / BF01454201. Получено 19 октября 2019.
5. Схоутен, Ян А. (1924). Р. Курант (ред.). Der Ricci-Kalkül - Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Исчисление Риччи - Введение в новейшие методы и проблемы многомерной дифференциальной геометрии). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 10. Берлин: Springer Verlag.
6. К. Мёллер (1952), Теория относительности, п. 234 - пример вариации: «Греческие индексы от 1 до 3, латинские индексы от 1 до 4»
7. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 67, ISBN  978-1107-602601
8. Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, стр. 91, ISBN  0-7167-0344-0
9. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 67, ISBN  978-1107-602601
10. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 61, 202–203, 232. ISBN  0-7167-0344-0.
11. Дж. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2.
12. Ковариантная производная - Mathworld, Вольфрам
13. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 298, ISBN  978-1107-602601
14. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 510, §21.5. ISBN  0-7167-0344-0.
15. Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 299, ISBN  978-1107-602601
16. Д. МакМахон (2006). Относительность. Демистифицировано. Макгроу Хилл. п. 67. ISBN  0-07-145545-0.
17. Bishop, R.L .; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях, п. 130
18. Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. п. 123.
19. Bishop, R.L .; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях, п. 85
20. Synge J.L .; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. первое издание Dover Publications 1978 года. С. 83, с. 107.
21. П.А.М. Дирак. Общая теория относительности. С. 20–21.
22. Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. п. 84.

Источники

• Бишоп, Р.; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2 / е изд.). Вествью (Персей). ISBN  978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN  1-4020-1015-X.
• Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Дувр. ISBN  978-0-486-65840-7.
• К. Мёллер (1952), Теория относительности (3-е изд.), Oxford University Press
• Synge J.L .; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. первое издание Dover Publications 1978 года. ISBN  978-0-486-63612-2.
• Дж. Р. Тилдесли (1975), Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, Лонгман, ISBN  0-582-44355-5
• Д.К. Кей (1988), Тензорное исчисление, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (США), ISBN  0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-1107-602601