Тетрадный формализм - Tetrad formalism

Эта статья про общие тетрады. Для ортонормированных тетрад см. Поля кадра в общей теории относительности.

В тетрадный формализм это подход к общая теория относительности что обобщает выбор основа для касательный пучок из координатная база к менее ограничительному выбору локального базиса, т.е. локально определенного набора из четырех линейно независимых векторные поля называется тетрада или же Vierbein.^[1] Это частный случай более общей идеи фоновый формализм, который установлен в Риманова геометрия. В нынешней статье часто упоминается общая теория относительности; однако почти все, что в нем говорится, в равной степени применимо к Римановы многообразия в общем и даже спиновые многообразия. Большинство утверждений выполняется просто путем подстановки произвольных ${\displaystyle n}$ за ${\displaystyle n=4}$. В немецком языке «vier» переводится как «четыре», а «viel» - как «многие».

Общая идея - написать метрический тензор как продукт двух Vielbeins, один слева и один справа. Эффект vielbeins заключается в изменении системы координат, используемой на касательное многообразие к тому, что проще или удобнее для расчетов. Часто бывает так, что система координат репер ортонормальна, как правило, самый простой в использовании. Большинство тензоров в этой системе координат становятся простыми или даже тривиальными; таким образом, сложность большинства выражений оказывается скорее артефактом выбора координат, чем врожденным свойством или физическим эффектом. То есть как формализм, это не меняет прогнозов; это скорее вычислительная техника.

Преимущество формализма тетрад перед стандартным подходом к общей теории относительности, основанным на координатах, заключается в возможности выбора тетрадной основы для отражения важных физических аспектов пространства-времени. Обозначение абстрактного индекса обозначает тензоры, как если бы они были представлены их коэффициентами по отношению к фиксированной локальной тетраде. По сравнению с полностью координатная свободная запись, который часто концептуально яснее, он позволяет простой и явный в вычислительном отношении способ обозначать сокращения.

Значение тетрадического формализма проявляется в Эйнштейн-Картан формулировка общей теории относительности. Тетрадический формализм теории более фундаментален, чем ее метрическая формулировка, поскольку можно нет конвертируются между тетрадной и метрической формулировками фермионных воздействий, несмотря на то, что это возможно для бозонных воздействий. Это эффективно потому, что спиноры Вейля могут быть очень естественно определены на римановом многообразии^[2] и их естественное окружение приводит к спин-соединение. Эти спиноры принимают форму в реперной системе координат, а не в системе координат многообразия.

Привилегированный тетрадический формализм также появляется в деконструкция из высшее измерение Калуца ​​– Кляйн теории гравитации^[3] и массивная гравитация теории, в которых дополнительное измерение (я) заменяется серией из N решетка такие сайты, что метрика более высокого измерения заменяется набором взаимодействующих показателей, которые зависят только от компонентов 4D.^[4] Vielbeins обычно появляются в других общих условиях в физике и математике. Vielbeins можно понимать как формы припоя.

Математическая формулировка

В тетрадном формализме^[5]выбирается тетрадный базис: набор ${\displaystyle n}$ независимый векторные поля

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

за ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ которые вместе охватывают ${\displaystyle n}$-размерный касательный пучок в каждой точке пространство-время многообразие ${\displaystyle M}$. Таким образом, референс (или тетрада в четырех измерениях) определяет (и определяется) дуальный ковейльбейн (ко-тетрада) - набор ${\displaystyle n}$ независимый 1-формы.

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

такой, что

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e^{\mu }{}_{b}=\delta _{b}^{a},}$

куда ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ это Дельта Кронекера. Референс обычно определяется его коэффициентами ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ относительно координатного базиса, несмотря на выбор набора (локальных) координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ не требуется для определения тетрады. Каждый ковектор - это форма припоя.

С точки зрения дифференциальная геометрия из пучки волокон, четыре векторных поля ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ определить раздел комплект кадров т.е. а распараллеливание из ${\displaystyle U\subset M}$ что эквивалентно изоморфизму ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$. Поскольку не всякое многообразие параллелизуемо, репер можно выбрать только локально (т.е. только на карта координат ${\displaystyle U}$ и не все ${\displaystyle M}$.)

Все тензоры теории могут быть выражены в векторном и ковекторном базисах, выражая их как линейные комбинации членов (со) референсной системы. Например, метрический тензор пространства-времени может быть преобразован из координатного базиса в тетрада основа.

Популярные тетрадные основы в общей теории относительности включают ортонормированные тетрады и нулевые тетрады. Нулевые тетрады состоят из четырех нулевые векторы, поэтому часто используются в задачах, связанных с излучением, и являются основой Формализм Ньюмана – Пенроуза и Формализм GHP.

Отношение к стандартному формализму

Стандартный формализм дифференциальная геометрия (и общая теория относительности) состоит просто из использования координатная тетрада в тетрадном формализме. Координатная тетрада - это канонический набор векторов, связанных с карта координат. Координатную тетраду принято обозначать ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ тогда как двойная котетра обозначается ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$. Эти касательные векторы обычно определяются как производная по направлению операторы: по графику ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ который отображает подмножество многообразие в координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и любые скалярное поле ${\displaystyle f}$, координатные векторы таковы, что:

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

В определении котетрада используется обычное злоупотребление обозначениями. ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ определить ковекторы (1-формы) на ${\displaystyle M}$. Участие координатной тетрады обычно не указывается явно в стандартном формализме. В формализме тетрад вместо того, чтобы полностью выписывать тензорные уравнения (включая элементы тетрад и тензорные произведения ${\displaystyle \otimes }$ как указано выше) только составные части тензоров. Например, показатель записывается как "${\displaystyle g_{ab}}$". Когда тетрада не указана, это становится вопросом определения типа тензора, называемого обозначение абстрактного индекса. Это позволяет легко указать сжатие между тензорами, повторяя индексы, как в соглашении Эйнштейна о суммировании.

Смена тетрад - обычная операция в стандартном формализме, так как она участвует в каждом преобразовании координат (т. Е. Переходе от одного базиса координатной тетрады к другому). Переключение между несколькими координатными диаграммами необходимо, потому что, за исключением тривиальных случаев, одна координатная карта не может покрыть все многообразие. Переход на обычные тетрады и между ними очень похож и одинаково необходим (за исключением параллелизуемые многообразия ). Любой тензор локально можно записать в терминах этой координатной тетрады или общей (ко) тетрады.

Например, метрический тензор ${\displaystyle \mathbf {g} }$ можно выразить как:

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Здесь мы используем Соглашение о суммировании Эйнштейна ). Аналогично, метрика может быть выражена относительно произвольной (ко) тетрады как

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Здесь мы используем выбор алфавита (латинский и Греческий ) для индексных переменных, чтобы различать применимый базис.

Мы можем перейти от общей котетрады к координатной котетраде, расширив ковектор ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$. Затем мы получаем

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

откуда следует, что ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$. Аналогично расширяется ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$ относительно общей тетрады получаем

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

что показывает, что ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$.

Манипуляция индексами

Манипуляции с коэффициентами тетрад показывают, что формулы абстрактных индексов, в принципе, могут быть получены из тензорных формул относительно координатной тетрады путем «замены греческих индексов на латинские». Однако следует позаботиться о том, чтобы формула координатной тетрады определяла истинный тензор при дифференцировании. Поскольку координатные векторные поля обращаются в нуль Кронштейн лжи (т. е. добираться: ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$), наивные подстановки формул, которые правильно вычисляют тензорные коэффициенты относительно координатной тетрады, могут неправильно определять тензор относительно общей тетрады, потому что скобка Ли не обращается в нуль: ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$. Таким образом, иногда говорят, что координаты тетрад обеспечивают неголономный базис.

Например, Тензор кривизны Римана определено для общих векторных полей ${\displaystyle X,Y}$ к

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

В координатной тетраде это дает тензорные коэффициенты

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

Наивная замена последнего выражения с греческого на латинский

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

неверно, потому что для исправленного c и d, ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$ в общем случае является дифференциальным оператором первого порядка, а не оператором нулевого порядка, определяющим тензорный коэффициент. Подставляя общий тетрадный базис в абстрактную формулу, мы находим правильное определение кривизны в обозначении абстрактного индекса:

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

куда ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$. Обратите внимание, что выражение ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$ действительно является оператором нулевого порядка, следовательно ((c d) -компонента) тензора. Поскольку он согласуется с координатным выражением для кривизны, когда специализируется на координатной тетраде, ясно, даже без использования абстрактного определения кривизны, что он определяет тот же тензор, что и базисное координатное выражение.

Пример: группы Ли

Учитывая вектор (или ковектор) в касательном (или котангенсном) многообразии, экспоненциальная карта описывает соответствующие геодезический этого касательного вектора. Письмо ${\displaystyle X\in TM}$, то параллельный транспорт дифференциала соответствует

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Вышесказанное легко проверить, просто взяв ${\displaystyle X}$ быть матрицей.

В частном случае Алгебра Ли, то ${\displaystyle X}$ можно принять за элемент алгебры, экспонента - это экспоненциальное отображение группы Ли, а элементы группы соответствуют геодезическим касательного вектора. Выбор основы ${\displaystyle e_{i}}$ для алгебры Ли и записи ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ для некоторых функций ${\displaystyle X^{i},}$ коммутаторы можно явно выписать. Легко вычислить, что

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

за ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$ то структурные константы алгебры Ли. Более компактно серию можно записать как

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

с бесконечным рядом

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Здесь, ${\displaystyle M}$ матрица, матричные элементы которой равны ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$. Матрица ${\displaystyle W}$ тогда это референс; он выражает разницу ${\displaystyle dX^{j}}$ в терминах "плоских координат" (при этом ортонормированных) ${\displaystyle e_{i}}$.

Учитывая некоторую карту ${\displaystyle N\to G}$ из некоторого многообразия ${\displaystyle N}$ какой-то группе Ли ${\displaystyle G}$, метрический тензор на многообразии ${\displaystyle N}$ становится откатом метрического тензора ${\displaystyle B_{mn}}$ на группе Ли ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

Метрический тензор ${\displaystyle B_{mn}}$ на группе Ли есть метрика Картана, также известная как Форма убийства. Обратите внимание, что в качестве матрицы вторая буква W является транспонированной. За ${\displaystyle N}$ а (псевдо)Риманово многообразие, метрика является (псевдо)Риманова метрика. Сказанное выше обобщается на случай симметричные пространства.^[6] Эти реперы используются для выполнения расчетов в сигма модели, из которых теории супергравитации являются частным случаем.^[7]

Смотрите также

• Комплект кадров
• Пакет ортонормированных кадров
• Основной пакет
• Набор вращений
• Связь (математика)
• G-структура
• Спиновый коллектор
• Структура спина
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Примечания

1. De Felice, F .; Кларк, C.J.S. (1990), Относительность на искривленных многообразиях, п. 133
2. Юрген Йост (1991) Риманниновская геометрия и геометрический анализ, Springer
3. Аркани-Хамед, Нима; Коэн, Эндрю Г .; Георгий, Ховард (май 2001 г.). «(Де) Построение размеров». Письма с физическими проверками. 86 (21): 4757–4761. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007.
4. де Рам, Клаудия (декабрь 2014 г.). «Массивная гравитация». Живые обзоры в теории относительности. 17 (1): 7. Дои:10.12942 / lrr-2014-7. ISSN  2367-3613. ЧВК  5256007. PMID  28179850.
5. Тору Эгути, Питер Б. Гилки и Эндрю Дж. Хэнсон "Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия ", Отчеты по физике 66 (1980) стр. 213-393.
6. Неджат Тевфик Йилмаз, (2007) «О кинематике симметричной космической сигма-модели» arXiv: 0707.2150 [hep-th]
7. Арьян Кеурентис (2003) "Групповая теория окисления", arXiv: 0210178 [hep-th]

Рекомендации

• De Felice, F .; Кларк, C.J.S. (1990), Относительность на искривленных многообразиях (впервые опубликовано в 1990 г.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-26639-4
• Benn, I.M .; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 г.), Адам Хильгер, ISBN  0-85274-169-3

внешняя ссылка

• Общая теория относительности с тетрадами