Кулькарни – Номидзу - Kulkarni–Nomizu product

В математической области дифференциальная геометрия, то Кулькарни – Номидзу (назван в честь Равиндра Шрипад Кулкарни и Кацуми Номидзу ) определен для двух (0,2) -тензоров и дает в результате (0,4) -тензор.

Определение

Если час и k являются симметричными (0,2) -тензорами, то произведение определяется через^[1]:

${displaystyle {egin{aligned}(h{~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}k)(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&:=h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})k(X_{1},X_{3})+&;;;-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})k(X_{1},X_{4})&={egin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})end{vmatrix}}+{egin{vmatrix}k(X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})end{vmatrix}}end{aligned}}}$

где Икс_j являются касательными векторами и ${displaystyle |cdot |}$ это определитель матрицы. Обратите внимание, что ${displaystyle h{~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}k=k{~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}h}$, как видно из второго выражения.

Что касается основы ${displaystyle {partial _{i}}}$ касательного пространства она принимает компактный вид

${displaystyle (h~wedge !!!!!!!!;igcirc ~k)_{ijlm}=(h{~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}k)(partial _{i},partial _{j},partial _{l},partial _{m})=2h_{i[l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i},,}$

где ${displaystyle [dots ]}$ обозначает символ полной антисимметричности.

Произведение Кулькарни – Номидзу является частным случаем произведения в градуированной алгебре

${displaystyle igoplus _{p=1}^{n}S^{2}(Omega ^{p}M),}$

где на простых элементах

${displaystyle (alpha cdot eta ){~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}(gamma cdot delta )=(alpha wedge gamma )odot (eta wedge delta )}$

(${displaystyle odot }$ обозначает симметричное произведение ).

Свойства

Произведение Кулькарни – Номидзу пары симметрических тензоров имеет алгебраические симметрии Тензор Римана^[2]. Например, на космические формы (т.е. пространства постоянных секционная кривизна ) и двумерных гладких римановых многообразия Тензор кривизны Римана имеет простое выражение в терминах произведения Кулькарни-Номидзу метрика ${displaystyle g=g_{ij}dx^{i}otimes dx^{j}}$ с собой; а именно, если обозначить через

${displaystyle operatorname {R} (partial _{i},partial _{j})partial _{k}={R^{l}}_{ijk}partial _{l}}$

(1,3) -тензор кривизны и по

${displaystyle operatorname {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}otimes dx^{j}otimes dx^{k}otimes dx^{l}}$

тензор кривизны Римана с ${displaystyle R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}}$, тогда

${displaystyle operatorname {Rm} ={frac {operatorname {Scal} }{4}}g~wedge !!!!!!!!;igcirc ~g,}$

где ${displaystyle operatorname {Scal} =operatorname {tr} _{g}operatorname {Ric} ={R^{i}}_{i}}$ это скалярная кривизна и

${displaystyle operatorname {Ric} (Y,Z)=operatorname {tr} _{g}lbrace Xmapsto operatorname {R} (X,Y)Zbrace }$

это Тензор Риччи, который в компонентах читается ${displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$.Расширение продукта Кулькарни-Номидзу ${displaystyle g~wedge !!!!!!!!;igcirc ~g}$ используя определение сверху, получаем

${displaystyle R_{ijkl}={frac {operatorname {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={frac {operatorname {Scal} }{2}}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}),.}$

Это то же выражение, что и в статье о Тензор кривизны Римана.

Именно по этой причине он обычно используется для выражения вклада, который Кривизна Риччи (а точнее, Тензор Схоутена ) и Тензор Вейля каждый делает для кривизна из Риманово многообразие. Это так называемое Разложение Риччи полезно в дифференциальная геометрия.

Когда есть метрический тензор г, произведение Кулькарни – Номидзу г сам с собой является тождественным эндоморфизмом пространства 2-форм, Ω²(M) при отождествлении (по метрике) кольца эндоморфизмов End (Ω²(M)) с тензорным произведением Ω²(M) ⊗ Ω²(M).

Риманово многообразие имеет постоянную секционная кривизна k тогда и только тогда, когда тензор Римана имеет вид

${displaystyle R={frac {k}{2}}g{~wedge !!!!!!!!;igcirc ~}g}$

где г это метрический тензор.

Заметки

1. Некоторые авторы также включают общий фактор ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ в определении.
2. (0,4) -тенор, который удовлетворяет свойству кососимметрии, свойству симметрии перестановки и первому (алгебраическому) тождеству Бьянки (см. симметрии и тождества кривизны Римана ) называется алгебраический тензор кривизны.

использованная литература

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii + 510, ISBN  978-3-540-15279-8.
• Галлот, С., Хуллин, Д., и Лафонтен, Дж. (1990). Риманова геометрия. Springer-Verlag.