Кривизна римановых многообразий - Curvature of Riemannian manifolds

Слева направо: поверхность негатива Гауссова кривизна (гиперболоид ) поверхность нулевой гауссовой кривизны (цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны (сфера ). В более высоких измерениях многообразие могут иметь разную кривизну в разных направлениях, описываемых Тензор кривизны Римана.

В математика в частности дифференциальная геометрия, то бесконечно малый геометрия Римановы многообразия с размером больше 2 слишком сложно описать одним числом в данной точке. Риман представил абстрактный и строгий способ определения кривизны этих многообразий, теперь известный как Тензор кривизны Римана. Подобные понятия повсюду нашли применение в дифференциальной геометрии.

Для более элементарного обсуждения см. Статью о кривизна в котором обсуждается кривизна кривых и поверхностей в 2-х и 3-х измерениях, а также дифференциальная геометрия поверхностей.

Кривизна псевдориманово многообразие могут быть выражены таким же образом с небольшими изменениями.

Способы выражения кривизны риманова многообразия

Тензор кривизны Римана

Основная статья: Тензор кривизны Римана

Кривизну риманова многообразия можно описать разными способами; наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный в терминах Леви-Чивита связь (или ковариантное дифференцирование ) ${\displaystyle \nabla }$ и Кронштейн лжи ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ по следующей формуле:

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$

Вот ${\displaystyle R(u,v)}$ - линейное преобразование касательного пространства многообразия; он линейен по каждому аргументу. ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ и ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$ координатные векторные поля, то ${\displaystyle [u,v]=0}$ и поэтому формула упрощается до

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}$

т. е. меры тензора кривизны некоммутативность ковариантной производной.

Линейное преобразование ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$ также называется преобразование кривизны или эндоморфизм.

NB. Есть несколько книг, где тензор кривизны определяется с противоположным знаком.

Симметрии и идентичности

Тензор кривизны имеет следующие симметрии:

${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$

${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

Последняя личность была обнаружена Риччи, но его часто называют первая личность Бьянки, просто потому, что он похож на тождество Бьянки ниже. К первым двум следует обращаться как антисимметрия и Свойство алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что р(ты, v) для всех ты, v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все трое вместе должны быть названы структура псевдоортогональной кривизны. Они порождают тензор только отождествлениями с объектами тензорной алгебры - но точно так же существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы структуры кривизны порождают хорошо разработанную структурную теорию, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий Кривизна Вейля и проектор Эйнштейна, необходимый для постановки уравнений гравитации Эйнштейна). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс расширение. Он имеет тесные связи с теорией групп и алгебр Ли, троек Ли и йордановых алгебр. См. Ссылки, приведенные в обсуждении.

Три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, то есть для любого тензора, который удовлетворяет указанным выше тождествам, в какой-то точке можно было бы найти риманово многообразие с таким тензором кривизны. Несложные вычисления показывают, что такой тензор имеет ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$ независимые компоненты, но из этих трех следует еще одна полезная идентичность:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$

В Бьянки идентичность (часто вторая идентичность Бьянки) включает ковариантные производные:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$

Кривизна в разрезе

Основная статья: Кривизна в разрезе

Секционная кривизна - это еще одно эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция ${\displaystyle K(\sigma )}$ что зависит от раздел ${\displaystyle \sigma }$ (т.е. 2-плоскость в касательных пространствах). Это Кривизна Гаусса из ${\displaystyle \sigma }$-раздел в п; Вот ${\displaystyle \sigma }$-раздел представляет собой локально определенный кусок поверхности, имеющий плоскость ${\displaystyle \sigma }$ как касательная плоскость в п, полученные из геодезических, которые начинаются в п в направлениях образа ${\displaystyle \sigma }$ под экспоненциальная карта в п.

Если ${\displaystyle v,u}$ - два линейно независимых вектора из ${\displaystyle \sigma }$ тогда

${\displaystyle K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle }$

Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:

${\displaystyle 6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}}$

Или по более простой формуле:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}}$

Форма кривизны

Основная статья: Форма кривизны

В форма подключения дает альтернативный способ описания кривизны. Он используется больше для общего векторные пучки, и для основные связки, но он работает так же хорошо для касательного пучка с Леви-Чивита связь. Кривизна п-мерное риманово многообразие задается антисимметричный п×п матрица ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}}$ из 2-формы (или, что то же самое, 2-форма со значениями в ${\displaystyle \operatorname {so} (n)}$, то Алгебра Ли из ортогональная группа ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$, какой структурная группа касательного расслоения риманова многообразия).

Позволять ${\displaystyle e_{i}}$ быть локальным участком ортонормированных баз. Тогда можно определить форму связности, антисимметричную матрицу 1-форм ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i}}$ которые удовлетворяют из следующего тождества

${\displaystyle \omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle }$

Тогда форма кривизны ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}}$ определяется

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$.

Обратите внимание, что выражение "${\displaystyle \omega \wedge \omega }$"- это сокращение от ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}}$ и, следовательно, не обязательно исчезает. Следующее описывает связь между формой кривизны и тензором кривизны:

${\displaystyle R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.}$

Этот подход строит все симметрии тензора кривизны, кроме первая личность Бианки, который принимает форму

${\displaystyle \Omega \wedge \theta =0}$

где ${\displaystyle \theta =\theta ^{i}}$ является п-вектор 1-форм, определяемых ${\displaystyle \theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle }$. вторая идентичность Бьянки принимает форму

${\displaystyle D\Omega =0}$

D обозначает внешняя ковариантная производная

Оператор кривизны

Иногда удобно рассматривать кривизну как оператор ${\displaystyle Q}$ по касательной бивекторы (элементы ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)}$), который однозначно определяется следующим тождеством:

${\displaystyle \langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .}$

Это возможно сделать именно благодаря симметрии тензора кривизны (а именно антисимметрии в первой и последней парах индексов и блочной симметрии этих пар).

Дополнительные тензоры кривизны

В общем, следующие тензоры и функции не полностью описывают тензор кривизны, однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Основная статья: Скалярная кривизна

Скалярная кривизна - это функция на любом римановом многообразии, обычно обозначаемая как Sc. Это полный след тензора кривизны; учитывая ортонормированный базис ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в касательном пространстве при п у нас есть

${\displaystyle S\!c=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,}$

где Ric обозначает Тензор Риччи. Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны.

Кривизна Риччи

Основная статья: Кривизна Риччи

Кривизна Риччи - это линейный оператор на касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый Ric. Учитывая ортонормированный базис ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в касательном пространстве при п у нас есть

${\displaystyle Ric(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}}$

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. С четырьмя или более измерениями кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.

Явные выражения для Тензор Риччи с точки зрения Леви-Чивита связь приведено в статье о Символы Кристоффеля.

Тензор кривизны Вейля

Основная статья: Тензор Вейля

В Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны, плюс одна дополнительная: его след (используемый для определения кривизны Риччи) должен исчезнуть. В размерностях 2 и 3 кривизна Вейля исчезает, но если размерность п > 3, тогда вторая часть может быть ненулевой.

• Тензор кривизны можно разложить на части, зависящие от кривизны Риччи, и тензор Вейля.
• Если g ′ = fg для некоторой положительной скалярной функции ж - а конформный изменение метрики - тогда W ′ = W.
• Для многообразие из постоянная кривизна, тензор Вейля равен нулю.
  • Более того, W = 0 тогда и только тогда, когда метрика локально конформный к стандартной евклидовой метрике (равной фг, где г - стандартная метрика в некоторой системе координат и ж - некоторая скалярная функция).

Разложение Риччи

Основная статья: Разложение Риччи

Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи, как правило, не определяют полный тензор кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформная геометрия римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если масштабировать метрику с помощью конформного фактора ${\displaystyle e^{2f}}$, то тензор кривизны Римана изменится на (рассматриваемый как (0, 4) -тензор):

${\displaystyle e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)}$

где ${\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}}$ обозначает Кулькарни – Номидзу а Гесс - это гессен.

Расчет кривизны

Для расчета кривизны

• гиперповерхностей и подмногообразий см. вторая основная форма,
• в координатах см. список формул в римановой геометрии или ковариантная производная,
• перемещая рамки см. Картановое соединение и форма кривизны.
• то Уравнение Якоби может помочь, если кто-то знает что-то о поведении геодезические.

использованная литература

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.

Заметки