Множественная гамма-функция - Multiple gamma function

Для производных журнала гамма-функции см. полигамма функция.

В математике множественная гамма-функция ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ является обобщением теории Эйлера гамма-функция и G-функция Барнса. Двойная гамма-функция изучалась Барнс (1901). В конце этой статьи он упомянул о существовании нескольких гамма-функций, обобщающих его, и изучил их далее в Барнс (1904).

Двойные гамма-функции ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ тесно связаны с q-гамма-функция, и тройные гамма-функции ${\displaystyle \Gamma _{3}}$ связаны с эллиптическая гамма-функция.

Определение

Для ${\displaystyle \Re a_{i}>0}$, позволять

${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}$

где ${\displaystyle \zeta _{N}}$ это Дзета-функция Барнса. (Это константа отличается от исходного определения Барнса.)

Свойства

Считается мероморфная функция из ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$ не имеет нулей. Имеет полюса на ${\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}$для неотрицательных целых чисел ${\displaystyle n_{i}}$. Эти полюса простые, если некоторые из них не совпадают. С точностью до умножения на экспоненту многочлена, ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$ - единственная мероморфная функция конечного порядка с этими нулями и полюсами.

• ${\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}$

Бесконечное представление продукта

Множественная гамма-функция имеет представление бесконечного произведения, которое показывает, что она мероморфна, а также проявляет положение ее полюсов. В случае двойной гамма-функции это представление имеет вид ^[1]

${\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

где мы определяем ${\displaystyle w}$-независимые коэффициенты

${\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

где ${\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}$ является ${\displaystyle n}$остаток -го порядка при ${\displaystyle s_{0}}$.

Приведение к G-функции Барнса

Двойная гамма-функция с параметрами ${\displaystyle 1,1}$ подчиняется отношениям ^[1]

${\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}$

Это связано с G-функция Барнса от

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|1,1)={\frac {(2\pi )^{\frac {w}{2}}}{G(w)}}\ .}$

Двойная гамма-функция и конформная теория поля

Для ${\displaystyle \Re b>0}$ и ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$, функция

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,}$

инвариантен относительно ${\displaystyle b\to b^{-1}}$, и подчиняется отношениям

${\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

Для ${\displaystyle \Re w>0}$, имеет интегральное представление

${\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}$

Из функции ${\displaystyle \Gamma _{b}(w)}$, мы определяем функция двойного синуса ${\displaystyle S_{b}(w)}$ и Ипсилон функция ${\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}$ от

${\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}$

Эти функции подчиняются соотношениям

${\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}$

плюс отношения, которые получаются ${\displaystyle b\to b^{-1}}$. Для ${\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}$ они имеют интегральные представления

${\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}$

Функции ${\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}$ и ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$ появляются в корреляционных функциях двумерная конформная теория поля, с параметром ${\displaystyle b}$ связаны с центральным зарядом базового Алгебра Вирасоро.^[2] В частности, трехточечная функция Теория Лиувилля записывается в терминах функции ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$.

использованная литература

1. Spreafico, Мауро (2009). «О двойных дзета и гамма-функциях Барнса». Журнал теории чисел. 129 (9): 2035–2063. Дои:10.1016 / j.jnt.2009.03.005.
2. Понсо, Б. Недавние успехи в теории поля Лиувилля (Тезис). arXiv:hep-th / 0301193. Bibcode:2003ФДТ ....... 180П.

дальнейшее чтение

• Барнс, Э. У. (1899), «Происхождение двойных гамма-функций», Proc. Лондонская математика. Soc., s1-31: 358–381, Дои:10.1112 / плмс / с1-31.1.358
• Барнс, Э. У. (1899), "Теория двойной гамма-функции", Труды Лондонского королевского общества, 66 (424–433): 265–268, Дои:10.1098 / rspl.1899.0101, ISSN  0370-1662, JSTOR  116064, S2CID  186213903
• Барнс, Э. У. (1901), "Теория двойной гамма-функции", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера, 196 (274–286): 265–387, Bibcode:1901RSPTA.196..265B, Дои:10.1098 / рста.1901.0006, ISSN  0264-3952, JSTOR  90809
• Барнс, Э. У. (1904), "К теории множественной гамма-функции", Пер. Camb. Филос. Soc., 19: 374–425
• Фридман, Эдуардо; Руйсенаарс, Саймон (2004), "Дзета-функции Шинтани – Барнса и гамма-функции", Успехи в математике, 187 (2): 362–395, Дои:10.1016 / j.aim.2003.07.020, ISSN  0001-8708, Г-Н  2078341
• Руйсенаарс, С. Н. М. (2000), «О множественных дзета и гамма-функциях Барнса», Успехи в математике, 156 (1): 107–132, Дои:10.1006 / aima.2000.1946, ISSN  0001-8708, Г-Н  1800255