Четвертичное взаимодействие - Quartic interaction

В квантовая теория поля, а четвертое взаимодействие это тип самовзаимодействия в скалярное поле. Другие типы взаимодействий четвертой степени можно найти в теме четырехфермионные взаимодействия. Классическое свободное скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет Уравнение Клейна – Гордона. Если скалярное поле обозначить ${\displaystyle \varphi }$, а четвертое взаимодействие представлен добавлением потенциального термина ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ к Плотность лагранжиана. В константа связи ${\displaystyle \lambda }$ является безразмерный в 4-х мерном пространство-время.

В этой статье используется ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ метрическая подпись за Пространство Минковского.

Лагранжиан действительного скалярного поля

В Плотность лагранжиана для настоящий скалярное поле с взаимодействием четвертой степени равно

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Этот лагранжиан имеет глобальную Z₂ отображение симметрии ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$.

Лагранжиан комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. За два скалярные поля ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ лагранжиан имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

который можно записать более кратко, введя сложный скалярное поле ${\displaystyle \phi }$ определяется как

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Выраженный через это скалярное поле, указанный лагранжиан принимает вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

что, таким образом, эквивалентно SO (2) -модели вещественных скалярных полей ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$, что можно увидеть, расширив комплексное поле ${\displaystyle \phi }$ в действительной и мнимой частях.

С ${\displaystyle N}$ реальных скалярных полей, мы можем иметь ${\displaystyle \varphi ^{4}}$ модель с Глобальный СЫН) симметрия, задаваемая лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2).

Во всех вышеперечисленных моделях константа связи ${\displaystyle \lambda }$ должно быть положительным, так как иначе потенциал был бы неограничен снизу и не было бы устойчивого вакуума. Так же Интеграл по путям Фейнмана обсуждаемое ниже было бы некорректным. В 4-х измерениях, ${\displaystyle \phi ^{4}}$ теории имеют Полюс Ландау. Это означает, что без отсечки в области высоких энергий, перенормировка представит теорию банальный.

Интегральное квантование Фейнмана

Основная статья: Формулировка интеграла по путям

В Диаграмма Фейнмана расширение может быть получено также из Фейнмана формулировка интеграла по путям.^[1] В заказанное время ожидаемые значения вакуума многочленов от φ, известных как п-частичные функции Грина, строятся интегрированием по всем возможным полям, нормированным ожидаемое значение вакуума без внешних полей,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Все эти функции Грина можно получить, разложив экспоненту по J(Икс) φ (Икс) в производящей функции

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

А Вращение фитиля может применяться, чтобы сделать время воображаемым. Изменение подписи на (++++) дает φ⁴ статистическая механика интеграл по 4-мерному Евклидово пространство,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае преобразование Фурье полезно, давая вместо

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int d^{4}p_{1}d^{4}p_{2}d^{4}p_{3}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

куда ${\displaystyle \delta (x)}$ это Дельта-функция Дирака.

Стандартный трюк для оценки этого функциональный интеграл схематически записать это как произведение экспоненциальных множителей:

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int d^{4}p_{1}d^{4}p_{2}d^{4}p_{3}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Вторые два экспоненциальных множителя могут быть разложены в виде степенных рядов, и комбинаторика этого разложения может быть представлена ​​графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов, а результат можно выразить как сумму Диаграммы Фейнмана, рассчитывается по следующим правилам Фейнмана:

• Каждое поле ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$ в п-точечная евклидова функция Грина представлена ​​внешней линией (полуребром) на графике и связана с импульсом п.
• Каждая вершина представлена ​​фактором -λ.
• В заданном порядке λ^k, все диаграммы с п внешние линии и k вершины построены так, что импульсы, втекающие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена ​​множителем 1 / (q² + м²), куда q это импульс, текущий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрированы по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перегруппировки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включайте графики, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$. Правила Фейнмана пространства Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ${\displaystyle -i\lambda }$, а каждая внутренняя линия представлена ​​множителем я/(q²-м² + я ε), где ε член представляет собой малое вращение Вика, необходимое для схождения гауссовского интеграла пространства Минковского.

Перенормировка

Основная статья: Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графах Фейнмана обычно расходятся. Обычно этим занимается перенормировка, который представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контртермы конечны.^[2] При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, и от него зависят константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к Полюс Ландау упоминалось ранее, и требует, чтобы обрезание было конечным. В качестве альтернативы, если обрезание может стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию банальный.^[3]

Спонтанное нарушение симметрии

Основная статья: Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если м² становится отрицательным, но с положительным λ. В этом случае вакуум состоит из двух низкоэнергетических состояний, каждое из которых самопроизвольно нарушает Z₂ глобальная симметрия исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний типа доменные стены. в О(2) теория, вакуум будет лежать на окружности, и выбор одного из них самопроизвольно нарушит О(2) симметрия. Непрерывная нарушенная симметрия приводит к Бозон Голдстоуна. Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом Механизм Хиггса.^[4]

Спонтанное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, - это система с одним скалярным полем ${\displaystyle \varphi }$ с лагранжианом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

куда ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$ и

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Минимизация потенциала относительно ${\displaystyle \varphi }$ приводит к

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Теперь мы расширяем поле вокруг этого минимального письма

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

и подставляя в лагранжиан, получаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

где мы замечаем, что скаляр ${\displaystyle \sigma }$ теперь есть положительный массовый термин.

Рассмотрение значений математического ожидания позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантен относительно ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрия ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$. С

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

оба минимума, должно быть два разных вакуума: ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$ с

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Поскольку ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрия принимает ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$, это должно занять ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане ${\displaystyle Z_{2}}$ симметрия исчезла, она все еще существует, но теперь она действует как${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но на самом деле они не нарушаются в лагранжиане, а просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом.^[5]

Точные решения

Существует набор точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

что можно записать для безмассовых, ${\displaystyle \mu _{0}=0}$ случай как^[6]

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,-1),}$

с ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ эллиптическая функция Якоби и ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$ две константы интегрирования, при условии, что соотношение дисперсии держит

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Интересно то, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с дисперсионным соотношением, соответствующим массивному решению. Когда массовый член не равен нулю, получаем

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

теперь дисперсионное соотношение

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Наконец, для случая нарушения симметрии имеем

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

существование ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$ и выполняется следующее дисперсионное соотношение

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, уравнение дисперсии имеет верное значение. Кроме того, функция Якоби ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$ не имеет реальных нулей, поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.

Доказательство единственности можно дать, если заметим, что решение можно искать в виде ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ существование ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с ${\displaystyle p}$ удовлетворяющие собственному дисперсионному соотношению.

Смотрите также

• Теория скалярного поля
• Квантовая тривиальность
• Полюс Ландау
• Перенормировка
• Механизм Хиггса
• Бозон Голдстоуна

Рекомендации

1. Общая ссылка на этот раздел: Рамонд, Пьер (21 декабря 2001). Теория поля: современный учебник (второе издание). США: Westview Press. ISBN  0-201-30450-3..
2. См. Предыдущую ссылку или для получения более подробной информации Ициксон, Зубер; Зубер, Жан-Бернар (24 февраля 2006 г.). Квантовая теория поля. Дувр..
3. Д. Дж. Э. Каллавей (1988). «Погоня за мелочами: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988ФР ... 167..241С. Дои:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
4. Базовое описание спонтанного нарушения симметрии можно найти в двух предыдущих источниках или в большинстве других книг по квантовой теории поля.
5. Шварц, Квантовая теория поля и стандартная модель, глава 28.1.
6. Марко Фраска (2011). «Точные решения классических уравнений скалярного поля». Журнал нелинейной математической физики. 18 (2): 291–297. arXiv:0907.4053. Bibcode:2011JNMP ... 18..291F. Дои:10.1142 / S1402925111001441.

дальнейшее чтение

• 'т Хоофт, Г., "Концептуальные основы квантовой теории поля" (онлайн-версия ).

• Базганди, Мустафа (август 2019 г.). "Симметрии Ли и решения подобия уравнения фи-четыре". Индийский математический журнал. 61 (2): 187–197.