Псевдопорядок - Pseudo-order

В конструктивная математика, а псевдопорядок является конструктивным обобщением линейный порядок к непрерывному случаю. Обычный закон трихотомии не выполняется в конструктивном континууме из-за его неразложимость, поэтому это условие ослаблено.

Псевдопорядок - это бинарное отношение удовлетворяющие следующим условиям:

1. Невозможно, чтобы два элемента были меньше другого. То есть, ${displaystyle forall x,y:eg ;(x<y;wedge ;y<x)}$.
2. Для всех Икс, у, и z, если Икс < у тогда либо Икс < z или же z < у. То есть, ${displaystyle forall x,y,z:x<y; o ;(x<z;vee ;z<y)}$.
3. Каждые два элемента, для которых ни один из них не меньше другого, должны быть равны. То есть, ${displaystyle forall x,y:eg ;(x<y;vee ;y<x); o ;x=y}$

Это первое условие просто асимметрия. Из первых двух условий следует, что псевдопорядок переходный. Второе состояние часто называют ко-транзитивность или же сравнение и является конструктивным заменителем трихотомии. В общем, для двух элементов псевдоупорядоченного множества не всегда бывает так, что один из них меньше другого или они равны,^{[требуется разъяснение ]} но для любого нетривиального интервала любой элемент находится либо выше нижней границы, либо ниже верхней границы.

Третье условие часто принимают за определение равенства. Естественный отношения обособленности на псевдоупорядоченном множестве задается

${displaystyle x#y;leftrightarrow ;x<y;vee ;y<x}$

а равенство определяется отрицанием обособленности.

Отрицание псевдопорядка есть частичный заказ что близко к общий заказ: если Икс ≤ у определяется как отрицание у < Икс, то имеем

${displaystyle eg ;(eg ;(xleq y);wedge ;eg ;(yleq x)).}$

С помощью классическая логика тогда можно было бы заключить, что Икс ≤ у или же у ≤ Икс, так что это будет полный порядок. Однако этот вывод неверен в конструктивном случае.

Типичный псевдопорядок - это псевдопорядок действительных чисел: одно действительное число меньше другого, если Существует (можно построить) рациональное число больше первого и меньше второго. Другими словами, Икс < у если существует рациональное число z такой, что Икс < z < у.

Ко-транзитивность

Второе условие заслуживает отдельного рассмотрения. ко-транзитивность так как отношение транзитивно если только его дополнение удовлетворяет условию 2. Более того, его следующие свойства могут быть доказаны с помощью классической логики.

Если р ко-транзитивное отношение, то

• р это также квазитранзитивный;
• р удовлетворяет аксиоме 3 из полупорядки;^{[примечание 1]}
• несравнимость с р это транзитивное отношение;^{[заметка 2]} и
• р является Connex если и только это рефлексивный.^{[заметка 3]}

Достаточные условия котранзитивного отношения р быть переходный также бывают:

• р осталось Евклидово;
• р правильно евклидово;
• р является антисимметричный.

Отношение полусвязности р также ко-транзитивен, если он симметричный, левый или правый евклидов, транзитивный или квазитранзитивный. Если несопоставимость w.r.t. р транзитивное отношение, то р ко-транзитивен, если он симметричный, левый или правый евклидов или транзитивен.

Примечания

1. Для симметричных р, аксиома полупорядка 3 даже совпадает с ко-транзитивностью.
2. Требуется транзитивность несравнимости, например для строгих слабые порядки.
3. если только домен это одноэлементный набор

Рекомендации

• Хейтинг, Аренд (1966). Интуиционизм: введение (2-е изд.). Амстердам: паб Северной Голландии. Co. p.106.