Координаты Шварцшильда - Schwarzschild coordinates

В теории Лоренцевы многообразия, сферически симметричное пространство-время принять семью вложенные круглые сферы. В таком пространстве-времени особенно важный вид карта координат это Диаграмма Шварцшильда, типа полярная сферическая координата диаграмма на статический и сферически симметричный пространство-время, который адаптированный к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой диаграммы Шварцшильда является то, что радиальная координата имеет естественную геометрическую интерпретацию с точки зрения площади поверхности и Гауссова кривизна каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы не представлены точно.

Эти диаграммы имеют множество приложений в метрические теории гравитации Такие как общая теория относительности. Чаще всего они используются в статический сферически-симметричное пространство-время. В случае общая теория относительности, Теорема Биркгофа заявляет, что каждый изолированные сферически-симметричный вакуум или электровакуумный раствор Уравнение поля Эйнштейна статичен, но это определенно неверно для идеальные жидкости. Расширение внешней области Вакуум Шварцшильда решение внутри горизонт событий сферически симметричной черная дыра не статичен внутри горизонта, и семейство (пространственноподобных) вложенных сфер не может быть продолжено внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого решения обязательно обрывается на горизонте.

Определение

Указание метрический тензор ${\displaystyle g}$ является частью определения любого Лоренцево многообразие. Самый простой способ определить этот тензор - определить его в совместимых локальных картах координат и убедиться, что тот же тензор определен на перекрытиях областей карт. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в области одного графика.

В карте Шварцшильда (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает форму

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Где ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ - стандартная сферическая координата и ${\displaystyle g_{\Omega }}$ - стандартная метрика на единичной двумерной сфере. Видеть Получение решения Шварцшильда для более подробного вывода этого выражения.

В зависимости от контекста может быть уместным рассматривать а и б как неопределенные функции радиальной координаты (например, при получении точного статического сферически-симметричного решения Уравнение поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму координат Шварцшильда в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Если это окажется допущением тензор энергии-импульса такая, что полученная модель удовлетворяет Уравнение поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически симметричной идеальной жидкости, подчиняющейся подходящей энергетические условия и другие свойства, ожидаемые от разумно совершенной жидкости), тогда с соответствующими тензорными полями, представляющими физические величины, такие как материя и плотности импульса, мы получаем часть возможно большего пространства-времени; произведение, которое можно считать местное решение уравнения поля Эйнштейна.

Убивающие векторные поля

Что касается диаграммы Шварцшильда, Алгебра Ли из Убивающие векторные поля порождается временемподобным безвихревый Векторное поле убийства

${\displaystyle \partial _{t}}$^{[Примечание 1]}

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

Здесь, говоря, что ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ безвихревой означает, что тензор завихренности соответствующих подобие времени исчезает; таким образом, это векторное поле Киллинга гиперповерхность ортогональная. Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статическое пространство-время. Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с координатами постоянного времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ сформировать семью (изометрических) пространственные гиперпространства. (Это неверно, например, в Диаграмма Бойера – Линдквиста для внешней части Керровский вакуум, где времениподобный вектор координат не ортогонален гиперповерхности.)

Обратите внимание, что последние два поля вращаются друг относительно друга при преобразовании координат. ${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$. Статья о Убивающие векторные поля предоставляет подробный вывод и обсуждение трех пространственно-подобных полей.

Семейство статических вложенных сфер

На диаграмме Шварцшильда поверхности ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$ выглядят как круглые сферы (когда мы рисуем места полярно сферически), и из ее формы мы видим, что метрика Шварцшильда, ограниченная любой из этих поверхностей, положительно определена и задается формулой

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Где ${\displaystyle g_{\Omega }}$ - стандартная риманова метрика на двумерной сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы с

1. площадь поверхности ${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. Гауссова кривизна ${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

В частности, они геометрические круглые сферы. Кроме того, угловые координаты ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ - это в точности обычные полярные сферические угловые координаты: ${\displaystyle \theta }$ иногда называют холодность и ${\displaystyle \phi }$ обычно называют долгота. По сути, это определяющая геометрическая особенность диаграммы Шварцшильда.

Можно добавить, что четыре поля Killing, приведенные выше, рассматриваются как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии дают наиболее верное выражение обеих симметрий статического сферически-симметричного пространства-времени, в то время как особая тригонометрическая форма который они принимают в нашей таблице, является наиболее верным выражением значения термина Диаграмма Шварцшильда. В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, что и три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически-симметричной карте на E³; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Однако заметьте: в целом радиальная координата Шварцшильда не точно представляет радиальные расстояния, т.е. расстояния, взятые вдоль пространственноподобного геодезического конгруэнтности, которые возникают как интегральные кривые ${\displaystyle \partial _{r}}$. Скорее, чтобы найти подходящее понятие 'пространственное расстояние 'между двумя нашими вложенными сферами, мы должны интегрировать ${\displaystyle b(r)dr}$ по некоторому координатному лучу от начала координат:

${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr}$

Точно так же мы можем рассматривать каждую сферу как геометрическое место сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (как правило) использовать ракетные двигатели для радиального ускорения наружу, чтобы сохранить свое положение. Это статические наблюдатели, и у них есть мировые линии формы ${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$, которые, конечно, имеют вид вертикальные координатные линии в диаграмме Шварцшильда.

Чтобы вычислить подходящее время интервал между двумя событиями на мировая линия одного из этих наблюдателей, мы должны интегрировать ${\displaystyle a(r)dt}$ по соответствующей линии координат:

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt}$

Координатные особенности

Оглядываясь назад на диапазоны координат выше, обратите внимание, что сингулярность координат в ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$отмечает расположение Северный полюс одной из наших статических вложенных сфер, а ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$ отмечает расположение Южный полюс. Как и для обычной полярной сферической карты на E³, по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать некоторую долготу (большой круг), чтобы действовать как нулевой меридиан ${\displaystyle \phi =0}$ и вырежьте это из диаграммы. В результате мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза ${\displaystyle t=t_{0}}$ включая ось ${\displaystyle r=0}$ и полуплоскость, идущая от этой оси.

Когда мы сказали выше, что ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ является векторным полем Киллинга, мы пропустили педантичный, но важный квалификатор, о котором мы думаем ${\displaystyle \phi }$ как циклический координировать и действительно думать о наших трех пространственноподобных векторах Киллинга, действующих на круглые сферы.

Возможно, конечно, ${\displaystyle r_{1}>0}$ или же ${\displaystyle r_{2}<\infty }$, в этом случае мы должны также вырезать область за пределами некоторого шара или внутри некоторого шара из области нашей диаграммы. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r.

Визуализация статических гиперпространств

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, можно встроить один из пространственных гиперпластиков. ${\displaystyle t=t_{0}}$ (они, конечно, все изометричны друг другу) в плоском евклидовом пространстве. Люди, которым трудно представить себе четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться сферической симметрией, чтобы подавить одну координату. Этого удобно достичь, установив ${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$. Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной радиальной координатной картой,

${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы заделать эту поверхность (или в кольцевой кольцо в E³, мы принимаем поле кадра в E³ который

1. определен на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику от пространства вложения,
2. адаптирован к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию ${\displaystyle f(r)}$.

А именно, рассмотрим параметризованную поверхность

${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$

Координатные векторные поля на этой поверхности равны

${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

Индуцированная метрика, унаследованная при ограничении евклидовой метрики на E³ к нашей параметризованной поверхности

${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы отождествить это с метрикой нашего гиперсреза, мы, очевидно, должны выбрать ${\displaystyle f(r)}$ такой, что

${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$

Возьмем несколько глупый пример, у нас может быть ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$.

Это работает для поверхностей, на которых истинные расстояния между двумя радиально разделенными точками равны больше чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше, мы должны вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E^1,2 вместо. Например, у нас может быть ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$. Иногда нам может понадобиться два или больше местный вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). В общем случае не следует ожидать получения Глобальный вложение в любое одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана).

Дело в том, что определяющая характеристика карты Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты - это как раз то, что нам нужно для выполнения (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперпластиков.

Метрический анзац

Приведенный выше элемент строки с ж,грамм рассматриваются как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда р, часто используется как показатель анзац при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрические теории гравитации ).

В качестве иллюстрации мы укажем, как вычислить соединение и кривизну, используя Метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем элемент строки a поле coframe,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=rd\theta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi }$

где мы рассматриваем ${\displaystyle a\,b}$ являются еще неопределенными гладкими функциями ${\displaystyle r}$. (Тот факт, что наше пространство-время допускает фрейм, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом сферически-симметричном лоренцевом многообразии).

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих кобазисных одноформ:

${\displaystyle d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}}$

${\displaystyle d\sigma ^{1}=0\,}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta }$

${\displaystyle d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

По сравнению с Картаном первое структурное уравнение (а точнее его условие интегрируемости),

${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$

мы угадываем выражения для одноформное соединение. (Шляпы - это всего лишь условное обозначение, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим кобазисным однократным формам, а не к координатным однократным формам. ${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$.)

Если вспомнить, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в ${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$, мы можем подтвердить, что шесть форм связи

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{2}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{3}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }$

(В этом примере только четыре из шести не обращаются в нуль.) Мы можем собрать эти однозначные формы в матрицу одноформ или, что еще лучше, в однозначную SO (1,3) -значную форму. Обратите внимание, что полученная матрица одноформных не совсем будет антисимметричный что касается SO (4) -значной однозначной формы; вместо этого нам нужно использовать понятие транспонирования, возникающее из Лоренцево сопряженный.

В-третьих, мы вычисляем внешние производные единичных форм связности и используем второе структурное уравнение

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$

для вычисления кривизны две формы. В-четвертых, используя формулу

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$

где Бары Баха указывают, что мы должны суммировать только шесть возрастающие пары индексов (я,j), мы можем считывать линейно независимые компоненты Тензор Римана по отношению к нашему coframe и его двойному поле кадра. Мы получаем:

${\displaystyle {R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}$

${\displaystyle {R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\displaystyle {R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}}$

${\displaystyle {R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

В-пятых, мы можем снизить индексы и организовать компоненты ${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$ в матрицу

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]}$

где E, L симметричны (в общем, шесть линейно независимых компонент), а B - бесследный (в общем, восемь линейно независимых компонентов), которые мы рассматриваем как представление линейного оператора в шестимерном векторном пространстве двух форм (в каждом событии). Отсюда мы можем прочитать Bel разложение относительно времениподобного единичного векторного поля ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$. В электрогравитационный тензор является

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$

В магнитогравитационный тензор тождественно исчезает, а топогравитационный тензор, откуда (с учетом того, что ${\displaystyle {\vec {X}}}$ является безвихревым), можно определить трехмерный тензор Римана пространственных гиперпространств:

${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

Все это справедливо для любого лоренцевого многообразия, но отметим, что в общей теории относительности тензор электрогравитации контролирует приливные напряжения на малых объектах, измеряемые наблюдателями, соответствующими нашей системе координат, а тензор магнитогравитации контролирует любые спин-спиновые силы на вращающихся объектах. , как измерено наблюдателями, соответствующими нашему кадру.

Двойной поле кадра нашего поля coframe

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Дело в том, что фактор ${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$ умножает только первую из трех ортонормированных космический вектор здесь означает, что диаграммы Шварцшильда пространственно не изотропный (кроме тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее появляются световые конусы (радиально сплющенные) или (радиально вытянутые). Это, конечно, просто еще один способ сказать, что диаграммы Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не точно представляет радиальное правильное расстояние.

Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда

Вот некоторые примеры точных решений, которые могут быть получены таким образом:

• внешний регион Вакуум Шварцшильда,
• то же самое, для Электровакуум Рейсснера – Нордстрема, который включает в себя предыдущий пример как частный случай,
• то же самое, для Рейсснер – Нордстрём – де Ситтер electrolambdavacuum, который включает предыдущий пример как частный случай,
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (которое моделирует внешний вид статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая является статическая сферически симметричная идеальная жидкость решение через сферическое место исчезновения давление к внешней области, которая локально изометрична части области вакуума Шварцшильда.

Обобщения

Естественно рассматривать нестатические, но сферически-симметричные пространства-времени с обобщенной картой Шварцшильда, в которой метрика принимает форму

${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наших круглых двух сферах, чтобы получить, например, стереографическая диаграмма Шварцшильда что иногда бывает полезно:

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}}$

Смотрите также

• статическое пространство-время,
• сферически симметричное пространство-время,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости,
• изотропные координаты, еще одна популярная диаграмма статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Гауссовы полярные координаты, менее распространенная альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве, простая диаграмма, действующая в пределах горизонта событий статической черной дыры.
• поля фрейма в общей теории относительности, чтобы узнать больше о полях фреймов и полях совместных фреймов,
• Bel разложение тензора Римана,
• конгруэнтность (общая теория относительности), чтобы узнать больше о сравнениях, таких как ${\displaystyle {\vec {X}}}$ над,
• Координаты Крускала – Секереса, карта, покрывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда, и хорошо ведется везде за пределами физической сингулярности,
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна, альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,

Примечания

1. ${\displaystyle \partial _{t}}$ - обозначение векторного поля, направленного во времениподобном направлении. Он написан так, чтобы напоминать дифференциальный оператор по t, потому что производные можно брать вдоль этого направления. Обозначение ${\displaystyle \partial _{x}}$ = ${\displaystyle \partial /\partial x}$ часто и обычно используется для обозначения векторного поля в касательный пучок.