Координаты Бойера – Линдквиста - Boyer–Lindquist coordinates

В математическом описании общая теория относительности, то Координаты Бойера – Линдквиста^[1] являются обобщением координат, используемых для метрика из Черная дыра Шварцшильда который можно использовать для выражения метрики Черная дыра Керра.

Гамильтониан движения пробной частицы в пространстве-времени Керра разделим в координатах Бойера – Линдквиста. Используя теорию Гамильтона – Якоби, можно получить четвертую постоянную движения, известную как Постоянная Картера.^[2]

Статья 1967 года, вводящая координаты Бойера-Линдквиста^[1] была посмертной публикацией Роберта Х. Бойера, убитого в 1966 г. Стрельба из башни Техасского университета.^[3][4]

Элемент линии

В линейный элемент для черной дыры с общим эквивалент массы ${\displaystyle M}$, угловой момент ${\displaystyle J}$, и зарядить ${\displaystyle Q}$ в координатах Бойера – Линдквиста и натуральные единицы (${\displaystyle G=c=1}$) является

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

куда

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2},}$ называется дискриминант,

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

и

${\displaystyle a={\frac {J}{M}},}$ называется Параметр Керра.

Обратите внимание, что в натуральных единицах ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle Q}$ у всех есть единицы длины. Этот элемент строки описывает Метрика Керра – Ньюмана. Здесь, ${\displaystyle M}$ следует интерпретировать как масса черной дыры, как ее видит наблюдатель с бесконечности, ${\displaystyle J}$ интерпретируется как угловой момент, и ${\displaystyle Q}$ в электрический заряд. Все эти параметры должны быть постоянными и фиксированными. Название дискриминант возникает потому, что он появляется как дискриминант квадратного уравнения, ограничивающего времяподобное движение частиц, вращающихся вокруг черной дыры, т.е. определяя эргосферу.

Преобразование координат из координат Бойера – Линдквиста ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \phi }$ в декартовых координатах ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Фирбейн

В Vierbein одноформный можно считать прямо из элемента строки:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\frac {\sqrt {\Delta }}{\rho }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)}$

${\displaystyle \sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }}}dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\rho \,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}}$

так что элемент строки дается

${\displaystyle ds^{2}=\sigma ^{a}\otimes \sigma ^{b}\eta _{ab}}$

куда ${\displaystyle \eta _{ab}}$ это плоское пространство Метрика Минковского.

Спиновое соединение

В без кручения спин-соединение ${\displaystyle \omega ^{ab}}$ определяется

${\displaystyle d\sigma ^{a}+\omega ^{ab}\wedge \sigma ^{c}\eta _{bc}=0}$

В тензор искривления дает разницу между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения. По соглашению, римановы многообразия всегда задаются геометриями без кручения; кручение часто используется для определения эквивалентной плоской геометрии.

Соединение вращения полезно, потому что оно обеспечивает промежуточную точку для вычисления кривизна двухформная:

${\displaystyle R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}}$

Это также наиболее подходящая форма для описания сцепления с спинор полей, и открывает дверь в твисторный формализм.

Все шесть компонентов спиновой связи не равны нулю. Это:^[5]

${\displaystyle \omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}}\left[r\sin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt {\Delta }}\cos \theta \,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[a^{2}\sin \theta \cos \theta \,\sigma ^{1}+r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{23}={\frac {\cot \theta }{\rho ^{3}}}\left[a{\sqrt {\Delta }}\sin \theta \,\sigma ^{0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]}$

Тензоры Римана и Риччи

Выписанный полностью тензор Римана довольно многословен; его можно найти в Frè.^[5] В Тензор Риччи принимает диагональный вид:

${\displaystyle {\mbox{Ric}}={\frac {Q^{2}}{\rho ^{4}}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание на расположение записи «минус один»: это полностью связано с электромагнитным вкладом. А именно, когда тензор электромагнитных напряжений ${\displaystyle F_{ab}}$ имеет только два отличных от нуля компонентов: ${\displaystyle F_{01}}$ и ${\displaystyle F_{23}}$, то соответствующий тензор энергии-импульса принимает форму

${\displaystyle T^{\mbox{Maxwell}}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}{4}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Приравнивая это к тензору энергии-импульса для гравитационного поля, получаем Электровакуумный раствор Керра-Ньюмана.

Рекомендации

1. Бойер, Роберт Х .; Линдквист, Ричард В. (1967). «Максимальное аналитическое расширение метрики Керра». Журнал математической физики. 8 (2): 265–281. Bibcode:1967JMP ..... 8..265B. Дои:10.1063/1.1705193.
2. Картер, Брэндон (1968). «Глобальная структура керровского семейства гравитационных полей». Физический обзор. 174 (5): 1559–1571. Bibcode:1968ПхРв..174.1559С. Дои:10.1103 / PhysRev.174.1559.
3. «Но для того, чтобы хотя бы попробовать эту работу, kerr and sachs». Герой курса. Английская современная школа. Получено 10 мая 2019.
4. "Роберт Гамильтон Бойер". Физика сегодня. 19 (9): 121. Сентябрь 1966 г. Дои:10.1063/1.3048457. Получено 11 мая 2019.
5. Пьетро Джузеппе Фре, "Гравитация, курс геометрии, том 2: Черные дыры, космология и введение в супергравитацию", (2013) Springer-Verlag

• Shapiro, S.L .; Теукольский, С. А. (1983). Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды: физика компактных объектов. Нью-Йорк: Вили. п. 357. ISBN  9780471873167.