Сферически симметричное пространство-время - Spherically symmetric spacetime

В физика, сферически симметричное пространство-время обычно используются для получения аналитических и численных решений Полевые уравнения Эйнштейна в присутствии радиально движущегося вещества или энергии. Поскольку сферически-симметричные пространства-времени по определению являются безвихревыми, они не являются реалистичными моделями черные дыры в природе. Однако их показатели значительно проще, чем показатели вращающегося пространства-времени, что значительно упрощает их анализ.

Сферически-симметричные модели не совсем неуместны: многие из них имеют Диаграммы Пенроуза похожи на вращающиеся пространства-времени, и они обычно имеют качественные особенности (такие как Коши горизонты ), на которые не влияет вращение. Одно из таких приложений - изучение массовая инфляция из-за встречных потоков падающего вещества внутри черной дыры.

Формальное определение

А сферически симметричное пространство-время это пространство-время чей группа изометрии содержит подгруппу, которая изоморфный к группа вращения SO (3) и орбиты этой группы являются 2-сферами (обычные 2-мерные сферы в 3-х мерном Евклидово пространство ). Затем изометрии интерпретируются как вращения, а сферически-симметричное пространство-время часто описывается как пространство-время, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбитальной 2-сфере (и эта индуцированная метрика должна быть кратной метрике 2-сферы). Условно метрика на двумерной сфере записывается в полярные координаты в качестве

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$,

и поэтому полная метрика включает член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия - характерная черта многих решений Полевые уравнения Эйнштейна из общая теория относительности, особенно Решение Шварцшильда и Решение Рейсснера – Нордстрема. Сферически-симметричное пространство-время можно охарактеризовать и иначе, а именно с помощью понятия Убивающие векторные поля, что в очень точном смысле сохранить метрику. Упомянутые выше изометрии на самом деле диффеоморфизмы локальных потоков векторных полей Киллинга и, таким образом, генерировать эти векторные поля. Для сферически-симметричного пространства-времени ${\displaystyle M}$, имеется ровно 3 вращающихся векторных поля Киллинга. Другими словами, размер Убийственная алгебра ${\displaystyle K(M)}$ равно 3; то есть, ${\displaystyle \dim K(M)=3}$. В общем, ни один из них не похож на время, поскольку это означало бы статическое пространство-время.

Известно (см. Теорема Биркгофа ), что любое сферически-симметричное решение уравнения вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного Решение Шварцшильда. Это означает, что внешняя область вокруг сферически симметричного гравитирующего объекта должна быть статический и асимптотически плоский.

Сферически симметричные метрики

Обычно используется сферические координаты ${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$, чтобы записать метрику ( линейный элемент ). Несколько карты координат возможны; к ним относятся:

• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты, в котором световые конусы круглые, поэтому полезны для изучения нулевая пыль.
• Гауссовы полярные координаты, иногда используется для изучения статических сферически симметричных совершенных жидкостей.
• Окружной радиус, указанный ниже, удобен для изучения инфляции массы.

Окружной радиус метрический

Один популярный показатель^[1], используемых при изучении массовая инфляция, является

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Здесь, ${\displaystyle g(\Omega )}$ стандартная метрика на двумерной сфере единичного радиуса ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$. Радиальная координата ${\displaystyle r}$ определяется так, чтобы это был окружной радиус, то есть так, чтобы правильная окружность на радиусе ${\displaystyle r}$является ${\displaystyle 2\pi r}$. При таком выборе координат параметр ${\displaystyle \beta _{t}}$ определяется так, что ${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$ - собственная скорость изменения окружного радиуса (т. е. где ${\displaystyle \tau }$ это подходящее время ). Параметр ${\displaystyle \beta _{r}}$ можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей раме; это становится явным в тетрадный формализм.

Ортонормированный тетрадный формализм

Обратите внимание, что указанная выше метрика записывается как сумма квадратов, и поэтому ее можно понимать как явное кодирование Vierbein, и, в частности, ортонормированная тетрада. То есть метрический тензор можно записать как откат из Метрика Минковского ${\displaystyle \eta _{ij}}$:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

где ${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$ является обратным вербейном. Здесь и далее принято соглашение, что римские индексы относятся к плоской ортонормированной тетрадной системе отсчета, а греческие индексы относятся к системе координат. Обратный vierbein может быть непосредственно прочитан из вышеуказанной метрики как

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

где подпись должна была быть ${\displaystyle (-+++)}$. Записанный в виде матрицы обратный вербейн имеет вид

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

Сам по себе vierbein является инверсией (-transpose) обратного vierbein

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

То есть, ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$ - единичная матрица.

Особенно простая форма вышеизложенного - главный мотивирующий фактор для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в системе координат тетрад, как

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Самые интересные из этих двух ${\displaystyle \partial _{t}}$ что является собственным временем в системе координат покоя, и ${\displaystyle \partial _{r}}$ которая является радиальной производной в системе покоя. По конструкции, как отмечалось ранее, ${\displaystyle \beta _{t}}$ была собственная скорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

Точно так же

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

который описывает градиент (в свободно падающей тетрадной системе отсчета) окружного радиуса в радиальном направлении. Это не общее единство; сравните, например, со стандартным решением Swarschild или решением Reissner – Nordström. Знак ${\displaystyle \beta _{r}}$ эффективно определяет, «какой путь вниз»; знак ${\displaystyle \beta _{r}}$ различает входящие и исходящие кадры, так что ${\displaystyle \beta _{r}>0}$ это входящий фрейм, и ${\displaystyle \beta _{r}<0}$ это исходящий фрейм.

Эти два соотношения для окружного радиуса дают еще одну причину, по которой эта конкретная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивно понятную характеристику.

Форма подключения

В форма подключения в тетрадной системе отсчета можно записать через Символы Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$ в тетрадной системе отсчета, которые задаются

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна

Полный набор выражений для Тензор Римана, то Тензор Эйнштейна и й Кривизна Вейля Скаляр можно найти в Гамильтон и Авелино.^[1] Уравнения Эйнштейна становятся

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

куда ${\displaystyle \nabla _{t}}$ ковариантная производная по времени (и ${\displaystyle \nabla }$ в Леви-Чивита связь ), ${\displaystyle p}$ радиальное давление (нет изотропное давление!) и ${\displaystyle f}$ радиальный поток энергии. Масса ${\displaystyle M(r)}$ это Масса Миснера-Торна или же внутренняя масса, данный

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Поскольку эти уравнения фактически двумерны, их можно решить без огромных трудностей для различных предположений о природе падающего материала (то есть, для предположения о сферически-симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ плазма или темная материя высокой или низкой температуры, т.е. материал с различными уравнения состояния.)

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Симметрии пространства-времени
• Пространство Де Ситтера

Рекомендации

1. Эндрю Дж. С. Гамильтон и Педро П. Авелино, «Физика релятивистской встречной нестабильности, которая вызывает инфляцию масс внутри черных дыр» (2008), arXiv:0811.1926

• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-87033-2. См. Раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии..