Топологический квантовый компьютер - Topological quantum computer

А топологический квантовый компьютер теоретический квантовый компьютер который использует двумерный квазичастицы называется анйоны, чья мировые линии обойти друг друга, чтобы сформировать косы в трехмерном пространство-время (то есть одно временное плюс два пространственных измерения). Эти косы образуют логические ворота из которых состоит компьютер. Преимущество квантового компьютера на основе квантовых кос перед использованием захваченных квантовых частиц заключается в том, что первый намного более стабилен. Небольшие кумулятивные возмущения могут вызвать изменение квантовых состояний. декогерировать и вносят ошибки в вычисления, но такие небольшие возмущения не меняют косы. топологические свойства. Это похоже на усилие, необходимое для того, чтобы разрезать веревку и снова прикрепить концы, чтобы сформировать другую косу, в отличие от шара (представляющего обычную квантовую частицу в четырехмерном пространстве-времени), врезающегося в стену. Алексей Китаев предложили топологические квантовые вычисления в 1997 году. Хотя элементы топологического квантового компьютера происходят из чисто математической области, эксперименты в дробные квантовые системы Холла указать, что эти элементы могут быть созданы в реальном мире с помощью полупроводники сделано из арсенид галлия при температуре около полный ноль и подвергся сильному магнитные поля.

Введение

Anyons являются квазичастицами в двумерном пространстве. Никто не фермионы ни бозоны, но, как и фермионы, они не могут находиться в одном и том же состоянии. Таким образом мировые линии двух эйонов не могут пересекаться или сливаться, что позволяет их путям образовывать устойчивые косы в пространстве-времени. Аньоны могут образовываться из возбуждений в холодном двумерном электронном газе в очень сильном магнитном поле и нести дробные единицы магнитного потока. Это явление называется дробный квантовый эффект Холла. В типичных лабораторных системах электронный газ занимает тонкий полупроводниковый слой, расположенный между слоями арсенида алюминия-галлия.

При сплетении анионов трансформация квантового состояния системы зависит только от топологического класса траекторий анионов (которые классифицируются в соответствии с группа кос ). Следовательно, квантовая информация, которая хранится в состоянии системы, невосприимчива к небольшим ошибкам в траекториях.^[1] В 2005 году, Санкар Дас Шарма, Майкл Фридман, и Четан Наяк предложил квантовое устройство Холла, которое реализует топологический кубит. В 2005 году Владимир Дж. Гольдман, Фернандо Э. Камино и Вэй Чжоу заявили, что создали и наблюдали первое экспериментальное свидетельство использования дробного квантового эффекта Холла для создания реальных энионов, что стало ключевым событием в области топологических квантовых компьютеров, хотя другие предполагали их результаты могли быть результатом явлений, не связанных с никем. Неабелева Anyons, вид, необходимый для топологических квантовых компьютеров, еще не подтвержден экспериментально. Было найдено возможное экспериментальное доказательство,^[2] но выводы остаются оспоренными.^[3]

Топологический и стандартный квантовый компьютер

Топологические квантовые компьютеры эквивалентны по вычислительной мощности другим стандартным моделям квантовых вычислений, в частности квантовая схема модели и квантовая машина Тьюринга модель.^[4] То есть любая из этих моделей может эффективно моделировать любые другие. Тем не менее, некоторые алгоритмы могут быть более естественными для топологической модели квантового компьютера. Например, алгоритмы оценки Многочлен Джонса были сначала разработаны в топологической модели, и только позже преобразованы и расширены в стандартной модели квантовой схемы.

Расчеты

Чтобы соответствовать своему названию, топологический квантовый компьютер должен обеспечивать уникальные вычислительные свойства, обещанные традиционным квантовым компьютером, который использует захваченные квантовые частицы. К счастью, в 2000 году Майкл Х. Фридман, Алексей Китаев, Майкл Дж. Ларсен, а Чжэнхань Ван доказал, что топологический квантовый компьютер в принципе может выполнять любые вычисления, которые может выполнять обычный квантовый компьютер, и наоборот.^[4][5][6]

Они обнаружили, что обычное квантовое компьютерное устройство, при условии безошибочной работы его логических схем, даст решение с абсолютным уровнем точности, тогда как топологическое квантовое вычислительное устройство с безупречной работой даст решение только с конечным уровнем точности. точность. Однако любой уровень точности ответа можно получить, добавив к топологическому квантовому компьютеру больше витков (логических схем) в простой линейной зависимости. Другими словами, разумное увеличение элементов (скручивания тесьмы) позволяет добиться высокой степени точности ответа. Фактические вычисления [вентили] выполняются краевыми состояниями дробного квантового эффекта Холла. Это делает важные модели одномерных энионов. В одном измерении пространства энионы определены алгебраически.

Исправление ошибок и контроль

Несмотря на то, что квантовые косы по своей природе более стабильны, чем захваченные квантовые частицы, все же существует необходимость в контроле ошибок, вызывающих тепловые флуктуации, которые создают случайные паразитные пары анионов, которые мешают соседним косам. Управление этими ошибками - это просто вопрос разделения энионов на расстояние, на котором частота мешающих отклонений падает почти до нуля. Моделирование динамики топологического квантового компьютера может быть многообещающим методом реализации отказоустойчивых квантовых вычислений даже со стандартной схемой обработки квантовой информации. Рауссендорф, Харрингтон и Гойал изучили одну модель и получили многообещающие результаты моделирования.^[7]

Пример: вычисления с анонимами Фибоначчи

Одним из ярких примеров топологических квантовых вычислений является система фибоначчи аньоны. В контексте конформной теории поля энионы Фибоначчи описываются моделью Янга – Ли, частным случаем SU (2) модели Теория Черна – Саймонса и Модели Весса – Зумино – Виттена..^[8] Эти анонимы можно использовать для создания общих ворот для топологических квантовых вычислений. Создание модели состоит из трех основных шагов:

• Выберите нашу основу и ограничьте наши Гильбертово пространство
• Сплетите аньоны вместе
• Соедините эйоны в конце и определите, как они соединяются, чтобы прочитать вывод системы.

Государственная подготовка

Энионы Фибоначчи характеризуются тремя качествами:

1. Они имеют топологический заряд ${displaystyle au }$. В этом обсуждении мы рассматриваем еще одно обвинение, называемое ${displaystyle 1}$ который является «вакуумным» зарядом, если аннигилируют друг с другом.
2. Каждый из этих энионов - своя собственная античастица. ${displaystyle au = au ^{*}}$ и ${displaystyle 1=1^{*}}$.
3. Если их подвести близко друг к другу, они «сольются» нетривиальным образом. В частности, правила «слияния»:
   1. ${displaystyle 1otimes 1=1}$
   2. ${displaystyle 1otimes au = au otimes 1= au }$
   3. ${displaystyle au otimes au =1oplus au }$
4. Многие свойства этой системы можно объяснить аналогично свойствам двух частиц со спином 1/2. В частности, мы используем те же тензорное произведение ${displaystyle otimes }$ и прямая сумма ${displaystyle oplus }$ операторы.

Последнее правило «слияния» можно распространить на систему из трех энионов:

${displaystyle au otimes au otimes au = au otimes (1oplus au )= au otimes 1oplus au otimes au = au oplus 1oplus au =1oplus 2cdot au }$

Таким образом, слияние трех энионов даст окончательное состояние полного заряда. ${displaystyle au }$ 2 способами, или заряд ${displaystyle 1}$ ровно одним способом. Мы используем три состояния для определения нашей основы.^[9] Однако, поскольку мы хотим закодировать эти три энионных состояния как суперпозицию 0 и 1, нам нужно ограничить базис двумерным гильбертовым пространством. Таким образом, мы рассматриваем только два состояния с общим зарядом ${displaystyle au }$. Этот выбор чисто феноменологический. В этих состояниях мы группируем два крайних левых эниона в «контрольную группу» и оставляем крайний правый энион как «невычислительный энион». Мы классифицируем ${displaystyle |0angle }$ состояние как тот, где контрольная группа имеет общий 'плавленый' заряд ${displaystyle 1}$, и состояние ${displaystyle |1angle }$ имеет контрольную группу с общим «слитным» зарядом ${displaystyle au }$. Для более полного описания см. Наяк.^[9]

Ворота

Следуя приведенным выше идеям, адиабатически сплетение этих эйонов друг вокруг друга с результатом унитарного преобразования. Эти операторы кос являются результатом двух подклассов операторов:

• Матрица F
• Матрица R

Матрицу R можно концептуально представить как топологическую фазу, которая передается энионам во время плетения. Когда аньоны наматываются друг на друга, они набирают некоторую фазу из-за Ааронов-Бом эффект.

Матрица F является результатом физического вращения энионов. Когда они переплетаются между собой, важно понимать, что два нижних эниона - контрольная группа - по-прежнему будут различать состояние кубита. Таким образом, плетение эйонов изменит принадлежность эйонов к контрольной группе и, следовательно, изменит основу. Мы оцениваем энионы, всегда сначала объединяя вместе контрольную группу (нижние энионы), так что замена энионов приведет к вращению системы. Потому что эти аньоны неабелев, порядок анионов (которые находятся в контрольной группе) будет иметь значение, и как таковые они преобразуют систему.

Полный оператор косы может быть получен как:

${displaystyle B=F^{-1}RF}$

Чтобы математически построить операторы F и R, мы можем рассмотреть перестановки этих операторов F и R. Мы знаем, что если мы последовательно изменим основу, на которой мы работаем, это в конечном итоге приведет нас к той же основе. Точно так же мы знаем, что если мы заплетем нити вокруг друг друга определенное количество раз, это приведет к тому же состоянию. Эти аксиомы называются пятиугольник и гексагональные аксиомы соответственно, как выполнение операции можно визуализировать с помощью пятиугольника / шестиугольника преобразования состояний. Хотя математически сложно,^[10] к ним можно подойти гораздо более успешно визуально.

С помощью этих операторов кос мы можем наконец формализовать понятие кос в терминах того, как они действуют в нашем гильбертовом пространстве, и построить произвольные универсальные квантовые вентили.^[11]

Смотрите также

• Теория Гинзбурга – Ландау
• Представление Хусими Q
• Случайная матрица
• Топологический дефект
• Торический код

использованная литература

1. Кастельвекки, Давиде (3 июля 2020 г.). «Добро пожаловать, аньоны! Физики нашли лучшие доказательства давно разыскиваемых 2D-структур». Природа. Получено 23 сентября, 2020. Саймон и другие разработали сложные теории, использующие анионы в качестве платформы для квантовых компьютеров. Пары квазичастиц могут закодировать в своей памяти информацию о том, как они вращались друг вокруг друга. И поскольку дробная статистика является «топологической» - она ​​зависит от того, сколько раз один энион обходил другой, а не от незначительных изменений его пути, - на нее не влияют крошечные возмущения. Эта надежность может упростить масштабирование топологических квантовых компьютеров, чем нынешние технологии квантовых вычислений, которые подвержены ошибкам.
2. Виллет, Р. Л. (15 января 2013 г.). "Осцилляции Ааронова – Бома, настроенные на магнитное поле, и свидетельства существования неабелевых энионов при ν = 5/2". Письма с физическими проверками. 111 (18): 186401. arXiv:1301.2639. Bibcode:2013ПхРвЛ.111р6401В. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.186401. PMID  24237543.
3. фон Кейзерлинг, Курт; Саймон, С. Х .; Бернд, Розенов (2015). "Улучшенная кулоновская связь объемного края в дробных интерферометрах Фабри-Перо". Письма с физическими проверками. 115 (12): 126807. arXiv:1411.4654. Bibcode:2015ПхРвЛ.115л6807В. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.126807. PMID  26431008.
4. Фридман, Майкл Х .; Ларсен, Майкл; Ван, Чжэнхань (01.06.2002). «Модульный функтор, универсальный для квантовых вычислений». Коммуникации по математической физике. 227 (3): 605–622. arXiv:Quant-ph / 0001108. Дои:10.1007 / s002200200645. ISSN  0010-3616.
5. Фридман, Майкл Х .; Китаев, Алексей; Ван, Чжэнхань (01.06.2002). "Моделирование топологических теорий поля на квантовых компьютерах". Коммуникации по математической физике. 227 (3): 587–603. arXiv:Quant-ph / 0001071. Дои:10.1007 / s002200200635. ISSN  0010-3616.
6. Фридман, Майкл; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл; Ван, Чжэнхань (01.01.2003). «Топологические квантовые вычисления». Бюллетень Американского математического общества. 40 (1): 31–38. arXiv:Quant-ph / 0101025. Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00964-3. ISSN  0273-0979.
7. Raussendorf, R .; Harrington, J .; Гоял, К. (01.01.2007). «Топологическая отказоустойчивость при квантовом вычислении состояния кластера». Новый журнал физики. 9 (6): 199. arXiv:Quant-ph / 0703143. Bibcode:2007NJPh .... 9..199R. Дои:10.1088/1367-2630/9/6/199. ISSN  1367-2630.
8. Требст, Саймон; Тройер, Матиас; Ван, Чжэнхань; Людвиг, Андреас В. В. (2008). «Краткое введение в аньоновские модели Фибоначчи». Приложение "Прогресс теоретической физики". 176: 384–407. arXiv:0902.3275. Bibcode:2008PThPS.176..384T. Дои:10.1143 / PTPS.176.384.
9. Наяк, Четан (2008). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики. 80 (3): 1083–1159. arXiv:0707.1889. Bibcode:2008РвМП ... 80.1083Н. Дои:10.1103 / RevModPhys.80.1083.
10. Эрик Пакетт. Топологические квантовые вычисления с анионами, 1, 2009. Категории, логика и основы физики IV.
11. Явные косы, которые выполняют конкретные квантовые вычисления с анионами Фибоначчи, были даны Bonesteel, N.E .; Хормози, Л .; Zikos, G .; Simon, S. H .; Уэст, К. У. (2005). «Топологии кос для квантовых вычислений». Письма с физическими проверками. 95 (14): 140503. arXiv:Quant-ph / 0505065. Bibcode:2005ПхРвЛ..95н0503Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.140503. PMID  16241636.

дальнейшее чтение

• Коллинз, Грэм П. (апрель 2006 г.). «Вычисления с квантовыми узлами» (PDF). Scientific American.
• Шарма, Шанкар Дас; Фридман, Майкл; Наяк, Четан (2005). «Топологически защищенные кубиты от возможного неабелевого дробного квантового холловского состояния». Письма с физическими проверками. 94 (16): 166802. arXiv:cond-mat / 0412343. Bibcode:2005ПхРвЛ..94п6802Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.94.166802. PMID  15904258.
• Наяк, Четан; Саймон, Стивен Х.; Стерн, Ады; Фридман, Майкл; Шарма, Санкар Дас (2008). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики. 80 (3): 1083–1159. arXiv:0707.1889. Bibcode:2008РвМП ... 80.1083Н. Дои:10.1103 / RevModPhys.80.1083.
• Кунду, А. (1999). «Точное решение бозе-газа с двойной дельта-функцией через взаимодействующий энионный газ». Phys. Rev. Lett. 83 (7): 1275–1278. arXiv:hep-th / 9811247. Bibcode:1999ПхРвЛ..83.1275К. Дои:10.1103 / Physrevlett.83.1275.
• Batchelor, M.T .; Гуань, X. W ..; Элькерс, Н. (2006). «Одномерный взаимодействующий энионный газ: низкоэнергетические свойства и статистика исключения Холдейна» (PDF). Phys. Rev. Lett. 96 (21): 210402. arXiv:cond-mat / 0603643. Bibcode:2006ПхРвЛ..96у0402Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.96.210402. PMID  16803221.
• Жирардо, М. Д. (2006). «Аньон-фермионное отображение и приложения к ультрахолодным газам в герметичных волноводах». Phys. Rev. Lett. 97 (10): 100402. arXiv:cond-mat / 0604357. Bibcode:2006PhRvL..97j0402G. Дои:10.1103 / Physrevlett.97.100402. PMID  17025794.
• Аверин, Д. В .; Нестеров, Дж. А. (2007). «Кулоновская блокада анионов в квантовых антидотах». Phys. Rev. Lett. 99 (9): 096801. arXiv:0704.0439. Bibcode:2007PhRvL..99i6801A. Дои:10.1103 / Physrevlett.99.096801. PMID  17931025.
• Саймон, Стивен Х. «Квантовые вычисления с изюминкой».