Теория Гинзбурга – Ландау - Ginzburg–Landau theory

Не путать с Теория Ландау.

В физика, Теория Гинзбурга – Ландау, часто называют Теория Ландау – Гинзбурга, названный в честь Виталий Лазаревич Гинзбург и Лев Ландау, математическая физическая теория, используемая для описания сверхпроводимость. В своей первоначальной форме она постулировалась как феноменологическая модель, которая могла описывать сверхпроводники первого типа без изучения их микроскопических свойств. Один сверхпроводник GL-типа - знаменитый YBCO, и вообще все купраты.^[1]

Позже версия теории Гинзбурга – Ландау была выведена из Бардин – Купер – Шриффер микроскопическая теория Лев Горьков, таким образом показывая, что он также входит в некоторый предел микроскопической теории и дает микроскопическую интерпретацию всех ее параметров. Теории также можно дать общую геометрическую установку, поместив ее в контекст Риманова геометрия, где во многих случаях можно дать точные решения. Затем этот общий параметр распространяется на квантовая теория поля и теория струн опять же из-за его разрешимости и тесной связи с другими подобными системами.

Введение

На основе Ландо ранее установленная теория второго порядка фазовые переходы, Гинзбург и Ландо утверждал, что свободная энергия, F, сверхпроводника вблизи сверхпроводящего перехода можно выразить через сложный параметр порядка поле ψ, которая отлична от нуля ниже фазового перехода в сверхпроводящее состояние и связана с плотностью сверхпроводящего компонента, хотя в исходной статье этому параметру не было дано прямой интерпретации. Предполагая малость |ψ| и малости ее градиентов свободная энергия имеет форму теории поля.

${\displaystyle F=F_{n}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m}}\left|\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{2\mu _{0}}}}$

где F_п свободная энергия в нормальной фазе, α и β в исходном аргументе рассматривались как феноменологические параметры, м эффективная масса, е это заряд электрона, А это магнитный векторный потенциал, и ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ - магнитное поле. Минимизируя свободную энергию по отношению к вариациям параметра порядка и векторного потенциала, мы приходим к Уравнения Гинзбурга – Ландау

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} \;\;;\;\;\mathbf {j} ={\frac {2e}{m}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)\psi \right\}}$

где j обозначает плотность электрического тока без рассеяния, а Re то реальная часть. Первое уравнение, которое имеет некоторое сходство с не зависящим от времени Уравнение Шредингера, но принципиально отличается из-за нелинейного члена - определяет параметр порядка, ψ. Второе уравнение дает сверхпроводящий ток.

Простая интерпретация

Рассмотрим однородный сверхпроводник, в котором нет сверхпроводящего тока, и уравнение для ψ упрощается до:

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.\,}$

Это уравнение имеет тривиальное решение: ψ = 0. Это соответствует нормальному проводящему состоянию, то есть для температур выше температуры сверхпроводящего перехода, Т > Т_c.

Ниже температуры сверхпроводящего перехода ожидается, что вышеуказанное уравнение будет иметь нетривиальное решение (то есть ψ ≠ 0). Исходя из этого предположения, приведенное выше уравнение можно преобразовать в:

${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

Когда правая часть этого уравнения положительна, существует ненулевое решение для ψ (помните, что величина комплексного числа может быть положительной или нулевой). Этого можно добиться, если предположить следующую температурную зависимость α: α(Т) = α₀ (Т − Т_c) с α₀/β > 0:

• Выше температуры сверхпроводящего перехода Т > Т_c, выражение α(Т)/β положительно, а правая часть приведенного выше уравнения отрицательна. Величина комплексного числа должна быть неотрицательным числом, поэтому только ψ = 0 решает уравнение Гинзбурга – Ландау.
• Ниже температуры сверхпроводящего перехода Т < Т_c, правая часть приведенного выше уравнения положительна и существует нетривиальное решение для ψ. Более того,

${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}$

это ψ приближается к нулю, когда Т становится ближе к Т_c снизу. Такое поведение типично для фазового перехода второго рода.

В теории Гинзбурга – Ландау было предложено, чтобы электроны, вносящие вклад в сверхпроводимость, образовывали сверхтекучий.^[2] В этой интерпретации |ψ|² указывает долю электронов, которые сконденсировались в сверхтекучую жидкость.^[2]

Длина когерентности и глубина проникновения

Уравнения Гинзбурга – Ландау предсказали две новые характерные длины в сверхпроводнике. Первая характерная длина была названа длина когерентности, ξ. За Т > Т_c (нормальная фаза), определяется выражением

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.}$

в то время как для Т < Т_c (сверхпроводящая фаза), где это более актуально, это определяется как

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.}$

Он устанавливает экспоненциальный закон, согласно которому малые возмущения плотности сверхпроводящих электронов восстанавливают свое равновесное значение ψ₀. Таким образом, эта теория характеризует все сверхпроводники двумя масштабами длины. Второй - это Глубина проникновения, λ. Ранее он был введен братьями из Лондона в их Лондонская теория. Выражаясь в параметрах модели Гинзбурга – Ландау, это

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m\beta }{4\mu _{0}e^{2}|\alpha |}}},}$

где ψ₀ - равновесное значение параметра порядка в отсутствие электромагнитного поля. Глубина проникновения задает экспоненциальный закон, согласно которому внешнее магнитное поле затухает внутри сверхпроводника.

Оригинальная идея по параметру κ принадлежит Ландау. Соотношение κ = λ/ξ в настоящее время известен как Параметр Гинзбурга – Ландау. Ландау предложил, чтобы Сверхпроводники I типа те, у которых 0 < κ < 1/√2, и Сверхпроводники II типа те, у кого κ > 1/√2.

Колебания в модели Гинзбурга – Ландау.

В фаза перехода от нормального состояния имеет второй порядок для сверхпроводников типа II с учетом флуктуаций, как продемонстрировали Дасгупта и Гальперин, тогда как для сверхпроводников типа I он имеет первый порядок, как продемонстрировали Гальперин, Любенский и Ма.

Классификация сверхпроводников на основе теории Гинзбурга – Ландау.

В исходной статье Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от энергии границы раздела между нормальным и сверхпроводящим состояниями. В Государство Мейснера выходит из строя, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот пробой. В Сверхпроводники I типа, сверхпроводимость внезапно разрушается, когда напряженность приложенного поля превышает критическое значение ЧАС_c. В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние^[3] состоящий из узора в стиле барокко^[4] областей нормального материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащего поля. В Сверхпроводники II типа, повышая значение приложенного поля выше критического значения ЧАС_c1 приводит к смешанному состоянию (также известному как состояние вихря), в котором увеличивается количество магнитный поток проникает в материал, но сопротивление прохождению электрического тока не остается, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля ЧАС_c2, сверхпроводимость разрушена. Смешанное состояние на самом деле вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, которые иногда называют флюксоны потому что поток, переносимый этими вихрями, равен квантованный. Самый чистый элементаль сверхпроводники, кроме ниобий и углеродные нанотрубки, относятся к типу I, в то время как почти все нечистые и сложные сверхпроводники относятся к типу II.

Важнейший вывод теории Гинзбурга – Ландау был сделан Алексей Абрикосов в 1957 г. Он использовал теорию Гинзбурга – Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике II типа в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок потока. вихри.^[5]

Геометрическая формулировка

Функционал Гинзбурга – Ландау можно сформулировать в общем случае комплексное векторное расслоение через компактный Риманово многообразие.^[6] Это тот же функционал, что и приведенный выше, преобразованный в обозначения, обычно используемые в римановой геометрии. Во многих интересных случаях можно показать те же явления, что и выше, в том числе: Абрикосовские вихри (см. обсуждение ниже).

Для сложного векторного расслоения ${\displaystyle E}$ над римановым многообразием ${\displaystyle M}$ с волокном ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, параметр порядка ${\displaystyle \psi }$ понимается как раздел векторного расслоения ${\displaystyle E}$. Тогда функционал Гинзбурга – Ландау является Лагранжиан для этого раздела:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

Здесь используются следующие обозначения. Волокна ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ предполагается, что они оснащены Эрмитский внутренний продукт ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ так что квадрат нормы записывается как ${\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle }$. Феноменологические параметры ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ были поглощены, так что член потенциальной энергии является квартикой потенциал мексиканской шляпы, т.е. экспонирование спонтанное нарушение симметрии, с минимумом при некотором реальном значении ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$. Интеграл явно по объемная форма

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$

для ${\displaystyle m}$-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ с определителем ${\displaystyle |g|}$ метрического тензора ${\displaystyle g}$.

В ${\displaystyle D=d+A}$ это подключение одноформное и ${\displaystyle F}$ соответствующий кривизна 2-форма (это не то же самое, что свободная энергия ${\displaystyle F}$ отказался от вершины; Вот, ${\displaystyle F}$ соответствует электромагнитный тензор напряженности поля ). В ${\displaystyle A}$ соответствует векторный потенциал, но в целом неабелева когда ${\displaystyle n>1}$, и нормализуется иначе. В физике связь обычно записывается как ${\displaystyle d-ieA}$ для электрического заряда ${\displaystyle e}$ и векторный потенциал ${\displaystyle A}$; в римановой геометрии удобнее опустить ${\displaystyle e}$ (и все другие физические единицы) и возьмите ${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$ быть однотипный принимая ценности в Алгебра Ли соответствующей группе симметрии волокна. Здесь группа симметрии Солнце), так как это оставляет внутренний продукт ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ инвариантный; так вот, ${\displaystyle A}$ форма, принимающая значения в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$.

Кривизна ${\displaystyle F}$ обобщает напряженность электромагнитного поля в неабелев сеттинг, поскольку форма кривизны из аффинная связь на векторный набор . Это условно записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=D\circ D\\&=dA+A\wedge A\\&=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}$

То есть каждый ${\displaystyle A_{\mu }}$ является ${\displaystyle n\times n}$ кососимметричная матрица. (См. Статью о метрическое соединение для дополнительной артикуляции этого конкретного обозначения.) Чтобы подчеркнуть это, отметим, что первый член функционала Гинзбурга – Ландау, включающий только напряженность поля, равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}$

что просто Действие Янга – Миллса на компактном римановом многообразии.

В Уравнения Эйлера – Лагранжа. для функционала Гинзбурга – Ландау являются уравнения Янга – Миллса

${\displaystyle D*D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

и

${\displaystyle D*F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

где ${\displaystyle *}$ это Звездный оператор Ходжа, т.е. полностью антисимметричный тензор. Обратите внимание, что они тесно связаны с Уравнения Янга – Миллса – Хиггса.

Конкретные результаты

В теория струн, обычно изучается функционал Гинзбурга – Ландау для многообразия ${\displaystyle M}$ будучи Риманова поверхность, и принимая ${\displaystyle n=1}$, т.е. а линейный пакет.^[7] Феномен Абрикосовские вихри сохраняется в этих общих случаях, включая ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$, где можно указать любое конечное множество точек, где ${\displaystyle \psi }$ исчезает, включая множественность.^[8] Доказательство обобщается на произвольные римановы поверхности и Кэлеровы многообразия.^{[9][10][11][12]} В пределе слабой связи можно показать, что ${\displaystyle \vert \psi \vert }$ сходится равномерно до 1, а ${\displaystyle D\psi }$ и ${\displaystyle dA}$ сходятся равномерно к нулю, а кривизна становится суммой по распределениям дельта-функций в вихрях.^[13] Сумма по вихрям с кратностью как раз равна степени линейного расслоения; в результате можно записать линейное расслоение на римановой поверхности как плоское расслоение с N особые точки и ковариантно постоянное сечение.

Когда многообразие четырехмерно, обладающее вращение^c структура, то можно написать очень похожий функционал, Функционал Зайберга – Виттена, который можно анализировать аналогичным образом, и который обладает многими похожими свойствами, включая самодуальность. Когда такие системы интегрируемый, они изучаются как Системы Хитчина.

Самодуальность

Когда коллектор ${\displaystyle M}$ это Риманова поверхность ${\displaystyle M=\Sigma }$, функционал можно переписать так, чтобы явно показать самодуальность. Этого можно достичь, написав внешняя производная как сумма Операторы Dolbeault ${\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}}$. Точно так же и пространство ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ одноформ над римановой поверхностью распадается на пространство, которое голоморфно, и пространство, которое антиголоморфно: ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}}$, так что образуется в ${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$ голоморфны в ${\displaystyle z}$ и не зависят от ${\displaystyle {\overline {z}}}$; и наоборот за ${\displaystyle \Omega ^{0,1}}$. Это позволяет записать векторный потенциал в виде ${\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}}$ и аналогично ${\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}}$ с ${\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}}$ и ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}$.

В случае ${\displaystyle n=1}$, где волокно ${\displaystyle \mathbb {C} }$ так что пучок линейный пакет, напряженность поля аналогично можно записать как

${\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}$

Обратите внимание, что в используемом здесь соглашении о знаках оба ${\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}}$ и ${\displaystyle F}$ чисто мнимые (а именно U (1) генерируется ${\displaystyle e^{i\theta }}$ так что производные чисто мнимые). Тогда функционал становится

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

Под интегралом понимается объемная форма

${\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}}$,

так что

${\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}$

это общая площадь поверхности ${\displaystyle \Sigma }$. В ${\displaystyle *}$ это Ходжа звезда, как прежде. Степень ${\displaystyle \operatorname {deg} L}$ линейного пакета ${\displaystyle L}$ по поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ является

${\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}$

где ${\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}$ это первый Черн класс.

Лагранжиан минимизируется (стационарен), когда ${\displaystyle \psi ,A}$ решить уравнения Гинзберга – Ландау

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это оба дифференциальных уравнения первого порядка, явно самодуальные. Интегрируя второй из них, можно быстро обнаружить, что нетривиальное решение должно подчиняться

${\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma }$.

Грубо говоря, это можно интерпретировать как верхний предел плотности абрикосовских вихрей. Также можно показать, что решения ограничены; нужно иметь ${\displaystyle |\psi |\leq \sigma }$.

Теории Ландау – Гинзбурга в теории струн.

В физика элементарных частиц, Любые квантовая теория поля с уникальной классической состояние вакуума и потенциальная энергия с вырожденная критическая точка называется теорией Ландау – Гинзбурга. Обобщение на N = (2,2) суперсимметричные теории в двух измерениях пространства-времени был предложен Джумрун Вафа и Николас Уорнер в статье за ​​ноябрь 1988 г. Катастрофы и классификация конформных теорий, в этом обобщении предполагается, что сверхпотенциал обладают вырожденной критической точкой. В том же месяце вместе с Брайан Грин они утверждали, что эти теории связаны поток ренормгруппы к сигма модели на Многообразия Калаби – Яу. в газете Многообразия Калаби – Яу и потоки ренормгруппы.. В своей статье 1993 г. Фазы N = 2 теории в двух измерениях, Эдвард Виттен утверждал, что теории Ландау – Гинзбурга и сигма-модели на многообразиях Калаби – Яу являются разными фазами одной и той же теории. Конструкция такой двойственности была дана путем связывания теории Громова – Виттена орбифолдов Калаби – Яу с теорией FJRW и аналогичной теорией Ландау – Гинзбурга «FJRW» в Уравнение Виттена, зеркальная симметрия и квантовая теория сингулярностей. Позднее сигма-модели Виттена были использованы для описания низкоэнергетической динамики 4-мерных калибровочных теорий с монополями, а также бранных конструкций.^[14]

Смотрите также

• Пиннинг флюса
• Уравнение Гросса – Питаевского
• Теория Ландау
• Реакция – диффузия системы
• Квантовый вихрь
• Связка Хиггса

использованная литература

1. Wesche, Глава 50: Высокотемпературные сверхпроводники, Springer 2017, стр. 1233, содержится в Casap, Kapper Handbook
2. Гинзбург В.Л. (июль 2004 г.). «О сверхпроводимости и сверхтекучести (что мне удалось и что не удалось сделать), а также о« физическом минимуме »в начале 21 века». ХимФисХим. 5 (7): 930–945. Дои:10.1002 / cphc.200400182. PMID  15298379.
3. Лев Д. Ландау; Евгений М. Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред.. Курс теоретической физики. 8. Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2634-7.
4. Дэвид Дж. Э. Каллавей (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика B. 344 (3): 627–645. Bibcode:1990НуФБ.344..627С. Дои:10.1016 / 0550-3213 (90) 90672-Z.
5. Абрикосов А.А. (1957). Магнитные свойства сверхпроводящих сплавов. Журнал физики и химии твердого тела, 2(3), 199–208.
6. Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга – Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (Третье изд.). Springer-Verlag. стр.373 –381. ISBN  3-540-42627-2.
7. Хитчин, Н. Дж. (1987). "Уравнения самодуальности на римановой поверхности". Труды Лондонского математического общества. s3-55 (1): 59–126. Дои:10.1112 / плмс / с3-55.1.59. ISSN  0024-6115.
8. Таубс, Клиффорд Генри (1980). "Произвольные N-вихревые решения уравнений Гинзбурга-Ландау первого порядка". Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 72 (3): 277–292. Дои:10.1007 / bf01197552. ISSN  0010-3616. S2CID  122086974.
9. Брэдлоу, Стивен Б. (1990). «Вихри в голоморфных линейных расслоениях над замкнутыми кэлеровыми многообразиями». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 135 (1): 1–17. Дои:10.1007 / bf02097654. ISSN  0010-3616. S2CID  59456762.
10. Брэдлоу, Стивен Б. (1991). «Специальные метрики и устойчивость голоморфных расслоений с глобальными сечениями». Журнал дифференциальной геометрии. Международная пресса Бостона. 33 (1): 169–213. Дои:10.4310 / jdg / 1214446034. ISSN  0022-040X.
11. Гарсия-Прада, Оскар (1993). «Инвариантные связи и вихри». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 156 (3): 527–546. Дои:10.1007 / bf02096862. ISSN  0010-3616. S2CID  122906366.
12. Гарсиа-Прада, Оскар (1994). «Прямое доказательство существования вихревых уравнений над компактной римановой поверхностью». Бюллетень Лондонского математического общества. Вайли. 26 (1): 88–96. Дои:10.1112 / blms / 26.1.88. ISSN  0024-6093.
13. M.C. Хонг, Дж., Йост, М. Струве, "Асимптотические пределы функционала типа Гинзберга-Ландау", Геометрический анализ и вариационное исчисление Стефана Хильдебрандта (1996) Международная пресса (Бостон), стр. 99-123.
14. Гайотто, Давиде; Гуков Сергей; Зайберг, Натан (2013), «Поверхностные дефекты и растворители», Журнал физики высоких энергий, 2013 (9): 70, arXiv:1307.2578, Bibcode:2013JHEP ... 09..070G, Дои:10.1007 / JHEP09 (2013) 070, S2CID  118498045

Статьи

• В.Л. Гинзбург, Л. Ландо, Ж. Эксп. Теор. Физ. 20, 1064 (1950). Английский перевод в: Л. Д. Ландау, Сборник статей (Oxford: Pergamon Press, 1965), с. 546
• А.А. Абрикосов, Ж. Эксп. Теор. Физ. 32, 1442 (1957) (английский перевод: Сов. Phys. ЖЭТФ 5 1174 (1957)].) Оригинальная работа Абрикосова о вихревой структуре Сверхпроводники II типа полученное как решение уравнений Г – Л при κ> 1 / √2
• Л.П. Горьков, Сов. Phys. ЖЭТФ 36, 1364 (1959)
• А.А. Нобелевская лекция Абрикосова 2003 года: pdf файл или видео
• В.Л. Нобелевская лекция Гинзбурга 2003 г .: pdf файл или видео