Теорема о запрете клонирования - No-cloning theorem

В физика, то теорема о запрете клонирования заявляет, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантовое состояние, заявление, которое имеет глубокие последствия в области квантовые вычисления среди прочего. Теорема представляет собой развитие 1970-х годов. запретная теорема Автор Джеймс Парк^[1], в которой он демонстрирует, что схема измерения без помех, которая является одновременно простой и совершенной, не может существовать (такой же результат был бы независимо получен в 1982 г. Wootters и Журек^[2] а также Dieks^[3] В том же году). Приведенные выше теоремы не исключают, что состояние одной системы становится запутанный с состоянием другого, поскольку клонирование конкретно относится к созданию отделимое состояние с идентичными факторами. Например, можно использовать управляемые ворота НЕ и Ворота Уолша-Адамара запутать два кубиты без нарушения теоремы о запрете клонирования, поскольку никакое четко определенное состояние не может быть определено в терминах подсистемы запутанного состояния. Теорема о запрете клонирования (в общем понимании) касается только чистые состояния тогда как обобщенное утверждение относительно смешанные состояния известен как теорема о запрете трансляции.

Теорема о запрете клонирования имеет обращенное во времени двойной, то теорема о запрете удаления. Вместе они лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теория категорий, и, в частности, как кинжал компактная категория.^[4][5] Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика, позволяет, в свою очередь, установить связь между квантовой механикой и линейная логика как логика квантовая теория информации (в том же смысле, что интуиционистская логика возникает из Декартовы закрытые категории ).

История

В соответствии с Ашер Перес^[6] и Дэвид Кайзер,^[7] публикация доказательства теоремы о запрете клонирования 1982 г.Wootters и Журек^[2] и по Dieks^[3] был вызван предложением Ник Герберт^[8] для сверхсветовая коммуникация устройство, использующее квантовая запутанность, и Джанкарло Гирарди^[9] доказал теорему за 18 месяцев до опубликованного доказательства Wootters и Zurek в своем отчете рефери по указанному предложению (о чем свидетельствует письмо от редактора^[9]). Тем не мение, Ортигосо^[10] отметил в 2018 году, что полное доказательство наряду с интерпретацией с точки зрения отсутствия простых невозмущающих измерений в квантовой механике было предоставлено Паком в 1970 году.^[1]

Теорема и доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы А и B с общим гильбертовым пространством ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$. Предположим, мы хотим иметь процедуру для копирования состояния ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ квантовой системы А, по состоянию ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ квантовой системы B, для любого исходного состояния ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ (видеть обозначение бюстгальтера ). То есть начиная с состояния ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$, мы хотим получить состояние ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{A}}$. Сделать «копию» государства А, совмещаем с системой B в каком-то неизвестном начальном или пустом состоянии ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ независим от ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$, о которых мы не знаем.

Тогда состояние исходной составной системы описывается следующим тензорное произведение:

${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$

(в дальнейшем мы будем опускать ${\displaystyle \otimes }$ символ и оставьте его неявным).

Есть только два допустимых квантовые операции с помощью которого мы можем манипулировать составной системой:

• Мы можем провести наблюдение, что необратимо рушится система в некоторые собственное состояние из наблюдаемый, искажая информацию, содержащуюся в кубит (ы). Очевидно, это не то, что мы хотим.
• В качестве альтернативы мы могли бы контролировать Гамильтониан из комбинированный система, и, следовательно, оператор эволюции во времени U(т), например для гамильтониана, не зависящего от времени, ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$. Развитие до определенного времени ${\displaystyle t_{0}}$ дает унитарный оператор U на ${\displaystyle H\otimes H}$, гильбертово пространство комбинированной системы. Однако такой унитарный оператор U можно клонировать все состояния.

Теорема: Нет унитарного оператора U на ${\displaystyle H\otimes H}$ так что для всех нормализованных состояний ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ и ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ в ${\displaystyle H}$

${\displaystyle U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$

для какого-то реального числа ${\displaystyle \alpha }$ в зависимости от ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle e}$.

Дополнительный фазовый фактор выражает тот факт, что квантово-механическое состояние определяет нормированный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового фактора, то есть как элемент проективизированное гильбертово пространство.

Для доказательства теоремы выберем произвольную пару состояний ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ и ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$. Потому что U унитарен,

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$

Поскольку квантовое состояние ${\displaystyle |e\rangle }$ считается нормированным, получаем

${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$

Это означает, что либо ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$ или же ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$. Следовательно Неравенство Коши – Шварца либо ${\displaystyle \phi =e^{i\beta }\psi }$ или же ${\displaystyle \phi }$ является ортогональный к ${\displaystyle \psi }$. Однако этого не может быть для двух произвольный состояния. Следовательно, единый универсальный U не может клонировать Общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования.

Взять кубит Например. Его можно представить двумя сложные числа, называется амплитуды вероятности (нормализовано до 1 ), то есть три действительных числа (два полярных угла и один радиус). Копирование трех чисел на классический компьютер с помощью любого скопировать и вставить операция тривиальна (с точностью до конечной точности), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразован (например, Квантовые ворота Адамара ) быть поляризованными (что унитарное преобразование это сюръективная изометрия ). В таком случае кубит может быть представлен всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), а значение третьего может быть произвольным в таком представлении. Тем не менее реализация кубита (например, фотона с поляризационным кодированием) может хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». Таким образом, нет единой универсальной унитарной эволюции U может клонировать произвольное квантовое состояние согласно теореме о запрете клонирования. Это должно было бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, следовательно, не было бы универсальный.

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние - это чистое состояние и предлагаемый копировальный аппарат действует через единичную временную эволюцию. Эти предположения не теряют общности. Если копируемое состояние смешанное состояние, может быть очищенный.^{[требуется разъяснение ]} В качестве альтернативы можно привести другое доказательство, работающее непосредственно со смешанными состояниями; в этом случае теорему часто называют теорема о запрете трансляции^[11][12]. Аналогично произвольный квантовая операция может быть реализован путем введения Ancilla и выполнение подходящей унитарной эволюции.^{[требуется разъяснение ]} Таким образом, теорема о запрете клонирования верна во всей общности.

Последствия

• Теорема о запрете клонирования запрещает использование некоторых классических исправление ошибки методы квантовых состояний. Например, резервные копии состояния в середине квантовые вычисления не могут быть созданы и использованы для исправления последующих ошибок. Исправление ошибок жизненно важно для практических квантовых вычислений, и какое-то время было неясно, возможно ли это. В 1995 г. Шор и Steane показал, что это путем самостоятельной разработки первого квантовая коррекция ошибок коды, которые обходят теорему о запрете клонирования.
• Точно так же клонирование нарушит теорема о запрете телепортации, в котором говорится, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходного квантового состояния в новом месте. Это не следует путать с телепортация с помощью запутывания, что позволяет разрушить квантовое состояние в одном месте и воссоздать точную копию в другом месте.
• Теорема о запрете клонирования следует из теорема о запрете общения, который утверждает, что квантовая запутанность не может использоваться для передачи классической информации (сверхсветовой или медленной). То есть клонирование вместе с запутыванием позволило бы такой коммуникации происходить. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим Мысленный эксперимент EPR, и предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанный Состояние колокола распространяются Алисе и Бобу. Алиса может посылать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет спин своего электрона в z направление, сворачивая состояние Боба в ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ или же ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$. Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом. Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет спин каждой копии в z направление. Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ или же ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать друг другу классические биты (возможно, через космический разлучения, нарушение причинность ).
• Квантовые состояния нельзя полностью различить.^[13]
• Теорема о запрете клонирования препятствует интерпретации голографический принцип за черные дыры означает, что есть две копии информации, одна из которых горизонт событий а другой - в интерьере черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как комплементарность черной дыры.
• Теорема о запрете клонирования применима ко всем кинжал компактные категории: не существует универсального морфизма клонирования для любой нетривиальной категории такого типа.^[14] Хотя эта теорема заложена в определение этой категории, нетривиально увидеть, что это так; понимание важно, поскольку эта категория включает вещи, которые не являются конечномерными гильбертовыми пространствами, в том числе категория множеств и отношений и категория кобордизмы.

Несовершенное клонирование

Несмотря на то, что невозможно создать идеальные копии неизвестного квантового состояния, можно создать несовершенные копии. Это можно сделать, подключив большую вспомогательную систему к системе, которую необходимо клонировать, и применив унитарное преобразование к комбинированной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы превратятся в приблизительные копии исходной системы. В 1996 г. В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина для клонирования может создать клон неизвестного состояния с удивительно высокой точностью 5/6.^[15]

Несовершенный квантовое клонирование может использоваться как подслушивающая атака на квантовая криптография протоколы, среди прочего, в квантовой информатике.

Смотрите также

• Фундаментальная Группа Фысикс
• Теорема без трансляции
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о запрете удаления
• Теорема о запрете укрытия
• Квантовая запутанность
• Квантовое клонирование
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Принцип неопределенности
• Более сильные отношения неопределенности

Рекомендации

1. Парк, Джеймс (1970). «Концепция перехода в квантовой механике». Основы физики. 1 (1): 23–33. Bibcode:1970ФоФ .... 1 ... 23П. CiteSeerX  10.1.1.623.5267. Дои:10.1007 / BF00708652.
2. Wootters, Уильям; Журек, Войцех (1982). «Один квант нельзя клонировать». Природа. 299 (5886): 802–803. Bibcode:1982Натура.299..802Вт. Дои:10.1038 / 299802a0.
3. Дикс, Деннис (1982). «Связь с помощью устройств EPR». Письма о физике A. 92 (6): 271–272. Bibcode:1982ФЛА ... 92..271Д. CiteSeerX  10.1.1.654.7183. Дои:10.1016/0375-9601(82)90084-6. HDL:1874/16932.
4. Баэз, Джон; Останься, Майк (2010). "Физика, топология, логика и вычисления: розеттский камень" (PDF). Новые структуры для физики. Берлин: Springer. С. 95–172. ISBN  978-3-642-12821-9.
5. Кук, Боб (2009). «Квантовая картина». Современная физика. 51: 59–83. arXiv:0908.1787. Дои:10.1080/00107510903257624.
6. Перес, Ашер (2003). «Как теорема о запрете клонирования получила свое название». Fortschritte der Physik. 51 (45): 458–461. arXiv:Quant-ph / 0205076. Bibcode:2003ФорФ..51..458П. Дои:10.1002 / prop.200310062.
7. Кайзер, Дэвид (2011). Как хиппи спасли физику: наука, контркультура и квантовое возрождение. В. В. Нортон. ISBN  978-0-393-07636-3.
8. Герберт, Ник (1982). «FLASH - сверхсветовой коммуникатор, основанный на новом виде квантовых измерений». Основы физики. 12 (12): 1171–1179. Bibcode:1982FoPh ... 12,1171H. Дои:10.1007 / BF00729622.
9. Ghirardi, GianCarlo (2013), «Запутанность, нелокальность, сверхсветовая передача сигналов и клонирование», в Bracken, Paul (ed.), Успехи квантовой механики, IntechOpen (опубликовано 3 апреля 2013 г.), arXiv:1305.2305, Дои:10.5772/56429
10. Ортигосо, Хуан (2018). «За двенадцать лет до квантовой теоремы о запрете клонирования». Американский журнал физики. 86 (3): 201–205. arXiv:1707.06910. Bibcode:2018AmJPh..86..201O. Дои:10.1119/1.5021356.
11. Барнум, Ховард; Пещеры, Карлтон М .; Fuchs, Christopher A .; Jozsa, Ричард; Шумахер, Бенджамин (1996-04-08). «Обычные смешанные состояния не могут транслироваться». Письма с физическими проверками. 76 (15): 2818–2821. arXiv:Quant-ph / 9511010. Bibcode:1996ПхРвЛ..76.2818Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.76.2818. PMID  10060796.
12. Калев, Амир; Хен, Итай (2008-05-29). «Теорема о запрете вещания и ее классический аналог». Письма с физическими проверками. 100 (21): 210502. arXiv:0704.1754. Bibcode:2008PhRvL.100u0502K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.100.210502. PMID  18518590.
13. Пэ, Джуну; Квек, Леонг-Чуан (27 февраля 2015 г.). «Квантовая дискриминация состояний и ее приложения». Журнал физики A: математический и теоретический. 48 (8): 083001. Дои:10.1088/1751-8113/48/8/083001. ISSN  1751-8113.
14. С. Абрамский, «Отсутствие клонирования в категориальной квантовой механике», (2008) Семантические методы квантовых вычислений, И. Маки и С. Гей (редакторы), Cambridge University Press. arXiv:0910.2401
15. Бужек, В .; Хиллери, М. (1996). «Квантовое копирование: за пределами теоремы о запрете клонирования». Phys. Ред. А. 54 (3): 1844. arXiv:Quant-ph / 9607018. Bibcode:1996ПхРвА..54.1844Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.54.1844. PMID  9913670.

Другие источники

• В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование, Physics World 14 (11) (2001), стр. 25–29.