Стек (математика) - Stack (mathematics)

В математика а стек или 2-связка это, грубо говоря, пучок который принимает значения в категориях, а не в наборах. Стеки используются для формализации некоторых основных конструкций теория происхождения, и для построения тонких стеков модулей, когда прекрасные пространства модулей не существует.

Теория спуска занимается обобщением ситуаций, когда изоморфный, совместимые геометрические объекты (например, векторные пакеты на топологические пространства ) можно «склеить» в пределах ограничения топологического базиса. В более общей настройке ограничения заменяются на откаты; волокнистые категории затем сделайте хороший каркас, чтобы обсудить возможность такой склейки. Интуитивное значение стека состоит в том, что это расслоенная категория, в которой «работают все возможные склейки». Спецификация склейок требует определения покрытий, в отношении которых можно рассматривать склейки. Оказывается, что общий язык описания этих покрытий - язык Топология Гротендика. Таким образом, стек формально задается как расслоенная категория над другой. основание категория, где база имеет топологию Гротендика и где расслоенная категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые гарантируют существование и единственность определенных склейок относительно топологии Гротендика.

Обзор

Стеки являются базовой структурой алгебраических стеков (также называемых стеками Артина) и стеками Делиня – Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и которые особенно полезны при изучении пространства модулей. Есть включения: схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня – Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.

Едидин (2003) и Фантечи (2001) дать краткий вводный отчет о стеках, Гомес (2001), Ольссон (2007) и Вистоли (2005) дать более подробные представления и Лаумон и Морет-Байи (2000) описывает более продвинутую теорию.

Мотивация и история

Laclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une varété de modules (ou plutôt, un schema de modules) для классификации вариантов (глобальных, или бесконечных) определенных структуры (различные совокупности, не являющиеся сингулярными, векторные волокна и т. д.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la method descente de marcher.

Письмо Гротендика Серру, 5 ноября 1959 г.

Концепция стеков берет свое начало в определении эффективных данных спуска в Гротендик (1959) В письме Серру 1959 г. Гротендик заметил, что основным препятствием к построению хороших пространств модулей является существование автоморфизмов. Основная мотивация для стеков заключается в том, что если пространство модулей для некоторой проблемы не существует из-за существования автоморфизмов, все еще может быть возможно построить стек модулей.

Мамфорд (1965) изучил группу Пикара набор модулей эллиптических кривых, до того, как были определены стеки. Стеки были впервые определены Жиро (1966, 1971 ), а термин «стек» был введен Делинь и Мамфорд (1969) для оригинального французского термина «чемпион», означающего «поле». В этой статье они также представили Стеки Делиня-Мамфорда, которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим Стеки Артина представлен Артин (1974 ).

При определении частных схем по групповым действиям часто бывает невозможно, чтобы частное было схемой и по-прежнему удовлетворяло желаемым свойствам частного. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориальный фактор не будет среди схем.

Таким же образом пространства модулей кривых, векторных пучков или других геометрических объектов часто лучше определять как стопки, а не схемы. При построении пространств модулей часто сначала конструируют большее пространство, параметризуя рассматриваемые объекты, а затем факторизация по групповым действиям для учета объектов с перерасчетом автоморфизмов.

Определения

Абстрактные стеки

Категория ${displaystyle c}$ с функтором в категорию ${displaystyle C}$ называется слоистая категория над ${displaystyle C}$ если по любому морфизму ${displaystyle F: X o Y}$ в ${displaystyle C}$ и любой объект ${displaystyle y}$ из ${displaystyle c}$ с изображением ${displaystyle Y}$ (под функтором) происходит откат ${displaystyle f: x o y}$ из ${displaystyle y}$ к ${displaystyle F}$ . Это означает морфизм с изображением ${displaystyle F}$ такой, что любой морфизм ${displaystyle g: z o y}$ с изображением ${displaystyle G = Fcirc H}$ можно разложить на множители как ${displaystyle g = fcirc h}$ уникальным морфизмом ${displaystyle h: z o x}$ в ${displaystyle c}$ такой, что функтор отображает ${displaystyle h}$ к ${displaystyle H}$ . Элемент ${displaystyle x = F ^ {*} y}$ называется откат из ${displaystyle y}$ вместе ${displaystyle F}$ и единственна с точностью до канонического изоморфизма.

Категория c называется предварительное суммирование по категории C с Топология Гротендика если это расслоено C и для любого объекта U из C и объекты Икс, у из c с изображением U, функтор над категорией C / U в множества, F:V→U в Хом (F*Икс,F*у) является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предварительные штабели являются аналогами разделенных предварительных пучков, а не предварительных пучков. Некоторым авторам это требуется как свойство стеков, а не предварительных сумм.

Категория c называется стек по категории C с топологией Гротендика, если это предварительное суммирование C и каждая точка спуска эффективна. А точка спуска состоит примерно из покрытия объекта V из C семьей V_я, элементы Икс_я в волокне над V_я, и морфизмы ж_джи между ограничениями Икс_я и Икс_j к V_ij=V_я×_VV_j удовлетворяющий условию совместимости ж_ки = ж_кДжж_джи. Дата спуска называется эффективный если элементы Икс_я по сути являются откатами элемента Икс с изображением V.

Стек называется складывать в группоиды или (2,1) -пучок если он также расслоен на группоиды, то есть его волокна (прообразы объектов C) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более ограничительного понятия стека в группоидах.

Алгебраические стеки

An алгебраический стек или Стек Артина это стек в группоидах Икс над сайтом fppf таким образом, чтобы диагональная карта Икс представим, и существует гладкая сюръекция из (стека, связанного с) схемы в X. Y ${displaystyle ightarrow}$ Икс стеков представимый если для каждого морфизма S ${displaystyle ightarrow}$ Икс из (стека, связанного с) схемы в X, волокнистый продукт Y ×_Икс S изоморфен (стек, связанный с) алгебраическое пространство. В волокнистый продукт стеков определяется с помощью обычного универсальная собственность, и изменив требование коммутации диаграмм на требование, чтобы они 2 поездки. Смотрите также морфизм алгебраических стеков для дополнительной информации.

Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм ${displaystyle Delta: {mathfrak {X}} o {mathfrak {X}} imes {mathfrak {X}}}$ представима тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств ${displaystyle X, Y o {mathfrak {X}}}$ , их волокнистый продукт ${displaystyle X imes _ {mathfrak {X}} Y}$ представимо.

А Стек Делин-Мамфорд это алгебраический стек Икс такое, что существует этальная сюръекция схемы на Икс. Грубо говоря, стеки Делиня – Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стеки, объекты которых не имеют инфинитезимальных автоморфизмов.

Локальная структура алгебраических стеков

С момента появления алгебраических стеков ожидалось, что они являются локально факторными стеками вида ${displaystyle [{ext {Spec}} (A) / G]}$ куда ${displaystyle G}$ это линейно редуктивная алгебраическая группа. Это недавно было доказано:^[1] учитывая квазиотделенный алгебраический стек ${displaystyle {mathfrak {X}}}$ локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем ${displaystyle k}$ стабилизаторы которого аффинны, и ${displaystyle xin {mathfrak {X}} (k)}$ гладкая и замкнутая точка с линейно редуктивной стабилизирующей группой ${displaystyle G_ {x}}$ , существует этальная обложка из Фактор GIT ${displaystyle (U, u) o (N_ {x} // G_ {x}, 0)}$ , куда ${displaystyle N_ {x} = (J_ {x} / J_ {x} ^ {2}) ^ {vee}}$ , так что диаграмма

${displaystyle {egin {matrix} ([W / G_ {x}], w) & o & ([N_ {x} / G_ {x}], 0) downarrow && downarrow (U, u) & o & ( N_ {x} // G_ {x}, 0) конец {матрица}}}$

декартово, и существует этальный морфизм

${displaystyle f: ([W / G_ {x}], w) o ({mathfrak {X}}, x)}$

индуцирующий изоморфизм стабилизирующих групп в ${displaystyle w}$ и ${displaystyle x}$ .

Примеры

Элементарные примеры

Каждый пучок ${displaystyle {mathcal {F}}: C ^ {op} o Sets}$ из категории ${displaystyle C}$ с топологией Гротендика можно канонически превратить в стек. Для объекта ${displaystyle Xin {ext {Ob}} (C)}$ , вместо набора ${displaystyle {mathcal {F}} (X)}$ существует группоид, объекты которого являются элементами ${displaystyle {mathcal {F}} (X)}$ а стрелки - тождественный морфизм.
Более конкретно, пусть ${displaystyle h}$ быть контравариантным функтором

${displaystyle h: (Sch / S) ^ {op} o Sets}$

Тогда этот функтор определяет следующая категория

{displaystyle H}

объект - это пара ${displaystyle (X o S, x)}$ состоящий из схемы ${displaystyle X}$ в ${displaystyle (Sch / S) ^ {op}}$ и элемент ${displaystyle xin h (X)}$
морфизм ${displaystyle (X o S, x) o (Y o S, y)}$ состоит из морфизма ${displaystyle phi: X o Y}$ в ${displaystyle (Sch / S)}$ такой, что ${displaystyle h (phi) (y) = x}$ .

Через забывчивый функтор

{displaystyle p: H o (Sch / S)}

, категория

{displaystyle H}

это категория волокнистая над

{displaystyle (Sch / S)}

. Например, если

{displaystyle X}

это схема в

{displaystyle (Sch / S)}

, то он определяет контравариантный функтор

{displaystyle h = имя оператора {Hom} (-, X)}

а соответствующая расслоенная категория - это стек, связанный с Икс. Стеки (или предварительные стеки) могут быть построены как вариант этой конструкции. Фактически любая схема

{displaystyle X}

с квазикомпактная диагональ является алгебраический стек, связанный со схемой

{displaystyle X}

.

Стеки предметов

А Групповой стек.
В стек модулей векторных расслоений: категория векторных расслоений V→S является стеком над категорией топологических пространств S. Морфизм из V→S к W→Т состоит из непрерывных отображений из S к Т и из V к W (линейные по слоям) такие, что очевидный квадрат коммутирует. Условие того, что это расслоенная категория, следует из того, что можно использовать обратные образы векторных расслоений над непрерывными отображениями топологических пространств, а условие эффективности спуска данных следует из того, что можно построить векторное расслоение над пространством, склеивая векторные расслоения на элементы открытой крышки.
Стек квазикогерентных пучков на схемах (относительно fpqc-топология и более слабые топологии)
Стек аффинных схем на базовой схеме (опять же относительно топологии fpqc или более слабой)

Конструкции со стеками

Коэффициенты стека

Если ${displaystyle X}$ это схема ${displaystyle (Sch / S)}$ и ${displaystyle G}$ гладкая аффинная групповая схема, действующая на ${displaystyle X}$ , то есть факторно-алгебраический стек ${displaystyle [X / G]}$ ,^[2] взяв схему ${displaystyle Y o S}$ группоиду ${displaystyle G}$ -торсоры над ${displaystyle S}$ -схема ${displaystyle Y}$ с ${displaystyle G}$ -эквивариантные отображения в ${displaystyle X}$ . Явно, учитывая пробел ${displaystyle X}$ с ${displaystyle G}$ -действие, формируем стек ${displaystyle [X / G]}$ который (интуитивно говоря) отправляет пространство ${displaystyle Y}$ к группоиду откатных диаграмм

${displaystyle [X / G] (Y) = {egin {Bmatrix} Z & {xrightarrow {Phi}} & X downarrow && downarrow Y & {xrightarrow {phi}} & [X / G] end {Bmatrix}}}$

куда ${displaystyle Phi}$ это ${displaystyle G}$ -эквивариантный морфизм пространств и ${displaystyle Z o Y}$ является основным ${displaystyle G}$ -пучок. Морфизмы в этой категории - это просто морфизмы диаграмм, где стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части являются морфизмами главных ${displaystyle G}$ -бандлеры.

Классификация стопок

Частный случай этого, когда Икс это точка дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы грамм: ${displaystyle {extbf {B}} G: = [pt / G].}$ Он назван так, потому что категория ${displaystyle mathbf {B} G (Y)}$ , волокно над Y, именно категория ${displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (Y)}$ основных ${displaystyle G}$ -бутует ${displaystyle Y}$ . Обратите внимание, что ${displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (Y)}$ сам по себе можно рассматривать как стек, стек модулей главного грамм-бандлы на Y.

Важный подпример из этой конструкции: ${displaystyle mathbf {B} GL_ {n}}$ который является стеком модулей главных ${displaystyle GL_ {n}}$ -бандлеры. Поскольку данные принципала ${displaystyle GL_ {n}}$ -bundle эквивалентен данным ранга ${displaystyle n}$ векторное расслоение, оно изоморфно стек модулей ранга ${displaystyle n}$ векторные пакеты ${displaystyle Vect_ {n}}$ .

Стек модулей линейных пучков

Стек модулей линейных пучков равен ${displaystyle Bmathbb {G} _ {m}}$ поскольку каждое линейное расслоение канонически изоморфно главному ${displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -пучок. Учитывая линейный пакет ${displaystyle Lin {ext {Pic}} (S)}$ относительная спецификация

${displaystyle {underline {ext {Spec}}} _ {S} (L) o S}$

дает геометрическое линейное расслоение. После удаления нулевого раздела появляется связанный ${displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -пучок. Наоборот, из представления ${displaystyle id: mathbb {G} _ {m} o {ext {Aut}} (mathbb {A} ^ {1})}$ , связанный линейный пучок может быть восстановлен.

Герберы

А герб - это стек в группоидах, который всегда имеет непустую категорию. например тривиальный герб ${displaystyle BG}$ который присваивает каждой схеме группоид основных ${displaystyle G}$ расслоения по схеме, для некоторой группы ${displaystyle G}$ .

Относительная спецификация и проект

Если А является квазикогерентным пучок алгебр в алгебраическом стеке Икс по схеме S, то есть стек Spec (А), обобщающее построение спектра Spec (А) коммутативного кольца А. Объект Spec (А) дается S-схема Т, объект Икс из Икс(Т) и морфизм пучков алгебр из Икс*(А) к координатному кольцу О(Т) из Т.

Если А является квазикогерентным пучком градуированных алгебр в алгебраическом стеке Икс по схеме S, то существует стек Proj (А), обобщающее конструкцию проективной схемы Proj (А) градуированного кольца А.

Модули стеки

Модули кривых

Мамфорд (1965) изучил стек модулей M_1,1 эллиптических кривых, и показал, что его группа Пикара циклическая порядка 12. Для эллиптических кривых над сложные числа соответствующий стек аналогичен частному от верхняя полуплоскость действием модульная группа.
В пространство модулей алгебраических кривых ${displaystyle {mathcal {M}} _ {g}}$ определяется как универсальное семейство гладких кривых заданного род ${displaystyle g}$ не существует как алгебраическое многообразие, потому что, в частности, существуют кривые, допускающие нетривиальные автоморфизмы. Однако есть стек модулей ${displaystyle {mathcal {M}} _ {g}}$ которое является хорошей заменой несуществующего тонкого пространства модулей гладкого рода ${displaystyle g}$ кривые. В более общем случае существует стек модулей ${displaystyle {mathcal {M}} _ {g, n}}$ рода ${displaystyle g}$ кривые с ${displaystyle n}$ отмеченные точки. В общем, это алгебраический стек, и это стек Делиня – Мамфорда для ${displaystyle ggeq 2}$ или ${displaystyle g = 1, ngeq 1}$ или ${displaystyle g = 0, ngeq 3}$ (другими словами, когда группы автоморфизмов кривых конечны). Этот стек модулей имеет пополнение, состоящее из набора модулей устойчивых кривых (для заданных ${displaystyle g}$ и ${displaystyle n}$ ), собственно над Spec Z. Например, ${displaystyle {mathcal {M}} _ {0}}$ классифицирующий стек ${displaystyle B {ext {PGL}} (2)}$ проективной полной линейной группы. (Есть тонкость в определении ${displaystyle {mathcal {M}} _ {1}}$ , поскольку для его построения нужно использовать алгебраические пространства, а не схемы.)

Концевича пространства модулей

Другой широко изучаемый класс пространств модулей - это Концевича пространства модулей параметризация пространства устойчивых отображений между кривыми фиксированного рода в фиксированное пространство ${displaystyle X}$ изображение которого представляет фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются^[3]

${displaystyle {overline {mathcal {M}}} _ {g, n} (X, eta)}$

и могут иметь дикое поведение, например быть сокращаемыми стопками, компоненты которых не равны по размерам. Например,^[3] стек модулей

${displaystyle {overline {mathcal {M}}} _ {1,0} (mathbb {P} ^ {2}, 3 [H])}$

имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством ${displaystyle Usubset mathbb {P} ^ {9} = mathbb {P} (Гамма (mathbb {P} ^ {2}, {mathcal {O}} (3)))}$ . На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, имеется подстак, параметризующий приводимые кривые с родом ${displaystyle 0}$ компонент и род ${displaystyle 1}$ компонент, пересекающийся в одной точке, и карта отправляет род ${displaystyle 1}$ кривая в точку. Поскольку весь такой род ${displaystyle 1}$ кривые параметризованы ${displaystyle U}$ , и есть дополнительный ${displaystyle 1}$ размерный выбор пересечения этих кривых на роде ${displaystyle 1}$ кривая, граничный компонент имеет размер ${displaystyle 10}$ .

Другие наборы модулей

А Стек Пикар обобщает Разновидность пикара.
В стек модулей формальных групповых законов классифицирует формальные групповые законы.
An инд-схема например, бесконечное проективное пространство и формальная схема это стек.
А модуль стека штук используется в геометрическая программа Ленглендса. (Смотрите также штукас.)

Геометрические стеки

Взвешенные проективные стеки

Строительство весовые проективные пространства предполагает принятие частное разнообразие некоторых ${displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} - {0}}$ по ${displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -действие. В частности, действие отправляет кортеж

${displaystyle gcdot (x_ {0}, ldots, x_ {n}) mapsto (g ^ {a_ {0}} x_ {0}, ldots, g ^ {a_ {n}} x_ {n})}$

а фактор этого действия дает взвешенное проективное пространство ${displaystyle mathbb {WP} (a_ {0}, ldots, a_ {n})}$ . Поскольку вместо этого это можно рассматривать как частное по стеку, взвешенный проективный стек^[4] ^стр.30 является

${displaystyle {extbf {WP}} (a_ {0}, ldots, a_ {n}): = [mathbb {A} ^ {n} - {0} / mathbb {G} _ {m}]}$

Обращение в нуль весового многочлена в линейном расслоении ${displaystyle fin Gamma ({extbf {WP}} (a_ {0}, ldots, a_ {n}), {mathcal {O}} (a))}$ дает стековое взвешенное проективное многообразие.

Сложные кривые

Сложные кривые, или орбикривые, могут быть построены путем стекового факторизации морфизма кривых по группе монодромии покрытия по общим точкам. Например, возьмем проективный морфизм

${displaystyle {ext {Proj}} (mathbb {C} [x, y, z] / (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5})) o {ext {Proj}} (mathbb {C} [x, y])}$

что в целом etale. Стековое частное домена по ${displaystyle mu _ {5}}$ дает отличный ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ с точками укладки, имеющими группу стабилизаторов ${displaystyle mathbb {Z} / 5}$ у пятых корней единства в ${displaystyle x / y}$ -Диаграмма. Это потому, что это те точки, где крышка разветвляется.^{[нужна цитата ]}

Неаффинный стек

Пример неаффинного стека - это полустрочка с двумя исходными точками стека. Его можно построить как копредел двух включений ${displaystyle [mathbb {G} _ {m} / (mathbb {Z} / 2)] o [mathbb {A} ^ {1} / (mathbb {Z} / 2)]}$ .

Квазикогерентные пучки на алгебраических стеках

На алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.

Квазикогерентный пучок - это примерно такой пучок, который локально выглядит как связка модуля над кольцом. Первая проблема состоит в том, чтобы решить, что подразумевается под «локально»: это включает в себя выбор топологии Гротендика, и для этого существует множество возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, но ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинным в этой топологии: схемы являются локально аффинными в топологии Зарисского, поэтому это хороший выбор для схем, обнаруженных Серром, алгебраические пространства и стеки Делиня – Мамфорда локально аффинны в etale топологии, поэтому обычно для них используется этальная топология, в то время как алгебраические стеки локально аффинны в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию.Для общих алгебраических стеков этальная топология не имеет достаточно открытых множеств: например, если G - гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, которых недостаточно, чтобы дать правильную теорию. квазикогерентных пучков.

Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используется ее модификация, называемая Топология Лис-Эт (сокращение от Lisse-Etale: lisse - французский термин для гладкой топологии), который имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия задаются эталью, а не гладкими отображениями. Обычно это приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнивать с этальной топологией на алгебраических пространствах. Топология Lis-Et имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками, как правило, не дает морфизма между соответствующими топоями. (Проблема в том, что, хотя можно построить пару сопряженных функторов ж_*, ж*, что необходимо для геометрического морфизма топоев, функтор ж* в целом не оставлено точным. Эта проблема известна тем, что вызвала некоторые ошибки в опубликованных статьях и книгах.^[5]) Это означает, что построение обратного образа квазикогерентного пучка при морфизме стеков требует дополнительных усилий.

Также возможно использование более тонких топологий. Наиболее разумные «достаточно большие» топологии Гротендика, кажется, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем больше топология, тем сложнее с ней работать, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, если они имеют достаточно открытых множеств. Например, топология большого fppf приводит по существу к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Лис-Эта, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в O_Икс модули в этой топологии неточны (ядра вообще не сохраняются).

Другие типы стека

Дифференцируемые стеки и топологические стеки определяются аналогично алгебраическим стекам, за исключением того, что основная категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.

В более общем плане можно определить понятие п-пучок или п–1 стек, что примерно представляет собой связку, принимающую значения в п–1 категория. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-связки - это связки, а 2-связки - это стопки. Они называются более высокие стеки.

Очень похожее и аналогичное расширение - развитие теории стека на недискретных объектах (т. Е. Пространство на самом деле спектр в алгебраической топологии). Полученные стековые объекты называются производные стеки (или спектральные стопки). Джейкоб Лурье книга незавершенного строительства Спектральная алгебраическая геометрия изучает обобщение, которое он называет спектральный стек Делиня – Мамфорда. По определению это окольцованный ∞-топос то есть этально-локально этальный спектр из E_∞-звенеть (это понятие включает понятие производная схема, по крайней мере, в нулевой характеристике.)

Теоретико-множественные проблемы

Существуют некоторые незначительные теоретические проблемы множеств с обычным основанием теории стеков, потому что стеки часто определяются как определенные функторы категории множеств и поэтому не являются множествами. Есть несколько способов справиться с этой проблемой:

Можно работать с вселенными Гротендика: тогда стек является функтором между классами некоторой фиксированной вселенной Гротендика, поэтому эти классы и стеки являются наборами в более крупной вселенной Гротендика. Недостаток этого подхода состоит в том, что нужно предполагать существование достаточного количества вселенных Гротендика, что, по сути, является большой кардинал аксиома.
Можно определить стеки как функторы для набора наборов достаточно большого ранга и тщательно отслеживать ранги различных наборов, которые он использует. Проблема в том, что это требует дополнительной, довольно утомительной бухгалтерии.
Можно использовать принципы отражения из теории множеств, утверждающие, что можно найти модели множеств любого конечного фрагмента аксиом ZFC, чтобы показать, что можно автоматически находить множества, которые являются достаточно близкими приближениями к универсуму всех множеств.
Можно просто игнорировать проблему. Это подход многих авторов.

Смотрите также

Примечания

^ Альпер, Джарод; Холл, Джек; Рид, Дэвид (2020). «Теорема Luna étale о срезе для алгебраических стеков». Анналы математики. 191 (3): 675–738. Дои:10.4007 / летопись.2020.191.3.1. HDL:10150/641331. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007 / летопись.2020.191.3.1. S2CID 3225788.
^ Хейнлот, Йохен (29 января 2009 г.), «Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой», Многообразия аффинных флагов и главные расслоения, Базель: Springer Basel (опубликовано в 2010 г.), стр. 123–153, Дои:10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7
^ ^а ^б Массаренти, Алез. «Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии» (PDF). С. 1–4. В архиве (PDF) из оригинала от 23.01.2018.
^ Фантечи, Барбара; Манн, Этьен; Нирони, Фабио (22 сентября 2009 г.). «Гладкие торические стопки ДМ». arXiv:0708.1254 [math.AG ].
^ См., Например, Ольссон, Мартин (2007). "Снопы на стогах Артина". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 2007 (603): 55–112. Дои:10.1515 / CRELLE.2007.012. Г-Н 2312554. S2CID 15445962.

внешняя ссылка

стек в nLab
спуск в nLab
де Йонг, Айз Йохан, Stacks Project
Фултон, Уильям, Что такое стек?, Видеолекция и записи ИИГС
Тоен, Бертран (2007), Cours de Master 2: Champs algébriques (2006-2007)
"Хорошие вводные ссылки на алгебраические стеки?"

[1] Альпер, Джарод; Холл, Джек; Рид, Дэвид (2020). «Теорема Luna étale о срезе для алгебраических стеков». Анналы математики. 191 (3): 675–738. Дои:10.4007 / летопись.2020.191.3.1. HDL:10150/641331. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007 / летопись.2020.191.3.1. S2CID 3225788.

[2] Хейнлот, Йохен (29 января 2009 г.), «Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой», Многообразия аффинных флагов и главные расслоения, Базель: Springer Basel (опубликовано в 2010 г.), стр. 123–153, Дои:10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7

[:0-3] а ^б Массаренти, Алез. «Модули стабильных отображений, инварианты Громова-Виттена и квантовые когомологии» (PDF). С. 1–4. В архиве (PDF) из оригинала от 23.01.2018.

[4] Фантечи, Барбара; Манн, Этьен; Нирони, Фабио (22 сентября 2009 г.). «Гладкие торические стопки ДМ». arXiv:0708.1254 [math.AG ].

[5] См., Например, Ольссон, Мартин (2007). "Снопы на стогах Артина". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 2007 (603): 55–112. Дои:10.1515 / CRELLE.2007.012. Г-Н 2312554. S2CID 15445962.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]