Преобразование Вейля - Weyl transformation

Смотрите также Преобразование Вигнера – Вейля, для другого определения преобразования Вейля.

В теоретическая физика, то Преобразование Вейля, названный в честь Герман Вейль, является локальным изменением масштаба метрический тензор:

${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$

который дает другую метрику в том же конформный класс. Теория или выражение, инвариантное относительно этого преобразования, называется конформно инвариантный, или говорят, что обладает Инвариантность Вейля или же Симметрия Вейля. Симметрия Вейля - важная симметрия в конформная теория поля. Это, например, симметрия Поляков действие. Когда квантово-механические эффекты нарушают конформную инвариантность теории, говорят, что она проявляет конформная аномалия или же Аномалия Вейля.

Обычный Леви-Чивита связь и связанные вращать связи не инвариантны относительно преобразований Вейля. Подходящим инвариантным понятием является Связь Вейля, что является одним из способов определения структуры конформная связь.

Конформный вес

Количество ${\displaystyle \varphi }$ имеет конформный вес ${\displaystyle k}$ если при преобразовании Вейля оно преобразуется через

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega }.}$

Таким образом, конформно взвешенные величины принадлежат определенным пучки плотности; смотрите также конформное измерение. Позволять ${\displaystyle A_{\mu }}$ быть подключение одноформное связанных со связью Леви-Чивита ${\displaystyle g}$. Введите соединение, которое также зависит от начальной одной формы ${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$ через

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

потом ${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi }$ ковариантна и имеет конформный вес ${\displaystyle k-1}$.

Формулы

Для трансформации

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

Мы можем получить следующие формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D)\nabla _{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

Отметим, что тензор Вейля инвариантен относительно изменения масштаба Вейля.

Рекомендации

• Вейль, Герман (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [Пространство, время, материя]. Лекции по общей теории относительности (на немецком языке). Берлин: Springer. ISBN  3-540-56978-2.