Петля Вильсона - Wilson loop

«Линия Вильсона» перенаправляется сюда. Для судоходной компании Wilson Line см. Thomas Wilson Sons & Co.

В калибровочная теория, а Петля Вильсона (названный в честь Кеннет Г. Уилсон ) это калибровочно-инвариантный наблюдаемый получен из голономия из соединение манометра по заданной петле. В классической теории набор всех луп Вильсона содержит достаточно информации для восстановления калибровочной связности с точностью до калибровочное преобразование.^[1]

Обзор

В квантовая теория поля, определение наблюдаемых петель Вильсона как добросовестный операторы на Пространства Фока математически сложная задача, требующая регуляризация, обычно оснащая каждую петлю обрамление. Действие операторов петли Вильсона интерпретируется как создание элементарного возбуждения квантового поля, которое локализовано на петле. В этом случае, Фарадей «Магнитные трубки» становятся элементарными возбуждениями квантового электромагнитного поля.

Петли Вильсона были введены в 1974 г. в попытке непертурбативной формулировки квантовая хромодинамика (КХД), или, по крайней мере, как удобный набор переменных для работы с сильно взаимодействующим режимом КХД.^[2] Проблема заключение, для решения которой были разработаны петли Вильсона, остается нерешенным до сих пор.

Тот факт, что в сильно связанных квантовых калибровочных теориях поля есть элементарные непертурбативные возбуждения, мотивированные петлями Александр Поляков сформулировать первую теории струн, описывающая распространение элементарной квантовой петли в пространстве-времени.

Петли Вильсона сыграли важную роль в формировании петля квантовой гравитации, но там их заменяют спиновые сети (и позже, пенопласт ), некоторое обобщение луп Вильсона.

В физика элементарных частиц и теория струн, Петли Вильсона часто называют Линии Уилсона, особенно Вильсон, обходит несжимаемые петли компактного многообразия.

Уравнение

В Петля Вильсона переменная - это величина, определяемая следом экспонента с упорядоченным по пути из калибровочное поле ${\displaystyle A_{\mu }}$ по закрытой линии С перевозят:

${\displaystyle W_{C}:=\mathrm {Tr} \,(\,{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\,)\,.}$

Вот, ${\displaystyle C}$ замкнутая кривая в пространстве, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ это порядок путей оператор. При калибровочном преобразовании

${\displaystyle {\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}\to g(x){\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}g^{-1}(x)\,}$,

где ${\displaystyle x\,}$ соответствует начальной (и конечной) точке цикла (только начальная и конечная точки линии вносят вклад, тогда как промежуточные калибровочные преобразования компенсируют друг друга). Например, для датчиков SU (2) ${\displaystyle g^{\pm 1}(x)\equiv \exp\{\pm i\alpha ^{j}(x){\frac {\sigma ^{j}}{2}}\}}$; ${\displaystyle \alpha ^{j}(x)}$ является произвольной действительной функцией ${\displaystyle x\,}$, и ${\displaystyle \sigma ^{j}}$ - три матрицы Паули; как обычно, подразумевается сумма по повторяющимся индексам.

Инвариантность след под циклические перестановки гарантирует, что ${\displaystyle W_{C}}$ инвариантен относительно калибровочные преобразования. Обратите внимание, что отслеживаемая величина является элементом шкалы. Группа Ли и след действительно характер этого элемента по отношению к одному из бесконечного множества неприводимые представления, откуда следует, что операторы ${\displaystyle A_{\mu }\,dx^{\mu }}$ не обязательно ограничиваться «классом следа» (таким образом, с чисто дискретным спектром), но может быть, как правило, эрмитовым (или математически: самосопряженным). Именно потому, что мы, наконец, смотрим на трассу, не имеет значения, какая точка цикла выбрана в качестве начальной. Все они имеют одинаковую ценность.

На самом деле, если рассматривать A как связь через основной G-пучок, приведенное выше уравнение действительно следует "читать" как параллельный транспорт тождества вокруг петли, которая дала бы элемент группы Ли G.

Обратите внимание, что экспонента с последовательным порядком является удобной сокращенной записью, распространенной в физике, которая скрывает изрядное количество математических операций. Математик назвал бы линейно упорядоченную экспоненту связи "голономией связи" и охарактеризовал бы ее дифференциальным уравнением параллельного переноса, которому она удовлетворяет.

При T = 0, где T соответствует температуре, переменная петли Вильсона характеризует заключение или деконфайнмент калибровочно-инвариантной теории квантового поля, а именно в зависимости от того, увеличивается ли переменная с площадьили, альтернативно, с длина окружности петли («закон площади» или, альтернативно, «закон окружности», также известный как «закон периметра»).

В КХД при конечных температурах значение теплового математического ожидания линии Вильсона различает ограниченную "адронную" фазу и состояние поля без ограничений, например кварк-глюонная плазма.

Смотрите также

• Стохастическая модель вакуума
• Номер обмотки

использованная литература

1. Джайлз, Р. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов из петель Вильсона». Физический обзор D. 24 (8): 2160. Bibcode:1981ПхРвД..24.2160Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.24.2160.
2. Уилсон, К. (1974). «Конфайнмент кварков». Физический обзор D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974ПхРвД..10.2445Вт. Дои:10.1103 / PhysRevD.10.2445.

внешние ссылки

• Бекман, Дэвид; Готтесман, Даниэль; Китаев, Алексей; Прескилл, Джон (2002-03-05). «Измеримость операторов петли Вильсона». Физический обзор D. 65 (6): 065022. arXiv:hep-th / 0110205. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.065022. ISSN  0556-2821.